9 - GRANDEZAS ESTATÍSTICAS
Antes de prosseguirmos com a problemática da previsão de chuvas que poderão ocorrer no futuro, para que possamos dimensionar (determinar as dimensões) com exatidão (nem muito grande e nem muito pequena) as obras hidráulicas para controlar as cheias decorrentes das chuvas, vamos fazer uma pequena pausa.
Saber prever com exatidão o tamanho da chuva que vai cair é uma ciência importante mas que parece, ao leigo, uma tarefa muito difícil. Uma previsão mal calculada é sempre catastrófica e muitas vezes implica na perda de vidas humanas.
Quando uma autoridade governamental fala, nos meios de comunicação, que "choveu mais que o esperado" é por que a sua equipe não teve a competência de estudar e determinar, de forma científica, o tamanho exato da chuva e apelaram para o achismo.
O mesmo tipo de carência encontramos na compra e distribuição de uniformes escolares, remédios e muitas outras coisas que o governo compra e distribui de forma errada, resultando em muitos problemas, às vezes por que faltou, às vezes por que sobrou e tiveram que jogar fora.
Para facilitar a determinação das quantidades exatas, a Estatística fornece um conjunto muito grande de Grandezas Estatísticas e também de metodologias de cálculo que, com um pouco de boa vontade, qualquer pessoa consegue entender.
Este site mostra, de uma forma muito prática, quais são as principais Grandezas Estatísticas, como calculá-las e, o mais importante, como usá-las (tirar proveito) nos nossos problemas do dia a dia.
NOTA: Pela finalidade didática, o site pode ser copiado, impresso e distribuído livremente. Só não pode ser pirateado, isto é, copiado e depois distribuído como se fossem seus.
1 - AS GRANDEZAS ESTATÍSTICAS.
Conceitos como média, desvio padrão, moda, distribuição Normal, distribuição de Poisson e outros foram criados com a evolução das ciências, alguns deles por matemáticos famosos como Gauss, Laplace, Caushy, Pearson, etc. e permitem, a nós, a determinação de valores futuros, que chamamos de previsão, com exatidão.
Apresentamos os diversos conceitos na forma de "problemas" para que qualquer pessoa possa se inteirar (conhecer e dominar) as Grandezas Estatísticas.
PROBLEMA 1: Numa classe de quinta série, a Classe 1, perguntei as idades das alunas. Encontrei a seguinte resposta:
RESPOSTA: Encontrei n = 5 alunas todas com idade de 11 anos. Posso afirmar que a idade média é de x = 11 anos.
Cálculo da média = (11+11+11+11+11)/5 = 11 anos
Representamos essa distribuição de idades com a Grandeza Estatística denominada MÉDIA e que se representa com a letra xis minúscula que tem um traço em cima x.
MÉDIA = O valor resultante da soma de todos os valores de um conjunto dividida pelo número de elementos no conjunto.
PROBLEMA 2: Na Classe 2, perguntei, igualmente, as idades das alunas. Encontrei a seguinte resposta:
RESPOSTA: Encontrei n = 5 alunas com idades variadas, porém posso afirmar que a idade média é de x = 11 anos.
Cálculo da média = (10+12+10+11+12)/5 = 11 anos.
Se a média da Classe 1, x1 = 11 anos, é igual à media da Classe 2, x2 = 11 anos, então posso afirmar que as duas classes têm a mesma distribuição de idades?
Então, como poderei diferenciar essas distribuições diferentes que eu encontrei nas classes?
Usamos uma Grandeza Estatística denominada Variância e que se representa com a letra esse minúscula s2 e indica quão longe o valor está em relação à média.
A Variância é calculada com a fórmula: variância = s2 = (valor - média)2
VARIÂNCIA = Valor resultante da soma da diferença de cada valor em relação à média elevada ao quadrado e dividido pelo número de elementos menos 1.
IDADE: 10 12 10 11 12 x = 11
VARIÂNCIA: 1 1 1 0 1 s2 = 1
A soma de todas as variâncias individuais dividida por (n-1) nos dá a Variância da Classe, s2 = 1.
Calculando a variância da Classe 1, encontramos o valor S21 = 0. Então, embora as médias das idades sejam exatamente iguais nas duas classes, podemos diferenciar uma classe da outra pela Variâncias que são diferentes.
RESUMO: Para médias iguais, as variâncias nos dá a dispersão dos valores. Quanto maior a variância mais dispersos encontram-se os valores.
MÉDIA VARIÂNCIA
Classe 1 11 0
Classe 2 11 1
PROBLEMA 3: Na classe seguinte, a Classe 3, para a mesma pergunta encontrei a seguinte resposta:
IDADE: 13 9 9 11 13 x = 11
VARIÂNCIA: 4 4 4 0 4 s2 = 4
RESPOSTA: Encontrei n = 5 alunas com idades variadas, porém com média das idades x = 11 anos e Variância s2 = 4.
Está parecendo muito com os resultados da Classe 2. A direrença é que na Classe 2 encontrei a Variância s22 = 1 e na Classe 3 a Variância s23 = 4.
Uma outra Grandeza Estatística.
Tendo em vista a dificuldade de se sentir as diferenças entre as Variâncias, a Estatística criou uma outro grandeza denominada Desvio Padrão, que se representa com a letra s e que se calcula com a raiz quadrada da Variância. s = √s2
DESVIO PADRÃO = valor calculado como a raiz quadrada da variância de um conjunto de dados.
PROBLEMA 4: Prosseguindo com a minha pesquisa, na Classe 4 encontrei a seguinte resposta:
IDADE 11 13 9 10 10 13 9 13
Observe que, além das Grandezas Estatísticas x, s2 e s, foi criada mais uma grandeza para representar a "idade mais representativa".
Esse valor, que é o valor que mais aparece numa amostragem, é denominado MODA.
MODA = Valor que mais aparece num conjunto de dados.
RESPOSTA: Como resposta da pesquisa que realizei na Classe 4, encontrei as seguintes Grandezas Estatísticas:
n = 8 alunas - Número de elementos da amostra;
x = 11 anos - Média das idades;
s2 = 3,1 - Variância da amostra;
s = 1,8 - Desvio Padrão da amostra;
m = 13 anos - Moda da amostra.
2 - A DISTRIBUIÇÃO DOS VALORES DE UMA AMOSTRA.
Para que possamos tirar proveito do estudo estatístico de uma amostra, é necessário dispor os valores da amostra na forma de uma "distribuição" ou de um "gráfico da distribuição".
A "distribuição" é feita numa tabela em que dispomos:
- os valores representativos em ordem crescente;
- a quantidade de vezes que o valor aparece na amostra;
Usando os valores do Problema 4, podemos montar a seguinte Tabela de Distribuições:
IDADE (anos) 9 10 11 12 13
FREQUENCIA DE OCORRÊNCIA 2 2 1 0 3
Também podemos montar o Gráfico da Distribuição:
Dependendo do uso que faremos da distribuição, poderemos querer ver a função contínua dessa distribuição. Isso é feito traçando-se uma linha contínua com curvas suaves:
Deixando somente a linha contínua:
Muitos matemáticos andaram estudando as propriedades das funções de distribuição coletando valores na natureza. Para isso faziam perguntas do tipo:
- Quantas pessoas entram num bar ao longo do dia? Então quantos assentos teria que ter para que todos possam sentar?
- Quantas pessoas passam por uma ponte ao longo do dia? Então, qual será a largura para que todos possam sem atropelos?
- Preciso comprar os tenis para os alunos do próximo ano. Quais são os números e quantos pares por cada número?
Nos dias de hoje, faríamos perguntas do tipo:
- Pretendo abrir uma nova agência bancária em certo bairro. Quantos caixas terei que dotar a agência para que náo haja filas com mais de 3 pessoas por fila ao longo de todo o dia?
- Preciso programar os ônibus ao longo do dia para uma certa linha. Em que horários precisarei por ônibus de tal forma que as pessoas não tenham que esperar mais de 20 minutos?
- Preciso montar a escala de plantão de caixas de um posto de pedágio numa certa estrada. Quantos funcionários deverão estar no plantão de tal forma que não haja congestionamentos nos caixas?
Para cada situação, é possível encontrar uma distribuição.
Vejamos as característica das distribuições mais usadas:
A Distriguição Normal é também conhecida por Distribuição de Gauss pois foi detalhadamente estudada por Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) no ano de 1794 e tem o aspecto seguite:
A Distribuição Normal é simétrica e apresenta as seguintes propriedades:
1 - Para o intervalos entre x - s e x + s a curva representa 68% de probabilidade.
2 - Para o intervalos entre x - 2s e x + 2s a curva representa 95% de probabilidade.
3 - Para o intervalo entre x - 3s e x + 3s a curva representa 99,7% de probabilidade.
2 - A DISTRIBUIÇÃO GAMA:
A distribuição Gama é o caso geral de diversas distribuições importantes como a distribuição exponencial, a qui-quadrado e outras mas ela mesma é um caso particular, por exemplo, da distribuição de Pearson Tipo III.
Por representar bem certos fenômenos da natureza, a distribuição gama é preferida nos estudos hidrológicos.
θ letra grega teta, é o parâmetro de deslocametno;
β letra grega beta, é o parâmetro de dispersão;
α letra grega alfa, é o parâmetro de formato.
Variando os parâmetros obtém-se curvas de diversas formas:
Sendo assimétrica e concentrando as maiores ocorrências no início é muito boa para representar a afluência de clientes em uma liquidação ou para representar uma chuva de verão e principalmente para representar processos estocásticos associados com o tempo.
3 - A DISTRIBUIÇÃO BETA
É um caso particular da distribuição gama onde só existem os parâmetros α e β.
O intervalo das variáveis deve ser entre 0 e 1 e a forma depende dos valores dos parâmetros.
Para α = β :
Para α < β :
Para α > β :
4 - A DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
Estudada a fundo pelo francês Siméon-Denis Poisson 1781-1840 (pronuncia-se poasson) e publicada em 1838, a distribuição de Poisson, como a distribuição Gama, representa bem os fenômenos relacionados à natureza e é adotada em problemas do tipo "qual a probabiliade de ocorrer um determinado evento". Exemplo: Qual a probabilidade de ococrrer uma chuva maior que 130 mm no período de 5 anos?