Candidato natural contra a conjectura de isomorfismo?
O famoso Isomorfismo Conjectura de Berman e Hartmanis diz que todos idiomas -completo são tempo polinomial isomorphic (p-isomorphic) entre si. A importância chave da conjectura é que ela implica P ≠ N P . Foi publicado em 1977, e um pedaço de provas foi que todos os N P problemas -Complete conhecidos no momento foram de facto p-isomorfos. De fato, todos eles eram acolchoados , o que é uma propriedade natural agradável e implica p-isomorfismo de maneira não trivial.NPNPP≠ NPP≠NPNPNP
Desde então, a confiança na conjectura deteriorado, porque candidato idiomas -completo foram descobertos que não são susceptíveis de ser p-isomorfo a S A T , embora o problema ainda está aberta. Até onde eu sei, nenhum desses candidatos representa problemas naturais ; eles são construídos via diagonalização com o objetivo de refutar a conjectura de isomorfismo.NPNPSA TSAT
Ainda é verdade, depois de quase quatro décadas, que todos os naturais conhecidas problemas -Complete são p-isomorfo a S A T ? Ou existe algum candidato natural conjecturado em contrário?NPNPSA TSAT
Abster-me-ei de reduzir a votação, mas pessoalmente sou contra todas as perguntas que pedem a existência de algo "natural" sem definir o que é natural. Não estou dizendo que sou contra todas as noções "confusas", mas acho que natural é muito amplo e alguma propriedade desejável / indesejável mais concreta deve ser especificada mais detalhadamente.
— Sasho Nikolov 27/02
+1 boa pergunta. @SashoNikolov, antes da invenção das máquinas de Turing, a definição formal de algoritmos, a noção intuitiva era conhecida e utilizada há milhares de anos. A falta de definição formal de problema natural não deve nos impedir de usá-lo informalmente. Problema natural é um conceito que você conhece quando o vê.
Concordo com Mohammad que você normalmente conhece um problema natural quando o vê. No entanto, "natural" também depende do contexto e, em alguns contextos, existe uma noção mais clara - ou talvez apenas um conjunto mais amplo e bem aceito de exemplos claramente naturais - do que em outros. Penso que este problema em particular (NP-completo) se enquadra na classe anterior. Por exemplo, aplicar uma função unidirecional ao SAT para obter outro problema completo do NP (a idéia básica por trás de alguns dos candidatos que violam Berman-Hartmanis) resulta claramente em um problema "não natural".
— Joshua Grochow 27/02
O problema com o 'natural' na prática aqui no cstheory.SE é que a pergunta geralmente resulta em uma tempestade 'não verdadeiro escocês', em que cada resposta que o OP não gosta é considerada "não natural" para um conjunto em evolução / mudança de razões.
@ Sasho, eu pessoalmente leio "natural" sem maiores esclarecimentos como significado: não é um problema inventado artificialmente para responder à pergunta (ou similares), as pessoas estão interessadas no problema de forma independente.
— 27414 Kaveh
Eu acho que a resposta é sim, ainda hoje não há nenhum problema natural conhecido que seja candidato à violação da conjectura de isomorfismo.
A principal razão é que problemas tipicamente naturais de NP-completos são facilmente encontrados como acoláveis, o que Berman e Hartmanis mostraram ser suficientes para ser isomórficos ao SAT. Para problemas naturais relacionados a gráficos, isso normalmente envolve a adição de vértices extras que são, por exemplo, desconectados do gráfico ou conectados de uma maneira muito particular (mas geralmente óbvia). Para a versão de decisão dos problemas de otimização, normalmente envolve a adição de novas variáveis ​​fictícias sem restrições. E assim por diante.
Sim, na maioria dos problemas de gráficos, o preenchimento é fácil. Mas isso nem sempre é válido. Um exemplo: é verdade que o gráfico não possui triângulo e possui um caminho hamiltoniano? Aqui, para preservar a propriedade, um novo vértice de preenchimento deve se conectar a algum antigo (para permitir o caminho hamiltoniano), deve se conectar a um conjunto independente (para evitar a criação de um triângulo), e esse conjunto independente deve ser tal que contenha um terminal de pelo menos um caminho hamiltoniano (para torná-lo extensível ao novo vértice). Não me parece óbvio como conseguir isso. Claro, pode-se encontrar outra maneira de acolchoar, não tenho certeza.
— Andras Farago 27/02
Para o caminho Hamiltoniano, consulte o artigo original de Berman-Hartmanis (Thm 7 (5) na versão STOC, Thm 8 (5) na versão do periódico: dx.doi.org/10.1137/0206023 ). Sua construção não apresenta novos 3 ciclos direcionados. Se você deseja evitar triângulos não direcionados, pode subdividir algumas das arestas em sua construção por novos vértices. Você também pode achar interessante seu artigo de acompanhamento, no qual eles mostram que equações diofantinas quadráticas são p-iso para SAT: dx.doi.org/10.1016/0022-0000(78)90027-2
@JoshuaGrochow Existe um exemplo não natural candidato contra a conjectura de BH?
@ Turbo: Sim, os conjuntos de k-criativos ("conjuntos completos criptografados") de Joseph e Young 1985: dx.doi.org/10.1016/0304-3975(85)90140-9