O centróide de área é definido como sendo o ponto correspondente ao centro de gravidade de uma placa de espessura infinitesimal. - PDF
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Nelson Caio Corte-Real Melgaço
1 CENTRÓIDES E MOMENTO DE INÉRCIA Centróide O centróide de área é definido como sendo o ponto correspondente ao centro de gravidade de uma placa de espessura infinitesimal. De uma maneira bem simples: centróide é o ponto pelo qual, se suspendermos o corpo, ele permanece na horizontal. Aplicação No dimensionamento de: polias, correias, engrenagens, parafusos, eixos, vigas, etc. Centróides de superfícies planas simples Para algumas figuras, é óbvia a posição do centróide; assim, se a figura for simétrica, como o círculo ou o quadrado, por exemplo, o centróide coincide com o centro geométrico da figura. Centróides de Figuras Compostas A maioria das figuras utilizadas em engenharia são compostas de combinações das formas geométricas simples, conforme discutidas no item anterior. A localização dos centróides de elementos estruturais é dada em manuais. Importância dos Centróides Na Resistência dos Materiais, vê-se a enorme importância da localização do centróide de uma área como, por exemplo, sabe-se que para produzir uma distribuição uniforme de tensões, as cargas devem ser aplicadas de tal modo que a linha de ação de sua resultante coincida com o centróide da seção reta do componente. A posição do centróide de uma área é também importante para determinar a localização do eixo neutro (linha ao longo da qual as tensões são nulas) passa através do centróide da seção reta da viga.
2 Centróide das Figuras Planas 1- Semicírculo Figuras X Y 0 r π 2- Retângulo b / 2 h / 2 - Triângulo qualquer b / h /
3 - Quadrado Figuras X Y a / 2 a / 2 5- Círculo Quadrante r π r π
4 Momento de Inércia O termo Momento de Inércia é deduzido da seguinte forma: uma força é relacionada à massa (inércia) de um corpo e sua aceleração através da equação F = m x a. A expressão em que I ρ = 2 da é conhecida como momento de inércia. ρ é a distância perpendicular desde d m até seu eixo de inércia. dm é um elemento de massa situado a uma distância x do eixo de rotação A definição matemática do momento de inércia, I, indica que uma área é dividida em pequenas partes, tais como d m, e cada área é multiplicada pelo quadrado de seu braço de momento em relação ao eixo de referência. Definição É o número que mede a facilidade de um corpo entrar em movimento de rotação em torno de um referencial. Quando maior o momento de inércia, maior é a dificuldade do corpo entrar em rotação, e ele depende de: massa do corpo, distribuição da massa e do referencial. Tipos Momento de Inércia Polar - O referencial é um ponto; - Aplicação: dimensionamento de órgãos de máquinas submetidos a esforços de torção. Momento de Inércia Axial - O referencial é um eixo; - Aplicação: dimensionamento quanto a: * Flexão; * Flambagem; * Torção Composta.
5 Momento de Inércia Planar - O referencial é um plano; - Aplicação: não tem aplicação na engenharia. Unidades e Sinais Observando a integral ρ 2 da, nota-se que é um termo de quarta dimensão, porque ela é composta de uma distância ao quadrado, multiplicada por uma área. Uma unidade dimensional conveniente de I é o centímetro à quarta (cm ), ou metro à quarta (m ), ou ainda, o milímetro à quarta (mm ). O sinal de I é, obviamente, independente do sinal do braço de momento L, já que se L for negativo, elevando-o ao quadrado se toma um número positivo e dependente inteiramente do sinal da área. É considerada uma área positiva aquela que aumenta a área de uma figura, e negativa, aquela que reduz. Para uma área total, o momento de inércia deve ser sempre positivo. Momento de Inércia das Figuras Planas 1- Quadrado Figuras Ix Iy IX (Ix CG ) IY (Iy CG ) L L L 12 L Retângulo bh hb bh 12 hb 12
6 - Triângulo qualquer bh 12 hb 12 bh 6 hb 6 - Círculo Figuras Ix Iy IX (Ix CG ) IY (Iy CG ) 5πR 5πR πr πr 5- Semicírculo π 9 R 8 2 9π 6 π xr 72 xr π π 6 72 xr π 6- Quadrante πr 16 π R π 6 1 xr π 2 9π 6 1 xr π
7 Uma varinha delgada de 1 m de comprimento tem uma massa desprezível. São colocados 5 massas de 1 kg cada uma, situadas a 0.0, 0.25, 0.50, 0.75, e 1.0 m de um dos extremos. Calcular o momento de inércia do sistema relativo a um eixo perpendicular a varinha que passa através de Um extremo Da segunda massa Do centro de massa O momento de inércia relativo a um eixo perpendicular a varinha e que passa pela primeira partícula é I A = =1.875 kgm 2 O momento de inércia relativo a um eixo perpendicular a varinha e que passa pela segunda partícula é I B = =0.975 kgm 2 O momento de inércia relativo a um eixo perpendicular a varinha e que passa pela terceira partícula (centro de massas) é I C = =0.625 kgm 2 Estática Definição É a parte da mecânica que estuda os corpos em equilíbrio, sem levar em consideração a deformação dos mesmos. Equilíbrio: é quando um corpo está em repouso, ou, o mesmo estiver em M.R.U. Condições de equilíbrio: para que um sistema de forças permaneça em equilíbrio em um plano, é necessário que: a) Somatória de forças seja igual a zero e também a somatória dos momentos igual a zero. Equações fundamentais: Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 Σ M = 0 (forças horizontais) (forças verticais) (momento) b) Se o sistema é constituído de forças em equilíbrio em um plano, obrigatoriamente passam pelo mesmo ponto. c) As forças devem formar um polígono fechado (somatória de forças igual a zero).
8 Princípios a) Princípio do Equilíbrio Duas forças somente estarão em equilíbrio se forem colineares, de mesma intensidade e sentidos opostos. F = P Logo, o veículo se encontra em equilíbrio. Sendo: Colineares forças que tem a mesma linha de ação. Intensidade mesmo módulo (valor numérico) b) Princípio da Ação e Reação (ª lei de Newton) A toda ação, corresponde a uma reação de mesma intensidade, direção e sentido contrário. Obs.: FIG A reação no cabo AC, atua segundo a linha de ação do próprio. 2 Toda reação entre uma superfície lisa (plana) e uma superfície cilíndrica, é sempre uma reta perpendicular ao plano, passando pelo centro do cilindro. A estática só trabalha com as respectivas reações das forças externas atuantes. c) Princípio de Forças Concorrentes Num Plano Três ou mais forças, não paralelas, estarão em equilíbrio, se e somente se, passarem por um ponto comum e seus vetores formarem um polígono fechado. Ex.: Pela FIG. 02, teremos: Diagrama do corpo livre é um diagrama separado de todas as forças que atuam sobre um ponto material.
9 II) Polígono de Forças a) Escolha uma das forças (ação ou reação) para começar a traçar o polígono. b) À extremidade da 1ª força escolhida, acrescenta-se a 2ª escolhida. c) À extremidade desta, acrescente a ª força escolhida. d) Acrescente a próxima força à extremidade da última traçada. Importante: Para traçar o polígono, observe que foi mantido sempre a direção e sentido das forças que atuavam no problema proposto, tendo assim o polígono de forças.
10 Momento Fisicamente, o momento de uma força em relação a um ponto, é definido como sendo o produto da força pela distância, sendo esta distância perpendicular ao esforço aplicado ao ponto de análise. O Ponto de Análise é também conhecido como Centro de Momento e a distância como Braço da Alavanca. O braço de alavanca a menor distancia entre a reta de direção da força e o ponto de rotação. Na prática, podemos dizer que o momento é uma tendência, de uma determinada força aplicada em um ponto de um sólido, de fazer girar esse sólido em torno de um ponto fixo sobre o qual atua. Quando se lida com várias forças concorrentes em um plano, umas tendem a produzir rotação num sentido em torno do centro de momentos, ao passo que outras o fazem em sentido contrário. Mediante este fato, convencionou-se adotar POSITIVOS, os momentos das forças capazes de produzir rotação, em torno do centro de momento, no sentido HORÁRIO e NEGATIVOS as que produzirem rotação no sentido ANTI-HORÁRIO. A unidade do momento é o produto da unidade de força pela unidade de comprimento. Ex.: kgf x m; kgf x mm; N x m, etc. Obs.: O momento de uma força, só será nulo, se o braço de alavanca for nulo, isto é, somente quando o centro de momento estiver em cima do braço da alavanca. MA = F x d Onde: MA = Momento em relação ao ponto A F = Força de ação d = Distância entre a linha de ação da força e o ponto em estudo (formando ângulo de 90º) Convenção de sinais: M + Sentido horário M - Sentido anti-horário
11 Obs.: Não haverá momento se a linha de ação da força passar pelo ponto em estudo. M 0 = zero Exercícios Resolvidos: Em um parquinho infantil, existe uma gangorra. Nela, dois meninos estão sentados de forma que ela esteja em equilíbrio. Sabendo que o menino A tem massa 0 kg e esta a 2 m do centro da gangorra, e que o menino B dista m do centro da gangorra, calcule a massa do menino B. Use g=10m/s2. Resposta:
12 Com o intuito de expor a réplica de um biplano em posição de mergulho, dois cabos de aço, um preso na parede e outro preso no teto da sala de um museu, sustentam o modelo da aeronave, que tem massa 6 kg. Admitir que os cabos são inextensíveis, de massa desprezível e que suas ações ocorrem sobre o centro de massa do biplano; que o avião é suficientemente pequeno para ser considerado um ponto material; que o avião está em repouso em relação ao interior da sala. Quais são as tensões, medidas em Newtons, sobre o cabo horizontal e o cabo transversal? Resposta