Pasta do Professor — Análise estrutural usando métodos clássicos e métodos matriciais
Autor(es): Jack C. McCormac
1.1 ANÁLISE E PROJETO ESTRUTURAL
A aplicação de cargas a uma estrutura faz com que ela se deforme. Em conseqüência da deformação, são produzidas várias forças nos componentes que formam a estrutura. O cálculo do valor dessas forças e das deformações que as causaram é conhecido por análise estrutural, um tópico extremamente importante para a sociedade. Na verdade, quase todos os ramos da tecnologia se envolvem em uma ou outra ocasião com questões relativas à resistência e à deformação de sistemas estruturais.
Projeto estrutural inclui a disposição e o dimensionamento de estruturas e de suas partes de forma que elas suportem satisfatoriamente as cargas às quais possam estar sujeitas. Mais especificamente, o projeto estrutural envolve o seguinte: o leiaute geral do sistema estrutural; estudos de configurações estruturais alternativas que possam fornecer soluções viáveis; considerações sobre condições de carregamento; análises preliminares e projeto de soluções possíveis; seleção de uma solução; e a análise e o projeto estrutural final da estrutura. O projeto estrutural também inclui a preparação de seus desenhos (plantas).
CAPÍTULO 2 Cargas Estruturais
Em ocasiões muito freqüentes os professores de estruturas perguntam aos seus antigos alunos se eles se sentem preparados adequadamente pelos seus cursos de estruturas para seus empregos iniciais. Muito freqüentemente a resposta é: Sim na maioria das áreas, provavelmente não na área de estimativa de cargas de projeto. Essa é uma resposta que merece bastante reflexão, porque a estimativa exata do valor e da natureza das cargas que as estruturas terão que suportar durante suas vidas é provavelmente a tarefa mais importante do projetista.
Um número muito grande de tipos diferentes de estruturas (vigas, quadros, treliças e assim por diante) sujeitas a todas as espécies de cargas é apresentado neste texto. Em conseqüência, o aluno pode imaginar "Onde o autor obteve todas essas cargas?" Essa pergunta importantíssima é o assunto deste e do próximo capítulo.
Os engenheiros estruturais de hoje geralmente usam computadores em seus trabalhos. Embora o software normalmente utilizado permita que os engenheiros analisem e projetem rapidamente estruturas após serem definidas as cargas, ele oferecerá pequena ajuda na seleção das cargas.
CAPÍTULO 3 Carregamento e Comportamento do Sistema
Carregamento e Comportamento do Sistema
No Capítulo 2 foram examinados os diferentes tipos de cargas que podem ser aplicadas a sistemas estruturais. Ali foram apresentados alguns métodos para estimar o valor individual das cargas. Entretanto, naquela análise não levamos em consideração se as cargas agiam ao mesmo tempo ou em ocasiões diferentes, nem verificamos onde e como colocá-las na estrutura de modo a causar a resposta máxima do sistema.
Resposta do sistema é um termo genérico que se refere na realidade a um aspecto particular do comportamento da estrutura. A resposta poderia ser um momento fletor negativo em uma viga de piso, o deslocamento de um local específico da estrutura ou a reação em um dos apoios. Provavelmente, neste instante, o aluno conhece muito pouco a respeito de como calcular esses aspectos da resposta.
Depois de serem calculados os valores das cargas, o próximo passo na análise de uma estrutura inclui o posicionamento das cargas na estrutura e o cálculo da resposta desta estrutura a essas cargas. Ao posicionar as cargas em uma estrutura devem ser realizadas duas tarefas distintas:
CAPÍTULO 4 Reações
Diz-se que um corpo em repouso está em equilíbrio estático. A resultante das forças externas que agem no corpo
— incluindo as forças nos apoios, que são denominadas reações — é nula. Não apenas deve ser zero a soma de todas as forças (ou seus componentes) que agem em qualquer direção possível, como também deve ser zero a soma dos momentos de todas as forças em torno de qualquer eixo.
Se uma estrutura ou parte de uma estrutura é considerada em equilíbrio sob a ação de um sistema de cargas, ela deve satisfazer as seis equações de equilíbrio estático. Usando o sistema cartesiano x, y e z de coordenadas, as equações de equilíbrio estático podem ser escritas como
Para fins de análise e projeto, a grande maioria das estruturas pode ser considerada como de estruturas planas sem que haja perda de precisão. Para essas estruturas, que normalmente são admitidas no plano xy, a soma das forças nas direções x e y e a soma dos momentos em torno do eixo perpendicular ao plano devem ser iguais a zero. As equações de equilíbrio se reduzem a
CAPÍTULO 5 Esforço Cortante e Momento Fletor
Uma parte importante da engenharia estrutural, e na realidade do entendimento do comportamento estrutural, é o entendimento do esforço cortante e do momento fletor que existe no interior de um sistema estrutural. São necessárias as equações para o esforço cortante e para o momento fletor para que as deflexões sejam calculadas. Muito freqüentemente, o esforço cortante e o momento fletor são representados em diagramas que fornecem uma visualização da resposta estrutural. Esses diagramas, a partir dos quais o valor do esforço cortante e o valor do momento fletor em qualquer ponto de uma viga são imediatamente obtidos, são muito úteis para o projeto, uma vez que fornecem visualmente o módulo e o local das forças máximas de projeto. Neste capítulo, examinaremos os métodos para desenvolver as equações para o esforço cortante e o momento fletor em sistemas estruturais, assim como os métodos para construir os diagramas para esforços cortantes e momentos fletores. É questionável haver qualquer outro tópico cujo estudo cuidadoso seja mais compensador para o conhecimento de engenharia estrutural.
CAPÍTULO 6 Introdução a Treliças Planas
Introdução a Treliças Planas
Imagina-se que o arquiteto italiano Andrea Palladio (1508-1580) tenha sido o primeiro a usar treliças modernas, embora a base de seus projetos seja desconhecida. Ele pode ter recuperado alguns antigos projetos romanos e provavelmente dimensionou os elementos das treliças utilizando algumas regras práticas (talvez antigas regras romanas).
Os muitos escritos de Palladio sobre arquitetura incluíam descrições detalhadas e desenhos de treliças de madeira muito semelhantes às usadas nos dias de hoje. Depois dessa época, as treliças foram esquecidas por 200 anos, até serem reintroduzidas pelo projetista suíço Ulric Grubermann.
Uma treliça é uma estrutura formada por um grupo de elementos dispostos na forma de um ou mais triângulos. Por ser admitido que os elementos estejam ligados entre si por meio de pinos lisos (sem atrito), o triângulo é a única forma estável.* A análise da treliça da Figura 6.1(a) mostra que é impossível o triângulo mudar de forma sob carregamento — exceto por meio da deformação de seus elementos —, a menos que um ou mais lados seja curvado ou quebrado. Figuras com quatro lados ou mais não são estáveis e podem ruir quando submetidas a algum carregamento, como se pode ver nas Figuras 6.1(b) e 6.1(c). Essas estruturas podem se deformar ainda que nenhum de seus elementos apresente alteração de comprimento. Veremos, entretanto, que muitas treliças estáveis podem incluir uma ou mais formas que não sejam triângulos. Estudos cuidadosos indicam que as treliças consistem em grupos isolados de triângulos conectados entre si segundo regras específicas, formando figuras não-triangulares, porém estáveis, nos intervalos entre elas.
CAPÍTULO 7 Treliças Planas, Continuação
Treliças Planas, Continuação
7.1 ANÁLISE PELO MÉTODO DAS SEÇÕES
Aplicação das equações de equilíbrio nos diagramas de corpo livre das seções de uma treliça é a base do cálculo das forças pelo método das seções, da mesma forma que era para o uso do método dos nós no capítulo anterior. Ao usar o método das seções para determinar a força em uma determinada barra, é passado um plano imaginário através de toda a treliça, que é dividida em duas seções, conforme mostra a Figura 7.1(a). Os diagramas de corpo livre são mostrados na Figura 7.1(b) e (c). Os locais nos quais as seções são cortadas são selecionados de forma que haja pelo menos tantas equações de equilíbrio disponíveis quanto as forças desconhecidas.
As equações de equilíbrio estático podem ser aplicadas a qualquer um dos corpos livres para determinar a grandeza das forças desconhecidas. Deve-se dedicar atenção especial ao ponto em torno do qual os momentos são calculados durante a aplicação das equações. Freqüentemente, os momentos das forças podem ser tomados em torno de um ponto de modo que apareça apenas uma incógnita na equação. Desta forma, o valor daquela força pode ser obtido. Normalmente esse objetivo pode ser atingido pela seleção de um ponto situado no prolongamento da linha de ação de uma ou mais das outras forças nas barras e considerando-o o ponto em torno do qual os momentos devem ser calculados. Esse ponto não precisa estar necessariamente na seção cortada. Algumas treliças comuns possuem locais específicos para traçar as seções que simplificam enormemente o trabalho a ser realizado. Algumas delas serão analisadas nas páginas que se seguem.
CAPÍTULO 8 Treliças Tridimensionais ou Espaciais
Treliças Tridimensionais ou Espaciais
Este capítulo apresenta uma análise muito breve e elementar de pequenas treliças espaciais. Espera-se que este material ajude o leitor a desenvolver algum entendimento do comportamento de estruturas espaciais e reconheça que as equações da estática são aplicáveis tanto em três dimensões quanto em duas dimensões.
Para todas as estruturas espaciais, exceto as muito pequenas, a análise pelos métodos dos nós e dos momentos, aqui descritos, é bastante complicada. Conseqüentemente, uma grande porcentagem de faculdades não apresenta esse tópico até que os alunos tenham feito um curso de análise matricial.
Quase todas as estruturas são tridimensionais por natureza. Entretanto, normalmente elas podem ser divididas em sistemas separados, com cada um deles situado em um único plano que faz ângulo reto com o outro. Por serem
ângulos retos, as forças em um sistema não exercem influência nas forças em outros sistemas. As barras que ligam dois sistemas entre si servem como barras em ambos os sistemas, e sua força total é obtida pela combinação das forças desenvolvidas como parte de cada um desses sistemas.
CAPÍTULO 9 Linhas de Influência para Vigas
Linhas de Influência para Vigas
As estruturas que suportam grupos de cargas fixas em uma posição foram analisadas nos capítulos anteriores. Independentemente de a análise ter-se referido a vigas, quadros ou treliças e de as funções examinadas terem sido esforços cortantes, reações ou forças nas barras, as cargas eram estacionárias. Entretanto, na prática, o engenheiro raramente lida com estruturas que suportam apenas cargas fixas. Quase todas as estruturas estão sujeitas a cargas que se movem alternadamente, de um lado para outro, ao longo de seus vãos. Talvez as pontes com seu tráfego de veículos sejam os exemplos mais nítidos, mas edifícios industriais com pontes rolantes, edifícios de escritórios e cargas humanas e quadros que suportam correias transportadoras pertençam à mesma categoria.
Cada elemento de uma estrutura deve ser dimensionado para as condições mais severas que provavelmente a ele possam ser impostas. O engenheiro projetista coloca as cargas variáveis nas posições onde produzirão essas condições. As posições críticas para a colocação das cargas variáveis não serão as mesmas para todos os elementos. Por exemplo, a força máxima em um elemento estrutural de uma ponte pode ocorrer quando uma fila de caminhões se estender de um lado a outro da ponte. Entretanto, a força máxima em algum outro elemento estrutural pode ocorrer quando os caminhões se distribuírem apenas daquele elemento a uma extremidade da ponte. As forças máximas em determinadas vigas e determinados pilares de um edifício ocorrerão quando as cargas variáveis estiverem concentradas em lugares específicos do edifício. As forças máximas em outras vigas e outros pilares ocorrerão quando as cargas variáveis forem colocadas em algum lugar diferente dos anteriores.
CAPÍTULO 10 Linhas de Influência para Treliças e Cargas Móveis
Linhas de Influência para Treliças e
10.1 LINHAS DE INFLUÊNCIA PARA TRELIÇAS
Pontes com vigas de aço estrutural, de concreto armado pré-moldado ou de concreto protendido quase dominaram completamente o mercado de pontes para pequenos vãos. Contudo, o desenho das linhas de influência para treliças
é apresentado neste capítulo por duas razões. Em primeiro lugar, o autor acha que o entendimento de tais diagramas fornece ao aluno um melhor entendimento da análise de treliças e da atuação das cargas móveis. Em segundo lugar, a informação apresentada aqui serve como fundamento para a construção de linhas de influência para treliças estaticamente indeterminadas de pontes para vãos maiores, que ainda são economicamente competitivas. Essas últimas linhas de influência são examinadas no Capítulo 17.
As linhas de influência de treliças podem ser desenhadas e usadas para o cálculo das forças ou podem ser esboçadas grosseiramente sem que sejam calculados os valores das ordenadas e usadas apenas para a colocação da carga móvel de modo que sejam originadas as forças máximas ou mínimas.
CAPÍTULO 11 Deslocamentos Transversais e Variações Angulares Usando Métodos Geométricos
Deslocamentos Transversais e Variações
Angulares Usando Métodos Geométricos
Este capítulo e os dois que se seguem são dedicados às deformações elásticas das estruturas. Tanto o deslocamento linear de pontos (aqui denominadas deflexões ou deslocamentos transversais) como os deslocamentos rotacionais das linhas (aqui denominadas inclinações, rotações ou declividades) são levados em consideração. A palavra elástica é usada para indicar que:
1. As tensões são proporcionais às deformações;
2. Há uma variação linear da deformação a partir do eixo neutro de uma viga até suas fibras mais afastadas; e
3. Os elementos estruturais voltarão para sua configuração geométrica inicial após as cargas serem removidas.
As deformações das estruturas são causadas por momentos fletores, por forças axiais e por esforços cortantes.
Para vigas e quadros, os maiores valores são causados por momentos fletores, ao passo que para treliças os maiores valores são causados por forças axiais. As deflexões causadas por esforços cortantes são ignorados neste livro, por serem muito pequenas em quase todas as estruturas lineares e compostas de vigas. As deflexões causadas por esforços cortantes, como porcentagem das deflexões das vigas, aumentam à medida que a razão entre a altura da viga e o vão também aumenta. Para razões altura/vão comuns de 1/12 a 1/16, as porcentagens das deflexões devidas ao esforço cortante em relação às deflexões devidas ao momento fletor variam de aproximadamente 1% a 8%. Para uma razão altura/vão de 0,25, as porcentagens podem atingir valores altos como 15% a 18%.1
CAPÍTULO 12 Deslocamentos Transversais e Variações Angulares Usando Métodos Geométricos (Continuação)
Angulares Usando Métodos Geométricos –
12.1 O MÉTODO DOS PESOS ELÁSTICOS
Um estudo minucioso do procedimento usado para aplicar os teoremas de momentos de áreas revelará um método mais simples e mais prático de calcular inclinações (rotações) e deflexões (deslocamentos transversais) para a maioria das vigas. Para rever esse procedimento, são analisados a viga e o diagrama M/EI da Figura 12.1.
Fazendo com que A seja a área do diagrama M/EI, a deflexão da tangente em R a partir da tangente em L é igual a Ay e a variação da inclinação entre as duas tangentes é A.
∆ L = Ax
θL Configuração
deformada da viga
∆ R = Ay
Centro de gravidade x
Viga para análise do método dos pesos elásticos
Uma viga imaginária é carregada com o diagrama M/EI, conforme mostra a Figura 12.2, e as reações RL e RR são determinadas. Elas são iguais a Ay/L e Ax/L, respectivamente.
CAPÍTULO 13 Deslocamentos Transversais e Variações Angulares Usando Métodos de Energia
Angulares Usando Métodos de Energia
13.1 INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS DE ENERGIA
Nos Capítulos 11 e 12, os deslocamentos transversais (deflexões) e as variações angulares (rotações, ou inclinações) foram calculados por meio de métodos geométricos (método de momentos de áreas e método da viga conjugada).
Esses procedimentos se mostraram adequados para muitas estruturas, incluindo algumas bastante complexas.
Neste capítulo, será mostrado que as mesmas deflexões e variações angulares podem ser determinadas por meio do princípio de conservação de energia. Serão apresentados dois métodos de energia: o método dos trabalhos virtuais e o teorema de Castigliano. Para algumas estruturas complexas, esses métodos podem ser mais indicados do que os métodos geométricos em face da simplicidade com a qual as expressões que fornecem a solução podem ser estabelecidas. Além disso, os métodos de energia se aplicam a mais tipos de estruturas.
CAPÍTULO 14 Introdução a Estruturas Estaticamente Indeterminadas
Introdução a Estruturas Estaticamente
Quando uma estrutura possuir muitas reações externas e/ou forças internas a serem determinadas usando apenas as equações de equilíbrio estático (incluindo quaisquer equações de compatibilidade), ela será estaticamente indeterminada. Uma carga situada em uma parte de uma estrutura estaticamente indeterminada ou contínua ocasionará esforços cortantes, momentos fletores e deflexões em outras partes da estrutura. Em outras palavras, as cargas aplicadas a um pilar influem nas vigas, lajes e outros pilares e vice-versa. Freqüentemente, mas não necessariamente, isso é verdadeiro para estruturas estaticamente determinadas.
Até agora, este livro esteve completamente dedicado a estruturas estaticamente determinadas, de forma que o leitor pode ter sido erroneamente levado a acreditar que vigas e treliças estaticamente determinadas são o usual em termos de estruturas modernas. Na realidade, é difícil encontrar uma viga biapoiada ideal. Provavelmente, o melhor lugar para procurar uma seria em um livro-texto sobre estruturas, mas conexões aparafusadas ou soldadas entre vigas e pilares não produzem apoios simples ideais com momento fletor nulo.
CAPÍTULO 15 Métodos das Forças para Análise de Estruturas Estaticamente Indeterminadas
Métodos das Forças para Análise de
15.1 VIGAS E QUADROS COM UMA REDUNDANTE ESTÁTICA
O método das forças para análise de estruturas estaticamente indeterminadas é denominado freqüentemente método da flexibilidade (ou ainda método das deformações consistentes). Para uma primeira ilustração das deformações consistentes, será analisada a viga contínua com dois vãos da Figura 15.1(a). Admite-se que a viga seja feita de um material que obedeça à lei de Hooke. Essa estrutura estaticamente indeterminada suporta as cargas P1 e P2 e, por sua vez, é suportada pelos componentes de reações de apoio nos apoios A, B e C. A remoção do apoio B faria com que a viga se tornasse estaticamente determinada, significando que a estrutura original é indeterminada em primeiro grau. Com esse apoio removido, é um problema simples encontrar o deslocamento vertical em B, ∆B, na Figura
15.1(b), causado pelas cargas externas.
CAPÍTULO 16 Métodos das Forças para Análise de Estruturas Estaticamente Indeterminadas (Continuação)
Estruturas Estaticamente Indeterminadas —
16.1 ANÁLISE DE TRELIÇAS EXTERNAMENTE REDUNTANTES
As treliças podem ser estaticamente indeterminadas devido às reações redundantes, às barras redundantes ou a uma combinação de reações e barras redundantes. Inicialmente serão examinadas as treliças externamente redundantes e elas serão analisadas com base no cálculo dos deslocamentos de forma muito semelhante ao procedimento utilizado no capítulo anterior para vigas estaticamente indeterminadas.
A treliça contínua de dois vãos da Figura 16.1 é estudada na análise seguinte. Um componente de reação, por exemplo, VB, é removido e é determinado o deslocamento naquele ponto causado pelas forças externas. A seguir as cargas externas são removidas da treliça e é determinado o deslocamento no ponto do apoio B devido a uma carga unitária naquele ponto. A reação é recolocada, e ela fornece a força necessária para empurrar o apoio de volta para sua posição original. A expressão conhecida da deflexão é então escrita da seguinte forma:
CAPÍTULO 17 Linhas de Influência para Estruturas Estaticamente Indeterminadas
Linhas de Influência para Estruturas
17.1 LINHAS DE INFLUÊNCIA PARA VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS
Os usos de linhas de influência para estruturas estaticamente indeterminadas são os mesmos que os das estruturas estaticamente determinadas. Elas permitem que o projetista localize as posições críticas para colocar as cargas variáveis e calcule as forças para as várias posições das cargas. As linhas de influência para as estruturas estaticamente indeterminadas não são tão simples de desenhar como eram para estruturas estaticamente determinadas. Nesse
último caso, é possível calcular as ordenadas para alguns pontos de controle por meio das equações da estática e conectar esses valores com um conjunto de linhas retas. Infelizmente, as linhas de influência para estruturas contínuas exigem o cálculo de ordenadas de um número muito grande de pontos porque os diagramas ou são curvos, ou são constituídos de uma séria de arcos. O diagrama na forma de arcos ocorre onde as cargas só podem ser transferidas à estrutura em intervalos.
CAPÍTULO 18 Método das Inclinações: Um Método dos Deslocamentos de Análise Estrutural
Método das Inclinações: Um Método dos
Deslocamentos de Análise Estrutural
George A. Maney apresentou o método das inclinações (slope deflection) em uma publicação de engenharia da University of Minnesota em 1915.1 Seu trabalho foi uma ampliação de estudos anteriores de tensões secundárias por
Manderla2 e Mohr.3 Por aproximadamente 15 anos, até a apresentação do método da distribuição dos momentos, o método das inclinações foi o método "exato" popular utilizado para a análise de vigas contínuas e quadros nos
O método das inclinações é um método que leva em consideração as deformações devidas à flexão em vigas e quadros (rotações, recalques, etc.), mas que ignora as deformações devidas ao esforço cortante e ao esforço normal.
Embora geralmente esse método clássico seja considerado obsoleto, seu estudo pode ser útil por muitos motivos.