A figura abaixo ilustra um circuito elétrico contendo um capacitor Equ
Exercicio 55
UFPE, Física 3, 3º EE - 2018.2, Questão 3
A figura abaixo ilustra um circuito elétrico contendo um capacitor Equation , um indutor Equation e uma chave Equation . Sabe-se que no instante Equation , a chave Equation é fechada, e que nesse instante, o capacitor tem carga elétrica máxima dada por Equation e que a corrente elétrica inicial no circuito é nula Equation . Para tal situação, determine:
O instante de tempo para o qual a carga armazenada no capacitor se reduz a Equation de sua carga em Equation .
O instante de tempo para o qual a energia elétrica armazenada no capacitor é igual a Equation da energia elétrica do sistema em Equation .
Antes de começarmos a resolver o problema, vamos recordar de algumas coisas importantes desse tipo de circuito Equation . A primeiro coisa é, como não há resistência, não há também perda de energia. Por isso, a carga elétrica Equation e a corrente Equation , e as respectivas energias armazenadas no capacitor e indutor, oscilam senoidalmente no tempo.
A energia armazenada Equation no campo elétrico do capacitor varia com o tempo e é dada por
enquanto a energia armazenada Equation no campo magnético armazenado no indutor também varia no tempo e tem a seguinte expressão
A carga armazenada nesse circuito Equation é dada por
em que Equation é a carga máxima armazenada no capacitor, Equation é uma fase constante e a frequência Equation de oscilação da carga é dada por
Para encontrarmos a corrente Equation , basta derivarmos Equation com relação ao tempo
Portanto, temos duas constantes que não conhecemos ainda: Equation e Equation . Para encontrar quais os valores delas, precisamos de duas condições iniciais. No caso, o problema deu para gente essas condições.
Para fechar, como Equation , quando a gente substitui Equation em Equation e Equation em Equation e soma as duas para obter a energia total do circuito, obtemos o seguinte:
que não depende do tempo: a energia não é dissipada.
a) Depois dessa revisão, agora, sim, vamos resolver nosso problema...
Para Equation , o problema deu duas condições iniciais para nós. A primeira delas é: o capacitor está totalmente carregado com carga Equation , o que significa que
e a segunda é: a corrente é nula nesse instante de tempo, ou seja,
Resolvendo esta última equação, teremos Equation e, substituindo isso em Equation , vamos ter que Equation . Com isso, as expressões ficam reescritas como
Para encontrarmos o tempo Equation ' em que a carga é Equation da carga inicial Equation , temos que fazer
O ângulo para o qual o cosseno tem esses valor é Equation . Portanto, Equation será dado por
c) No tempo Equation , a energia do sistema é apenas a energia armazenada no capacitor, já que não há corrente no circuito: Equation .
Para obtermos o tempo Equation em que a energia do capacitor é igual a energia dele em Equation , precisamos fazer a seguinte igualdade: