Ensino – Samuel Rocha de Oliveira
Ensino Matemática Política
Nenhum comentário em Matemática Financeira Básica e Previdência (Social ou Individual)
Tags Aposentadoria, Matemática Financeira, Previdência Social
Ensino Matemática Pesquisa
Nenhum comentário em Um notório saber que não sabe ensinar
Não é apenas uma noção de senso comum. Há pesquisas e reflexões acadêmicas consolidadas que mostram que o conhecimento específico do conteúdo é necessário mas não suficiente para ensiná lo. Na realidade há competências e habilidades específicas que devem ser aprendidas para que um professor seja minimamente qualificado.
Um exemplo emblemático, bem pontual, mas representativo de que ter notório saber não basta para sequer explicar um assunto, um conteúdo é o matemático japonês Shinichi Mochizuki que diz ter resolvido um problema clássico da Matemática, a conjectura ABC.
A conjectura, isto é, o problema proposto nos anos 1980 é entendido por muitas pessoas. Basta procurar o termo Conjetura ABC.
Mochizuki estudou o problema, desenvolveu nova matemática e escreveu a sua solução em 500 páginas. No entanto, nenhum matemático entendeu completamente o que o Mochizuki escreveu. Assim, fizeram um encontro para que o japonês explicasse para um grupo de matemáticos profissionais. Não deu certo – teve a dificuldade adicional de que o Mochizuki estava no Japão e o grupo de matemáticos estava na Inglaterra, isto é, as apresentações foram por vídeo conferência. Resolveram então fazer uma reunião de trabalho no Japão com o Mochizuki presencialmente.
Mesmo assim, acham que ainda precisam de 3 anos para entender a solução desenvolvida pelo matemático japonês.
O que chamo a atenção é que o notório saber inquestionável do matemático japonês não foi suficiente para ensinar o conteúdo novo nem mesmo para matemáticos profissionais de alto nível.
Tags Ensino, Matemática, professor, profissão
Básico Ciências Ensino Matemática
π não é tri
Nenhum comentário em π não é tri
Símbolo para o pi
O valor do número π (pi) não é 3. Como todo número irracional, ele não pode ser escrito com um número racional da forma a/b (a dividido por b, onde a e b são naturais) e a sua representação decimal não tem fim.
No parágrafo anterior só há de negações. Então, vamos às afirmações.
π é um número irracional, transcendental que está intimamente relacionado ao círculo.
Um círculo pode ser construído com um compasso.
Desenho de um círculo com um compasso
E com uma régua podemos medir a distância da circunferência ao centro (na prática é a abertura do compasso). O perímetro, isto é, o comprimento da circunferência não é imediatamente mensurável com uma régua. É preciso um instrumento que se dobre, como um cordão, e assim podemos medir o perímetro do círculo.
Um experimento que todos devem fazer em algum momento da vida (dentro ou fora da escola) é medir o perímetro e o raio e calcular a divisão do perímetro pelo diâmetro (que é o dobro do raio). E fazer esse procedimento para círculos de vários tamanhos. Seja o círculo grande ou pequeno, com perímetros e diâmetros correspondentes grandes e pequenos, a divisão do perímetro pelo diâmetro é essencialmente (sempre há algum erro nas medidas) a mesma. Com muito mais análise, a humanidade descobriu que o perímetro é proporcional ao diâmetro, e a constante de proporcionalidade é o número π.
Alguém pode dizer, "grande coisa" pois sabemos que há outras figuras planas geométricas nas quais o perímetro é proporcional ao "diâmetro", basta tomar o cuidado de definir bem as figuras e os conceitos de perímetro e diâmetro. Mais sobre isso na tabela abaixo.
Mas porque algumas vezes considera-se π com o valor 3? É uma aproximação para fazer cálculos mentais ou estimativas grosseiras, mas tanto o valor quanto o significado são bem diferentes. Em termos relativos, o erro é próximo a 5% e assim é aceitável para algumas aplicações. Em termos conceituais, Pi é um número irracional e 3 é um número de contagem Natural.
Observe, por exemplo, um círculo de raio unitário que tem perímetro 2 π (o dobro de pi) Se a dita aproximação é usada, então o perímetro seria 6, que é congruente ao perímetro de um triângulo equilátero de lado 2.
Círculo de raio unitário e triângulo equilátero de perímetro 6. Ambos concêntricos
Já o valor da área do círculo unitário é π. Se a dita aproximação também é usada para a sua área, ela seria 3, que é a área equivalente à de um triângulo equilátero de lado 2,7, aproximadamente.
Círculo de raio unitário e triângulo equilátero de área 3. Ambos concêntricos.
Podemos superpor as três figuras para enfatizar que a aproximação para o número π é ambígua e depende da aplicação na qual a aproximação faz algum sentido:
π não é 3. Observe o círculo de raio unitário, um triângulo de perímetro 6 e outro triângulo de área 3. O trio é concêntrico.
Se em algum cálculo de Matemática Aplicada o π é aproximado por 3, deve-se manter a coerência no uso dos algarismos significativos das demais grandezas ou quantidades envolvidas.
Por exemplo, considere o volume de uma gota de chuva, que tenha o formato aproximado de uma esfera. A medida feita por fotografia de alta precisão fornece o diâmetro (médio) das gotas de chuva de 1,769 mm. O volume de uma esfera de raio R é dado por 4 π R3 /3 (quatro terços de pi vezes R ao cubo). Se a aproximação grosseira de π é feita, não há razão de manter tantas casas decimais, ou melhor, não é coerente utilizar tantos dígitos significativos pois a dita aproximação para π usa apenas um dígito. Nesse caso, para manter a consistência, o raio da gota seria aproximado por 1 mm e o seu volume seria dado por 4 mm3.
Para finalizar, como prometido, nas figuras planas regulares encontramos facilmente que o diâmetro e o perímetro são proporcionais.
Diâmetro é a maior distância entre dois pontos.
Perímetro é o comprimento total da fronteira, isto é, da curva que engloba a região (conexa) da figura (em geometria Euclideana plana).
Com as duas definições acima calculamos o diâmetro, o perímetro e a razão entre ambos para alguns polígonos regulares (de lados e ângulos congruentes).
Polígono Lado Perímetro Diâmetro Perímetro/Diâmetro
Triângulo a 3a a 3
Quadrado a 4a sqrt{2} a 2 sqrt{2} =aprox 2,82
Pentágono a 5a (1+sqrt{5})a/2 5(sqrt{5}-1)/2 =aprox 3,09
Hexágono a 6a 2a 3
Heptágono a 7a csc(π/14)a/2 14 /cosc(π/14) =aprox 3,12
Octógono a 8a csc(π/8) a 8/csc(π/8) =aprox 3,06
Básico Ensino Política
ENEM: erros e acertos
Nenhum comentário em ENEM: erros e acertos
O exame nacional de ensino médio (ENEM) teve mais um deslize em 2010. Não bastassem as criticas ideológicas, pedagógicas e politicas, o segundo ano de aplicação do ENEM teve problemas de paginação. A gráfica responsável pelo erro afirmou que apenas 21 mil cadernos amarelos tiveram este problema e explicou, não justificou, que o sigilo exigido dificultou a revisão dos cadernos impressos. Sim, 21 mil é muita gente, mas é pouco em relação a 3,3 milhões.
O caso deve ser investigado, mas o presidente do INEP e o minstro da Educação afirmaram que vão fazer de tudo para não prejudicar os alunos.
No entanto, alguns advogados e pelo menos uma juíza federal querem prejudicar a TODOS os alunos que fizeram a prova: eles pedem cancelamento do exame e usam um argumento abstrato de isonomia para justificarem a ação. Esquecem no entanto outros princípios básicos de justiça: Um erro não justifica outros; O justo não deve pagar pelo pecador.
Alem do mais quem quer a anulação do ENEM não entendeu o formato deste exame, que tem um procedimento estatístico de correção de dificuldades dos itens daquela prova e com isto, as notas relativas das provas de 2010 poderão ser comparadas com outras provas futuras. A nota de um aluno é, em certo sentido, e com uma margem de erro, independe de qual prova o aluno fez. O ENEM usa a metodologia da TRI, teoria de resposta ao item, que se aplica muito bem a provas de múltiplas escolhas com vários itens e com muitos candidatos fazendo cada prova.
Desta forma, é perfeitamente razoável e muito mais justo refazer as provas daqueles que se sentiram prejudicados. O resultado do ENEM é relativo, e assim será dentro de cada prova. Aliás, o ENEM poderia acontecer a cada bimestre, por exemplo. Os alunos poderiam fazer um ENEM e depois fazer outro quando se sentirem mais bem preparados. A nota do aluno vai indicar quanto ele sabe em relação aos outros alunos que fizeram a mesma prova. Considerando uma amostragem razoável e representativa de alunos candidatos em provas distintas, podemos considerar que a nota 657 de uma prova representa essencialmente a mesma coisa que a nota 657 de outra prova.
Estas explicações todas não são suficientes para acalmar um estudante. Temos que lamentar, mas o pior dos mundos seria penalizar 3,3 milhões de alunos por causa de um erro de paginação. A gráfica responsável pode ter comemorado quando ganhou a licitação pública de R$ 65 milhões, mas agora deve estar fazendo as contas para não falir depois disto.
Nos primeiros dias após estes incidentes, a justiça, defensoria pública e a OAB erraram mais do que o INEP. Considero que há condições de acertos ainda para todos. O prego do erro foi cravado. Ele pode ser retirado, mas vai deixar a sua marca. É a vida, cheia de erros e acertos.
UPDATE (16/11/2010): O ministro da Educação usou um argumento interessante para o não cancelamento do ENEM 2010: ".. as 14 edições do ENEM … tiveram algum problema técnico … com uma solução cabível que não o cancelamento da prova". O corolário desta afirmação é que, no caso de cancelar o ENEM, a edição substituta vai ter algum erro também, e assim ad infinitum.
Tags enem, Ensino
Básico Ciências Ensino Física Matemática
Terremotos, desmoronamentos e avalanches.
Nenhum comentário em Terremotos, desmoronamentos e avalanches.
Uma das perguntas mais frequentes quando acontecem terremotos, como os do Haiti, Chile e Japão recentemente (2010 e 2011), é se os cientistas não conseguem fazer previsões precisas se vai ocorrer um fenômeno destes ou não. A resposta desanimadora é não. Não é possível prever um terremoto ou um desmoronamento como se faz a previsão do tempo e até do clima hoje em dia.
Os terremotos, assim como avalanches, desmoronamentos acontecem com frequencia diferenciadas. Terremotos com alto poder de destruição são raros. Abalos sísmicos imperceptíveis no dia a dia, acontecem aos montes. Apesar de não se poder fazer previsão com datas, podemos estimar as frequêcias relativas de acontecimento.
Quem quiser fazer uma simulação, em nível de ensino médio, veja o experimento abaixo. Os professores de Matemática e Física podem aproveitar a oportunidade para desenvolver esta atividade em sala de aula:
Este experimento propõe modelar matematicamente avalanches provocadas por materiais simples, como milho de pipoca, feijão e um recipiente qualquer. Inicialmente, os alunos produzirão avalanches, verificando suas intensidades pela quantidade de grãos que desmoronam. A partir daí, construirão gráficos com os dados coletados, obtendo uma curva. Aplicando logaritmo torna-se possível analisar a função que modela o fenômeno e até fazer algumas previsões.
Simulação de desmoronamento
A colocação sistemática dos grãos simula o aumento do peso ou a diminuição da resistência em morros e encostas até chegar a um ponto de equilíbrio crítico em que uma nova configuração é favorecida por razões de energia interna, resultando em desmoronamento. O desmoronamento pode ser grande ou pequeno em termos de quantidade de material.
Da mesma forma, as tensões geológicas das placas tectônicas, vão aumentando gradativamente até que um abalo sísmico acontece. O movimento da crosta, isto é, o terremoto pode ser muito intenso ou não.