Grupo5 - Eq. Schroedinger - Física Computacional
Grupo5 - Eq. Schroedinger
Edição feita às 22h59min de 23 de outubro de 2017 por Viniciussgarcia (Discussão | contribs)
A evolução temporal do estado quântico é dada pela equação de Schrödinger, a qual é postulada como:
Posto em unidades atômicas (onde e são unitários), o caso unidimensional de um elétron num potencial independente do tempo reduz-se a:
1 Método numérico
1.1 Condições de contorno iguais a zero
1.2 Condições de contorno periódicas
1.3 Condição inicial
2 Implementação em C
2.1 Condição de contorno limitada
Método numérico
Buscando resolver a equação numericamente, tem-se a discretização de :
e as discretizações de (explícita e implícita, respectivamente):
Tanto no método explícito quanto no método implícito não é conservada a norma do estado (o que é estritamente necessário, já que o estado pode ser interpretado como uma onda de probabilidade). Por esse motivo, utiliza-se o método de Crank-Nicolson, o qual tem essa propriedade \cite{enswork}.
O método de Crank-Nicolson consiste em uma média aritmética dos métodos explícito e implícito. Excetuando manipulações algébricas triviais, verifica-se que a relação de recorrência do método é dada por:
A integração numérica depende, portanto, do potencial em que o elétron está sujeito, bem como da sua condição inicial e suas das condições de contorno.
Que condições podemos impor para a fronteira? Quando se trata do problema analiticamente, costuma-se considerar que a função de onda tende a zero no infinito. Numericamente, pode-se fazer uma transposição disso, criando uma condição para bordas em pontos suficientemente distantes do centro da distribuição da função de onda, igualando-as a zero. Outra forma de tratar o problema numericamente é criando condições de contorno periódicas, em que para as bordas vale para todo (ou, para as bordas e há a relação para todo ).
Condições de contorno iguais a zero
Para as condições de contorno , a iteração reduz-se à equação matricial:
Condições de contorno periódicas
De maneira semelhante, a iteração do caso das condições de contorno periódicas - - reduz-se à equação matricial:
Condição inicial
Já a condição inicial é arbitrária, pois define o estado inicial do sistema que queremos tratar. Fazendo uma referência ao tratamento de sistemas clássicos, seria como definir posição e momento iniciais. É claro que, para ter o sentido físico de uma função de onda, deve-se ter o cuidado de criar uma condição inicial normalizada, satisfazendo
bastando, então, inseri-la no programa.
Implementação em C
Condição de contorno limitada
void CN(double complex *u, double complex *u_aux, double complex *u_next, double complex a)
//Nomeia-se E a matriz da equação matricial que multiplica o estado evoluído no tempo.
//Tem-se L, dx e dt definidos
//u 		-- vetor de estado atual
//u_aux		-- conj(E) * u
//u_next 	-- o novo estado
//Esta função resolve resolve E * u_next = conj(E) * u
//atualização do vetor u_aux
for(i = 1; i < L; i++) u_aux[i] = conj(a) * (u[i-1+] + u[i+1]) + conj(b(i)) * u[i];
//para resolver E * u_next = u_aux, utiliza-se do Método de Thomas:
double complex c_new[L+1], d_new[L+1];
c_new[1] = a / b(1);
for(i = 2; i < L; i++) c_new[i] = a / (b(i) - c_new[i-1] * a);
d_new[1] = u_aux[1] / b(1);
for(i = 2; i < L; i++) d_new[i] = (u_aux[i] - d_new[i-1] * a) / (b(i) - c_new[i-1] * a);
u_next[0] = u_next[L] = 0;
u_next[L-1] = d_new[L-1];
for(i = L-2; i > 0; i --) u_next[i] = d_new[i] - c_new[i] * u_next[i+1];
//atualiza-se o valor do estado: u = u_next
for(i = 0; i <= L; i++) u[i] = u_next[i];
Cohen-Tannoudji C., Diu B., Laloe F. Quantum mechanics. Volume 1. Wiley, 1991.
Numerical Resolution Of The Schrödinger Equation. Jorgensen L., Lopes Cardozo D., Thivierge E. http://web.pa.msu.edu/people/duxbury/courses/phy480/SchrodingerDynamics.pdf
Sherer, Philipp O.J., Computational Physics simulation of Classical and Quantum Systems. Springer, 2010.