Sinto muito, ver a resposta de @ Suncoolsu foi excluída. Ele e os comentários que se seguiram esclareceram a diferença entre multicolinearidade e mau condicionamento. Além disso, em um comentário, Suncoolsu apontou como a padronização preliminar pode ajudar na regressão polinomial. Se isso reaparecesse, eu votaria ;-).
@ :Λίας: É provável que o produto seja instável em muitas aplicações. Ele pode ser afetado por muitos zeros se os regressores individuais tiverem alguns zeros; é provável que seu valor absoluto tenha forte inclinação positiva, dando origem a alguns pontos de alta alavancagem; pode amplificar dados externos, especialmente discrepantes simultâneos, aumentando ainda mais sua alavancagem. Também pode ser um pouco difícil de interpretar, especialmente se os regressores já forem re-expressões das variáveis ​​originais (como logs ou raízes).
Os componentes principais fazem muito sentido ... matematicamente. No entanto, eu seria cauteloso em simplesmente usar algum truque matemático nesse caso e torcer para que eu não precisasse pensar no meu problema.
Eu recomendo pensar um pouco sobre que tipo de preditores tenho, qual é a variável independente, por que meus preditores estão correlacionados, se alguns dos meus preditores estão realmente medindo a mesma realidade subjacente (se sim, se posso apenas trabalhar com um medição única e qual dos meus preditores seria melhor para isso), para o que estou fazendo a análise - se não estou interessado em inferência, apenas em previsão, então eu poderia realmente deixar as coisas como estão, desde que sejam futuras valores preditores são semelhantes aos anteriores.
Completamente acordado, +1. Mas a caracterização do PCA como um "truque matemático" desvaloriza-o injustamente, IMHO. Se você concorda (não tenho certeza de que concorda) que a soma ou a média de grupos de regressores, como sugere Srikant, seriam aceitáveis, o PCA deve ser igualmente aceitável e geralmente melhora o ajuste. Além disso, os principais componentes podem fornecer informações sobre quais grupos de preditores estão correlacionados e como eles se correlacionam: essa é uma excelente ferramenta para o pensamento que você está defendendo.
@whuber, eu vejo e concordo com o seu ponto de vista, e não quero menosprezar o PCA, então definitivamente +1. Eu só queria salientar que cegamente utilizando PCA sem olhar e pensar sobre o problema subjacente (que ninguém aqui está advogando) iria me deixar com um sentimento ruim ...
— S. Kolassa - Reintegrar Monica
Você pode usar componentes principais ou regressão de crista para lidar com esse problema. Por outro lado, se você tiver duas variáveis ​​que são correlacionadas o suficiente para causar problemas com a estimativa de parâmetros, você certamente poderá descartar uma das duas sem perder muito em termos de previsão - porque as duas variáveis ​​carregam a mesma informação . Obviamente, isso só funciona quando o problema é devido a dois independentes altamente correlacionados. Quando o problema envolve mais de duas variáveis ​​juntas quase colineares (duas das quais podem ter apenas correlações moderadas), você provavelmente precisará de um dos outros métodos.
(+1) Agora, o problema é que o OP não indicou quantas variáveis ​​entram no modelo, porque, caso sejam numerosas, seria melhor fazer a seleção de encolhimento e de variável, por exemplo, através do critério elasticnet (que é a combinação penalidades de Lasso e Ridge).
Aqui está outro pensamento inspirado na resposta de Stephan :
Se alguns de seus regressores correlacionados estiverem significativamente relacionados (por exemplo, são diferentes medidas de inteligência, como verbais, matemáticas etc.), você poderá criar uma única variável que mede a mesma variável usando uma das seguintes técnicas:
Soma os regressores (apropriado se os regressores forem componentes de um todo, por exemplo, QI verbal + QI matemático = QI geral)
Média dos regressores (apropriado se os regressores estiverem medindo a mesma construção subjacente, por exemplo, tamanho do sapato esquerdo, tamanho do sapato direito para medir o comprimento dos pés)
Análise fatorial (para contabilizar erros nas medições e extrair um fator latente)
Você pode descartar todos os regressores correlacionados e substituí-los pela variável que emerge da análise acima.
Isso faz sentido se todos os regressores forem medidos na mesma escala. Na psicologia, várias subescalas são frequentemente medidas em escalas diferentes (e ainda correlacionadas); portanto, uma soma ou média ponderada (que é realmente a mesma aqui) seria apropriada. E, é claro, pode-se ver o PCA como fornecendo exatamente esse tipo de ponderação calculando eixos de variação máxima.
Eu estava prestes a dizer a mesma coisa que Stephan Kolassa acima (então votei na sua resposta). Eu apenas acrescentaria que, às vezes, a multicolinearidade pode ser devida ao uso de variáveis ​​extensas, todas altamente correlacionadas com alguma medida de tamanho, e as coisas podem ser melhoradas usando variáveis ​​intensivas, ou seja, dividindo tudo por alguma medida de tamanho. Por exemplo, se suas unidades são países, você pode dividir por população, área ou PNB, dependendo do contexto.
Ah - e responder à segunda parte da pergunta original: não consigo pensar em nenhuma situação ao adicionar o produto de todos os regressores correlacionados seria uma boa idéia. Como isso ajudaria? O que isso significaria?
Minha idéia inicial era para adicionar tomada em conta a interacção entre pares dos regressores
Geralmente, é uma boa idéia levar em consideração a interação pareada. Mas nem todos: você precisa pensar no que faz sentido!
Não sou especialista nisso, mas meu primeiro pensamento seria executar uma análise de componente principal nas variáveis ​​preditivas e, em seguida, usar os componentes principais resultantes para prever sua variável dependente.
@chl Bom ponto. Mas como os componentes principais são combinações lineares, é fácil (embora às vezes seja um pouco complicado) compor o modelo de regressão ajustado (= uma transformação linear) com a projeção nos componentes (= outra transformação linear) para obter um modelo linear interpretável envolvendo todas as variáveis ​​originais. Isso é um pouco semelhante às técnicas de ortogonalização. Observe, também, que as últimas propostas de Srikant (soma ou média dos regressores) aproximam-se essencialmente do principal vetor próprio, mas induzem dificuldades explicativas semelhantes.
@whuber Sim, concordo com os dois pontos. Eu usei extensivamente a regressão PLS e a CCA, portanto, neste caso, temos que lidar com combinações lineares de ambos os lados (st. Um critério máximo de covariância ou correlação); com um grande número de preditores, interpretar os vetores canônicos é doloroso; portanto, apenas analisamos as variáveis ​​que mais contribuem. Agora, posso imaginar que não haja muitos preditores para que todos os seus argumentos (@Stephan, @Mike) façam sentido.
xs t a n da r deu ze deu j= xeu j- x. j¯¯¯¯¯¯sjxEujstumandumardEuzed=xEuj-x.j¯sj
Este não é um remédio, mas definitivamente um passo na direção certa.
Transformações lineares (como essas) nunca alteram os coeficientes de correlação. O objetivo da padronização é melhorar o condicionamento da matriz normal.
A padronização das variáveis ​​não afetará as correlações entre as variáveis ​​independentes e "não reduzirá o efeito da correlação" de nenhuma maneira que eu possa pensar em relação a esse problema.
@Brett, um exemplo típico em que a padronização ajuda é a regressão polinomial . É sempre recomendável padronizar os regressores. A padronização não altera a matriz de correlação, mas torna a matriz var cov (que agora é a matriz de correlação) bem comportada (chamada condicionamento por @whuber apontando para o número de condição da matriz, IMHO).
Acordado. A centralização é útil ao inserir termos de ordem superior, como polinômios ou termos de interação. Esse não parece ser o caso aqui e, de outra forma, não ajudará no problema dos preditores correlacionados.
Excluí-o porque não queria confundir as pessoas com respostas erradas. Provavelmente, os moderadores voltaram à tona.