COMO SURGIRAM OS N�MEROS COMPLEXOS?
COMO SURGIRAM OS N�MEROS
Muitos de n�s, quando nos � colocada
esta quest�o, respondemos que os n�meros complexos surgiram para resolver as equa��es de 2�grau.
entanto, esta � uma ideia completamente errada! Qualquer matem�tico do s�culo XVI classificaria a equa��o como
absurda, ou seja, sem solu��o. Nem sequer perdia tempo com ela.
Foi ao resolver as equa��es de 3�grau, no caso em que estas possuem tr�s ra�zes reais n�o nulas, que aparece o primeiro contacto com o mundo dos complexos. Vamos ent�o ver, como � que tudo se passou...
Foi Cardano que, em 1545, mencionou pela primeira vez os n�meros complexos, na sua obra
Ars Magna de Cardano. Nesta obra aparece o seguinte problema: "Determinar dois n�meros cuja soma seja 10 e o produto seja
40". Foi a resolu��o deste problema que levou Cardano a considerar as seguintes
express�es:
No entanto, Cardano ficou por aqui, n�o dando significado �s express�es acima referidas, mas teve o m�rito de ter sido o primeiro a
consider�-las, at� porque neste tempo os n�meros negativos eram evitados.
Anos mais tarde, em 1572, um outro matem�tico, Raffaelle
Bombelli, publicou uma obra denominada Algebra. A Algebra
de Bombelli come�a com material elementar e culmina com o estudo das equa��es c�bica e qu�rtica.
Ao resolver a equa��o x3=15x+4, Bombelli utilizou a "f�rmula de Cardano" para obter a solu��o: .
Ele achou estranho esta express�o, porque conhecia todas as ra�zes da
equa��o:
Mas Bombelli teve uma ideia, procurou a
e b positivos tais que:
Com alguma manipula��o alg�brica concluiu que
a=2 e b=1, donde sai que x=4. Logo,
os n�meros que viriam a ser chamados complexos podiam produzir ra�zes reais. Assim, na sua obra, Bombelli reconhece a exist�ncia dos imagin�rios puros, isto �, complexos da forma
bi ou -bi, e estabelece as opera��es entre eles.
Mais tarde, j� no s�culo XVIII, Abraham
De Moivre introduziu m�todos mais modernos na investiga��o das propriedades dos n�meros complexos, para al�m de ter descoberto algumas f�rmulas relacionadas com este assunto, das quais se destacam as "f�rmulas de Moivre".
Foi tamb�m neste s�culo que Euler trabalhou na teoria dos n�meros complexos. Assim em 1740 anunciou a
Bernoulli a descoberta da f�rmula:
Euler aprofundou ainda outras ideias j� existentes sobre os n�meros complexos, estabelecendo v�rios resultados.
Entretanto, foram surgindo v�rias tentativas de representa��o geom�trica dos imagin�rios.
Argand reduziu o problema ao c�lculo de um meio proporcional geom�trico, isto �, associando um sentido e uma direc��o ao meio proporcional habitual.
Um dos teoremas fundamentais em �lgebra � precisamente o "Teorema Fundamental da �lgebra", que envolve n�meros complexos. Este teorema quando foi enunciado n�o foi demonstrado, no entanto, mais tarde foram surgindo v�rias demonstra��es. Um dos matem�ticos que se interessou por este assunto foi
Gauss, que publicou quatro demonstra��es do teorema.
Como vimos os n�meros complexos, apesar de terem uma hist�ria recente envolveram a pesquisa de v�rios matem�ticos. Foram realizados v�rios trabalhos de investiga��o e mesmo hoje em dia, sabe-se que ainda existem muitas coisas para descobrir e muitas quest�es em aberto para