Mudanças de coordenadas em integrais duplas
Cálculo	- Cálculo diferencial e Integral 2
Sáb, 05 de Novembro de 2011 10:52
Mudança de coordenadas em integrais duplas
O cálculo direto de integrais iteradas em coordenadas cartesianas em geral não é muito fácil. por isso, os matemáticos desenvolveram a idéia de mudar as variáveis.
De forma geral, podemos introduzir novas variáveis de integração na integral dupla
usando uma transformação da forma,
que aplica uma região simples D* sobre uma região mais complicado D. Neste caso, a integral pode ser escrita como
onde o determinante é calculado sobre a matriz jacobiana dada por
Na prática, encontrar a transformação T não é uma tarefa simples e, caso você necessite no seu cotidiano de trabalho, deve procurar um escritório de consultoria matemática (no Brasil o Instituto Gauss de Matemática - IGM, por exemplo).
Uma transformação bastante conhecida são as coordenadas polares.
e é o disco de raio 7 centrado na origem.
Em coordenadas retangulares x e y o disco é dado por
Sendo assim, a nossa integral é escrita como
Uma estratégia para facilitar o cálculo da integral é fazer uma mudança de variáveis para as coordenadas polares.
Em coordenadas polares o disco D agora é o retângulo D* dado por
que é uma região mais simples.
Recorde da álgebra linear quando foi visto transformações lineares no plano. O MPD: transformações lineares no plano mostra a relação entre as áreas pelo fator r que é o determinante da matriz da transformação linear:
A relação entre as coordenadas retangulares e as coordenadas polares são dadas por
A relação entre as áreas das regiões pode ser obtida por meio da função vetorial
Como consequência, a relação entre as áreas da região deve ser multiplicada pelo determinante da matriz das derivadas parciais de T que no caso é o fator r, ou seja, o elemento de integração
, altera para
Portanto a integral que queremos calcular será:
As coordenadas polares podem ser usadas para descrever áreas no plano . Muitas vezes escrevemos a área em coordenadas polares pois seu cálculo neste tipo de coordenadas pode facilitar as contas, por exemplo, ao calcular a integral. Veja este exemplo de área em coordenadas cartesianas e sua conversão para coordenadas polares.