Resumo de Matemática - Matriz Inversa - Questões Estratégicas
Resumo de Matemática - Matriz Inversa
A matriz inversa, também denominada de matriz invertível, é um tipo específico das matrizes que resulta nas operações matriciais do tipo A . X = B.
Como nesse tipo de operação não é possível realizar a divisão dos seus elementos, os matemáticos encontraram métodos possíveis para identificar a sua invertível.
Lembrando que para cada matriz somente é possível encontrar uma única matriz inversa, da mesma forma que é feito para encontrar o inverso de um número real qualquer.
O cálculo deste tipo de matriz irá resultar na inversa de mesma ordem, ou seja, mesmo número de linhas e colunas. A matriz identidade, portanto, é aquela em que todos os elementos da sua diagonal principal são equivalentes ao número um (1) e todos os outros elementos são equivalentes a zero (0).
O que é matriz inversa
Uma matriz inversa é aquela representada da mesma forma que a sua matriz original, ou seja, seja uma dada matriz com a mesma quantidade de linhas e colunas, a matriz de mesma ordem também será quadrada, chamada de matriz identidade.
Importante notar que uma matriz pode não ser inversível, pois, de acordo com suas características, pode não ser possível identificar a sua inversa.
Se uma matriz A possuir inversa, pode-se dizer que A é inversível, sendo que a sua inversa é uma matriz única. Se A não for inversível, diz-se que A é uma matriz singular.
Para identificar se uma matriz é inversível, é necessário primeiro encontrar seu determinante. Sendo este determinante diferente de zero, pode-se afirmar que é uma matriz inversível.
Dessa maneira, é correto afirmar que somente uma matriz quadrada possui inversa, já que somente pode-se calcular o determinante de uma matriz quadrada. Uma matriz quadrada são aquelas matrizes que possuem a mesma quantidade de linhas e colunas.
Calculando a inversa de uma matriz
O cálculo desse tipo de matriz é realizado a partir do método de resolução por sistemas lineares.
Como visto na explanação acima, a multiplicação de uma matriz pela sua inversa tem como resultado uma matriz identidade. Por meio disso é possível criar um sistemas lineares e calcular a inversa da matriz em questão.
Abaixo, há um exemplo de cálculo da matriz inversa de ordem 3 com a identificação do seu determinante. Acompanhe:
Exemplo: Calculando uma matriz de ordem 3, ou seja, composta por três linhas e três colunas, considere a matriz A a seguir e calcule a sua inversa A-1:
O cálculo da matriz quadrada de ordem 3 é feito a partir da regra de Sarrus.
Identificando seu determinante, tem-se:
Det (A) = 2 . 1 . 1 + 1 . 0 . 1 + 0 . 0 . 2 – 0 . 1 . 1 – 2 . 0 . 2 – 1 . 0 . 1 = 2, como det (A) ≠ 0, então A é inversível.
Usando a definição de matriz inversa: A . A-1 = In , a partir de agora basta substituir os elementos, depois de encontrar o determinante e utilizar a fórmula.
Multiplicando A por A -1 encontra-se o seguinte resultado:
Fazendo a multiplicação entre os elementos respectivos entre o lado esquerdo com os elementos da matriz identidade do lado direito, obtém-se os seguintes resultados:
Basta resolver o sistema desenvolvido acima:
Tem-se, portanto, que a matriz inversa de A, após a substituição dos elementos e aplicação dos sistemas lineares é equivalente a:
Resumo sobre matriz inversa
Este tipo de matriz resulta nas operações matriciais do tipo A . X = B. Quando se calcula uma matriz inversa de qualquer tipo, seu resultado será a inversa de mesma ordem, com mesmo número de linhas e colunas. Sendo assim, é correto afirmar que somente uma matriz quadrada possui inversa.