Respostas - Calculo A - Cap 5 c - Flemming e Gonçalves - Respostas dos...
Respostas - Calculo A - Cap 5 c - Flemming e Gonçalves
1. Um fio de comprimento l é cortado em dois pedaços. Com um deles se fará um círculo e com o outro um quadrado.
a) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das duas áreas compreendidas pelas figuras seja mínima?
22arS+=pi sendo r o raio do círculo e a o lado do quadrado.
242 que temos rlalar pipi − =⇒=+
Assim, rrllrS rlrS pipi pi pi pi
pipipi pi pipipi pipipi pipi pi pipi pi l r lr rlr rl r rlrS mínimo de ponto é0 16 82 28 pi pi pi pi lS S
Portanto: pi28 +
= l r e l a.
1º Pedaço:
2º Pedaço: pi
b) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das áreas compreendidas seja máxima?
Como não existe ponto de máximo na função devemos fazer somente um círculo ou um quadrado. Temos:
quadradocírculo quadrado círuculo
A lA llrA
2 pi pipi
Portanto, vamos usar o comprimento do fio para fazer somente um círculo de raio
2. Determinar o ponto P situado sobre o gráfico da hipérbole ,1=xy que está mais próximo da origem.
Vamos considerar um ponto ),(yxP sobre a hipérbole e a distância d deste ponto até a origem. Temos:
Para achar o mínimo de d podemos minimizar a função
x xf x xf x xf x xf
1±⇒ são pontos de mínimo
3. Um fazendeiro tem 200 bois, cada um pesando 300 kg. Até agora ele gastou R$380.0,0 para criar os bois e continuará gastando R$ 2,0 por dia para manter um boi. Os bois aumentam de peso a uma razão de 1,5 kg por dia. Seu preço de venda, hoje, é de R$ 18,0 o quilo, mas o preço cai 5 centavos por dia. Quantos dias deveria o fazendeiro aguardar para maximizar seu lucro? t tL ttL ttL
⇒<−=′′030Lé ponto de máximo. Assim, temos que o fazendeiro deve esperar 67 dias para obter o lucro máximo.
4. Achar dois números positivos cuja soma seja 70 e cujo produto seja o maior possível.
máximo. de ponto é3502 f xxf xf xxxxxyf
5. Usando uma folha quadrada de cartolina, de lado ,a deseja-se construir uma caixa sem tampa, cortando em seus cantos quadrados iguais e dobrando convenientemente a parte restante. Determinar o lado dos quadrados que devem ser cortados de modo que o volume da caixa seja o maior possível.
6/ou 2/
aaaaaV xaV axax xaxa xaxaV xaxxaV xxaxaxxaV
Portanto: os lados dos quadrados devem medir 6 a unidades de medida.
6. Determinar as dimensões de uma lata cilíndrica, com tampa, com volume V, de forma que a sua área total seja mínima.
222rrhApipi+= Temos que:
Vh hrV pi pi=
mínimo de ponto é 2 pi pipipi pipi pi pi pi pipi pi pi pi pipi pi
V r r VA
VVrVr r rVA r r VA r r VA r r VrA
VVVr Vh
7. Duas indústrias A e B necessitam de água potável. A figura a seguir esquematiza a posição das indústrias, bem como a posição de um encanamento retilíneo l, já existente. Em que ponto do encanamento deve ser instalado um reservatório de modo que a metragem de cano a ser utilizada seja mínima?
)()( oEncanament
)( oEncanament x xxL xxxL xbxcaxL xbRB xcaRA
x x x x x x xL x xL
Precisamos ainda analisar os extremos pois .120≤≤x
Portanto, 4=x é o ponto de mínimo procurado.
8. O custo e a receita total com a produção e comercialização e um produto são dados por:
(a) Encontrar a quantidade q que maximiza o lucro com a venda desse produto. ( ) ( ) ( ) q q qCqRqL
q q qqL
(b) Qual o nível de produção que minimiza o lucro?
A figura a seguir apresenta o gráfico da função lucro ().6008,7006,02−+−=qqqL Temos que o lucro mínimo é igual a zero e ocorre no nível de produção 82≅q.
(c) Qual o nível de produção correspondente ao prejuízo máximo?
Observando novamente a figura podemos observar que o prejuízo é de 600 para q=0.
9. O gráfico da função ],[,)(101qqqFKqqC∈+=α , sendo ,K α e F constantes positivas, é denominado de curvas de custos a curto prazo de Cobb – Douglas. Essa curva é bastante utilizada para representar os custos de uma empresa com a produção de um produto.
(a) Dar o significado da constante F.
Temos que F representa o custo fixo.
(b) Verificar que, quando 1>α, a curva é côncava para baixo e interpretar esse resultado sobre o ponto de vista da Economia.
Na figura a seguir apresentamos um exemplo para ,2=K 3=α e 8=F.
Algebricamente podemos fazer:
αα qkqC
Portanto, ()()qCqC⇒<0'' é côncava para baixo.
Sob o ponto de vista da economia isso significa que o custo marginal decresce a medida que o nível de produção aumenta.
(c) Supor ,2=K 3=α e 8=F e determinar se existir, o valor de q que fornece o custo médio mínimo.
q q q q qqqC qqqC q qqC qqC
Como 0<q não há q que produz custo médio mínimo.
(d) Usando os mesmo valores de item (c), determinar o nível de produção que minimiza o custo marginal, no intervalo 000125125≤≤q.
2 − =′qqC é o custo marginal, que vamos denotar CM.
10. Qual é o retângulo de perímetro máximo inscrito no círculo de raio 12 cm? Supondo que o retângulo tenha lados x e y e o círculo raio r=12 temos: Perímetro yx22+=
Observando o triângulo retângulo de hipotenusa igual ao diâmetro e catetos x e y temos:
Substituindo esse valor na expressão do perímetro temos:
x x x xxP x x xxP
==> O retângulo de perímetro máximo é o quadrado de lado 288.
1. Traçar uma tangente à elipse 2=+yx de modo que a área do triângulo que ela forma com os eixos coordenados positivos seja mínima. Obter as coordenadas do ponto de tangência e a área mínima.
Na figura que segue temos a visualização do problema.
Seja ()1,yx o ponto de tangência. A equação da tangente é dada por:
)(11xxmyy−=− Vamos encontrar os valores de x e y onde a reta tangente corta os eixos.
Se y x x m y xxmyy
= que é a função que queremos minimizar.
yxy xy xyy yyx yx
Substituindo em A vem: ( )
yx yx yx yx y xyx x y y x x y x y y x mxy m yxA
Ainda temos que:
x x x x xA x x x x x x x A
21 1=x é ponto de mínimo
Assim as coordenadas do ponto de tangência são
1 e a área mínima:
yx yxyxA
Finalmente temos a equação da tangente no ponto encontrado:
xy xy xxmyy
12. Mostrar que o volume do maior cilindro reto que pode ser inscrito num cone reto é 94 do volume do cone.
A figura que segue mostra um corte vertical do cilindro inscrito no cone.
rh xr
r xex xhhrx xhxhrV r xhxhrV r xhxhrr xrhxV yxV pipi pipi pipi pipi pi
máximo de ponto é 023 262 mínimo ponto02 r hr r rhhr V r hrV r xhhrV r pipipi pi pipi
Portanto, o raio do cilindro é igual a r 3
, onde r é o raio da base do cone.
A altura do cilindro 3 rrh
Assim, x r
13. Um cone reto é cortado por um plano paralelo à sua base. A que distância da base deve ser feito esse corte, para que o cone reto de base na secção determinada, e de vértice no centro da base do cone dado, tenha volume máximo?
Considerando r o raio da base do cone; h a altura do cone dado; x o raio da seção e y a altura da seção até a base do cone dado, temos:
r xrhy xr yr h
r xex xhxhrV r xhxhrxV r xhxhrr xrh xyxxV pipi pipi pipipi pi hr hrhrrV r xhhrxV pipipi pipi
Portanto, 3
2r x=é ponto de máximo.
2. hr hhy r xhhy
Portanto, a distância deve ser igual à terça parte da altura do cone reto dado.
14. Determinar o ponto A da curva xxy+=2 que se encontra mais próximo de (7, 0). Mostrar que a reta que passa por (7,0) e por A é normal à curva dada em A.
A figura que segue ilustra este problema.
complexas são e1 07232 x x xxxf xxxf xxxxf xxxxxf xxxf
Reta PAque passa por :
xy xy x x y y que é a equação da reta que passa por PA.
As duas retas são perpendiculares, pois as declividades multiplicadas resultam .1−
15. Uma folha de papel contém 375 cm² de matéria impressa, com margem superior de 3,5 cm, margem inferior de 2 cm, margem lateral direita de 2 cm e margem lateral esquerda de 2,5 cm. Determinar quais devem ser as dimensões da folha para que haja o máximo de economia de papel.
A Figura que segue ilustra o problema.
bby aax a bba xyA= deve ser mínima.
16. Uma janela tem a forma de um retângulo encimado por um semicírculo. Achar as dimensões de modo que o perímetro seja 3,2 m e a área a maior possível.
Considerando o retângulo com dimensões h e 2r sendo r o raio do semicírculo, temos:
2,32:relação a Vale rrh rrh
máximo. de ponto é 4 2,304 pi pi pi pi pipi pi pi pi pi pipipi pipi r r r rrA rrA rrrrrrrA rrrrA
círculo-semi do raio o é4 pipipi pi pipi pi pi pipi pi pi h h
Portanto, as dimensões do retângulo são 0.4 m x 0.8 m.
17. Um canhão, situado no solo, é posto sob um ângulo de inclinação α. Seja l o alcance do canhão, dado por ,cos 2 2 ααsen g vl= onde v e g são constantes. Para que ângulo o alcance é máximo? Temos:
0cos cos 2
pi α pi ααα sen sen sen g vl sen g vl sen g vl
máximo. de ponto é4 04 pi α
g vl sen g vl
18. Uma agência de turismo está organizando um serviço de barcas, de uma ilha situada a 40 km de uma costa quase reta, para uma cidade que dista 100 km, como mostra a figura a seguir. Se a barca tem uma velocidade de 18 km por hora, e os carros têm uma velocidade média de 50 km/h, onde deverá estar situada a estação das barcas a fim de tornar a viagem a mais rápida possível?
x x x t x t x t
CIDADE Estação x x x x x x
x t x t x x x x x x x x
Portanto para 1000≤≤x o mínimo absoluto é em 56,84≅xkm.
19. Uma cerca de 1 m de altura está situada a uma distância de 1 m da parede lateral de um galpão. Qual o comprimento da menor escada cujas extremidades se apóiam na parede e no chão do lado de fora da cerca?
.minimizadaser para função)1()1(
x x xd xyd x xyxx y
Podemos minimizar 2df=
x x xxxxxxxxf x xxxxxxxxxf x x xxxxxf
x f x xf x xxxf
20. Seja s uma reta que passa pelo ponto )3,4( formando um triângulo com os eixos coordenados positivos. Qual a equação de s para que a área desse triângulo seja mínima?
A Figura que segue ilustra o problema
A equação da reta é dada por:
minimizar. para função a é3)m4.(342 1
m m m m mmmA m mmmA m mmmA m m m mA
3 =m não interessa.
mínimo. de ponto é4 30 m A m mmmA
Portanto 4
A equação procurada é dada por:
21 . Uma pista de atletismo com comprimento total de 400 m, consiste de 2 semicírculos e dois segmentos retos, conforme figura a seguir. Determinar as dimensões da pista, de tal forma que a área retangular, demarcada na figura, seja máxima.
pi pi pi pi pi r r rA rA rrA
Portanto, mr pi
2. Um cilindro circular reto está inscrito num cone circular reto de altura mH6= e raio da base .5,3mR= Determinar a altura e o raio da base do cilindro de volume máximo.
Supondo x o raio da base do cilindro e y a sua altura, temos:
R xHxHRV
R xHxHRV yxV pipi pipi pi
Já foi mostrado no exercício 12 que é máximo.
:Portanto = =
23. Uma fábrica produz x milhares de unidades mensais de um determinado artigo. Se o custo de produção é dado por ,60186223+++=xxxC e o valor obtido na venda é dado por ,12602xxR−= determinar o numero ótimo de unidades mensais que maximiza o lucro .CRL −=
x x xxL xxL xxxL xxxxxL
Resposta:1000=x unidades.
24. Um cilindro reto é inscrito numa esfera de raio R. Determinar esse cilindro, de forma que seu volume seja máximo.
Vamos considerar o cilindro com raio da base igual a x e altura igual a 2y. Vale a relação:
RyRy yR yRV yRV yyRV yyRV yxV pi pi pi pi pi
máximo. de ponto é3 0
3 RyV
Portanto: 3
2altura R = e
25. Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares, de dimensões a e b, com um lado comum a. Se cada pasto deve medir 400m² de área, determinar as dimensões a e b, de forma que o comprimento da cerca seja mínimo?
mA mA = a b abP
mínimo. de ponto é3 3400
26. Um fabricante, ao comprar caixas de embalagens, retangulares, exige que o comprimento de cada caixa seja 2 m e o volume 3 m³. Para gastar a menor quantidade de material possível na fabricação de caixas, quais devem ser suas dimensões.
Considerando-se as dimensões da caixa como 2 m. × x m. × y m temos:
x y xyV
x xxA x xA xyxA
mínimo. de ponto é 2 30 x A x xA x x xxxxA x xxxxA
27. Um retângulo é inscrito num triângulo retângulo de catetos medindo 9 cm e 12 cm. Encontrar as dimensões do retângulo com maior área, supondo que sua posição é dada na figura a seguir.