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Aula 4 Matemática Financeira: uma ferramenta para decisões estratégicas
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Octavio Eger Vilaverde
1 Aula 4 Matemática Financeira: uma ferramenta para decisões estratégicas Aula 4 Matemática Financeira: uma ferramenta para decisões estratégicas Meta Apresentar o conceito, a origem e o destino do Orçamento Público e de organizações sem fins lucrativos, bem como as ferramentas utilizadas para sua execução. Objetivos Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: 1. reconhecer os conceitos que envolvem os elementos de Matemática Financeira; 2. realizar cálculos que envolvam regimes de capitalização: juros simples e juros compostos; 3. conhecer e diferenciar os diversos tipos de taxa de juros; 4. montar diagramas de fluxo de caixa; 5. utilizar uma planilha eletrônica para resolver problemas de Matemática Financeira. Requisitos Para esta aula, é importante que você tenha em mãos uma calculadora científica ou financeira. Também é recomendado ter um computador com o programa Excel instalado ou outro tipo de planilha eletrônica. Monteiro, J.E. Gestão Financeira. rio de janeiro: sesi/uff,
2 82 Monteiro, J.E. Gestão Financeira. rio de janeiro: sesi/uff, 2011.
3 Aula 4 Matemática Financeira: uma ferramenta para decisões estratégicas Há juros em (quase) tudo que vejo! Não sei se você já realizou o sonho da casa própria ; espero que sim. Mas caso essa ideia ainda seja um plano para o futuro, vamos imaginar que você já o alcançou. Continuando no campo da imaginação, vamos fantasiar que você recebeu como herança de um tio distante, sem herdeiros, uma boa casa em uma área valorizada da cidade onde ele morava. Mas você não quer se mudar para lá; então, o que você faria com essa surpresa? Bom; eu não tenho como saber a sua resposta, mas posso dizer a minha. Com certeza, eu alugaria essa casa. No aluguel, eu cedo a outra pessoa o direito de usar o meu imóvel em troca de uma remuneração, ou seja, um pagamento. Mas veja: eu só posso fazer isso porque tenho onde morar, ou seja, tenho um imóvel sobrando, correto? Agora eu pergunto: Podemos aplicar esse mesmo raciocínio com dinheiro, ou seja, faz sentido alugar dinheiro? Aluga-se Mandiberg Marek Kowalik Aluga-se Essa imagem está sob licença: Figura 4.1: O que você acha? É a mesma coisa? À primeira vista, você deve ter achado a ideia estranha, não é mesmo? Mas, se você voltar àquela história da herança e substituir a casa por uma grande quantia em dinheiro, verá que a ideia é absolutamente a mesma. Ou seja, podemos tratar o dinheiro como qualquer bem, como uma mercadoria, na verdade. E é isso que os bancos fazem. Como não precisam usar todo o dinheiro que têm disponível, eles alugam parte dele. Monteiro, J.E. Gestão Financeira. rio de janeiro: sesi/uff,
4 Ao alugar o imóvel que herdou, você estaria abrindo mão de usufruir dele ou de vendê-lo, para gastar ou investir o dinheiro, assim como quem empresta dinheiro abre mão de consumir coisas no presente para consumir no futuro (quando o dinheiro é devolvido); em ambos os casos, é necessário ter alguma compensação financeira. O valor que é emprestado, assim como o imóvel que é alugado, são chamados de capital. Quando pegamos dinheiro emprestado, não devolvemos o mesmo valor, certo? Devolvemos sempre mais do que pegamos emprestado. Esse valor a mais é o que chamamos de juros. O juro nada mais é que o valor da remuneração devida pela utilização do capital. Ou seja, também poderíamos chamar de juros o valor do aluguel que pagamos para morar. Explicativo Juro corresponde ao valor do acréscimo no capital (emprestado ou aplicado), que representa a compensação por abrir mão do consumo no presente para consumir no futuro. Sendo assim, um aumento nos juros traz benefícios financeiros para os credores (emprestadores, financiadores ou aplicadores), enquanto uma redução nos juros beneficia os devedores. Mas por quanto se deve alugar um imóvel? Os avaliadores fazem uma conta bem simples para calcular esse valor. Eles aplicam um valor percentual sobre o valor do imóvel (capital), e o resultado é o valor do aluguel (juros). Para calcular os juros do aluguel de uma quantia em dinheiro é a mesma coisa. Multiplica-se um valor percentual sobre o capital e o resultado é o juro, que será devolvido junto com o dinheiro emprestado (capital), assim como você paga o aluguel e, quando vence o contrato, devolve o imóvel (capital). A taxa de juros é, em última instância, o preço do dinheiro ; ela é uma proporção entre os juros pagos e o capital. Para ficar mais claro, veja o seguinte exemplo: digamos que o gestor de uma escola alugou um espaço da escola para certo evento. Nessa transação, a escola arrecadou R$ ,00. O gestor planejava reformar a biblioteca da escola, mas precisava de algo em torno de R$ ,00 para colocar seu plano em prática. Sendo assim, foi ao banco consultar o gerente, que lhe indicou um fundo de investimento que estava rendendo a uma taxa de 20% ao ano, o que seria suficiente para conseguir os R$ 3.000,00 que faltavam para a reforma. Com esse exemplo, é possível identificar todos os atores de que falamos até agora. Os R$ ,00 que serão aplicados é o capital e os R$ 3.000,00 que o fundo de investimento acrescentará ao capital são os juros. Se você fizer as contas, poderá confirmar que 20% de é igual a 3.000: x = Ou seja, 20% é a taxa de juros, é o preço que o fundo de investimento paga pelo dinheiro que ficará parado durante um ano. No final de um ano, a escola receberá R$ ,00 esse valor é chamado de montante, que é a soma do capital mais os juros. 84 Monteiro, J.E. Gestão Financeira. rio de janeiro: sesi/uff, 2011.
5 Aula 4 Matemática Financeira: uma ferramenta para decisões estratégicas Esse foi um exemplo simples do uso da matemática financeira. Essa disciplina possui diversas aplicações na área das finanças, aplicações essas de grande importância para a gestão em qualquer área. Temos que ter em mente que movimentações financeiras como empréstimos, financiamentos, compras, aluguéis e tantas outras envolvem taxas de juros. Sendo assim, é imprescindível saber definir o custo e o retorno dessas operações, para que seja possível tomar decisões objetivas e eficientes. Por sua importância, dedicaremos esta aula às ferramentas disponibilizadas pela matemática financeira. Ferramentas de matemática financeira A Escola EDUCAÇÃO EM PRIMEIRO LUGAR possui duas unidades que atendem aproximadamente alunos numa cidade do interior do Rio de Janeiro. A escola sempre apresentou resultados financeiros bastante satisfatórios. Levando em consideração os resultados positivos, o diretor da escola, que apresentava um perfil empreendedor, submeteu ao conselho administrativo a proposta de expandir os negócios para duas cidades vizinhas. A expansão consistiria na construção de duas novas unidades que teriam a capacidade para atender alunos cada uma. No entanto, para efetuar a expansão, a escola precisaria solicitar um crédito junto ao sistema bancário. Expansão da escola Cfi02 s EyeSerene Qual o valor que precisaremos investir e em quanto tempo teremos retorno desse valor? Será que a taxa de juros do mercado é factível com o retorno de investimento que faremos? Imagem sob as licenças: Figura 4.2: Veja que as questões levantadas na reunião, em relação à possível expansão da escola, mostram a preocupação com o comportamento do dinheiro ao longo do tempo. Monteiro, J.E. Gestão Financeira. rio de janeiro: sesi/uff,
6 Devido às incertezas em relação ao comportamento do dinheiro no tempo, achamos natural que, ao pedir algum dinheiro emprestado, teremos que, em algum momento, devolver a quantia emprestada acrescida de um determinado valor. Isso porque o valor do dinheiro muda ao longo do tempo, o que você já deve ter percebido. Cem reais hoje não terão o mesmo valor daqui a um ano; você não conseguirá comprar as mesmas coisas com essa mesma quantia de dinheiro. Isso acontece porque ele perde o valor por influência de algumas variáveis, como a inflação e a taxa de câmbio (caso das compras internacionais), que afetam o poder de compra do dinheiro ao longo do tempo. É importante ressaltar que, mesmo na ausência da inflação e da variação cambial, haverá alteração do valor do dinheiro no tempo, uma vez que quem empresta dinheiro abre mão do consumo no presente e, portanto, precisa de alguma compensação. Dinheiro Wagner Magni Tempo Figura 4.3: Você já deve ter percebido que quanto maior é o tempo de um financiamento, maior é o valor referente aos juros que devemos pagar. O comportamento do capital no tempo depende do modo como foi aplicado, ou seja, depende do regime de capitalização. Podemos classificar os regimes de capitalização da seguinte forma: 86 Monteiro, J.E. Gestão Financeira. rio de janeiro: sesi/uff, 2011.
7 Aula 4 Matemática Financeira: uma ferramenta para decisões estratégicas Os regimes de capitalização mais comuns são: Descontínuo simples nesse caso, o capital inicial, também chamado de principal, rende juros independentemente do número de períodos da aplicação; Descontínuo composto nesse caso, os juros são capitalizados a cada período e passam a render juros nos períodos posteriores. Você já deve ter ouvido a expressão juros sobre juros. Para ficar mais claro, vamos utilizar um exemplo. Imagine que a sua escola aplicou uma determinada quantia em um fundo de investimento. Ao final de um ano, você poderá retirar os juros e manter o capital aplicado ou não mexer e manter o montante (capital + juros) aplicado. Se retirar todo o valor referente aos juros, o dinheiro vai crescer de acordo com o regime de capitalização simples. Caso mantenha o montante aplicado, haverá uma capitalização composta. Capitalizado 1. Ajuntado ao capital: Capitalizar juros, capitalizar aluguéis; 2. Ajuntado, reunido: Capitalizar dados para a solução de um problema; 3. Acumulado de modo que forme um capital: Capitalizar para a velhice. Fonte: Dicionário Michaelis de Língua Portuguesa. Atividade 1 Aurélio é um empreendedor que possui boas ideias, mas não possui recursos para colocá-las em prática. Uma das ideias é abrir uma escola de formação profissional na área de petróleo e gás, pensando em atender uma demanda provocada pela chegada da empresa PETROGÁS na sua cidade. Um belo dia, um empresário se interessou pelo projeto e fez uma proposta para o Aurélio. A proposta do empresário foi a seguinte: ele financiaria a estrutura e o material para iniciar o curso e o Aurélio teria um período de 2 anos para devolver os recursos financeiros fornecidos, corrigidos por uma taxa de apenas 0,5% ao mês sobre todo esse valor. Com base na história acima, responda: a) Podemos dizer que a ajuda do empresário foi um investimento para ele e um empréstimo do ponto de vista do Aurélio? Por quê? b) Você deve ter percebido que essa história possui elementos de matemática financeira. Identifique, portanto, o que estaria representando: o valor dos juros; a taxa de juros; o capital; o montante; o regime de capitalização. RESPOSTA COMENTADA a) Neste caso, o empresário está realizando um investimento, porque ele está disponibilizando os recursos para o Aurélio criar o curso de formação profissional, mas em troca está exigindo a recompensa de 0,5% ao mês. Por outro lado, o Aurélio está pegando um empréstimo para abrir o seu negócio. Atenção! Neste caso, nós estamos falando dos investimentos financeiros porque, como veremos na Aula 6, o Aurélio estaria realizando um investimento produtivo, uma vez que, com a abertura do curso, ele espera gerar recursos suficientes para devolver ao empresário o valor do empréstimo acrescido de juros e ainda sobrar algum recurso para compensar o esforço aplicado na atividade (retorno do investimento). Monteiro, J.E. Gestão Financeira. rio de janeiro: sesi/uff,
8 b) Neste caso, temos as seguintes variáveis financeiras: valor dos juros valor que o empreendedor deverá pagar ao empresário acima do capital emprestado; taxa de juros 0,5% ao mês; capital valor do empréstimo, ou seja, valor da estrutura e do material necessários para iniciar o curso; montante valor total que o empreendedor terá que pagar ao empresário, ou seja, o valor dos recursos financeiros aplicados na montagem do curso mais os juros referentes, à taxa de 0,5% ao mês; regime de capitalização simples; uma vez que a taxa de juros incidirá sobre o valor inicial (capital). Juros simples Agora vamos atribuir valores a um exemplo para entender como funciona o sistema de juros simples. Suponha que a sua escola resolva aplicar R$ 5.000,00, por três anos, a uma taxa de juros de 8% ao ano. Observe, na Tabela 4.1, a evolução dessa aplicação no regime de juros simples. Tabela 4.1: Evolução da aplicação no regime de juros simples. JUROS SIMPLES Período Montante Juros , , , , Conforme podemos observar na Tabela 4.1, o montante em juros simples cresce linearmente, de acordo com uma progressão aritmética cuja razão é igual ao valor dos juros, isto é, R$ 400,00. É importante ressaltar que, no regime de juros simples, apenas o capital é reaplicado. Dessa forma, se quisermos saber o valor total dos juros a cada período (que, no caso do nosso exemplo, é igual a três anos), devemos considerar a seguinte equação: Onde: J = juros C = capital i = taxa de juro n = número de períodos J = Cin Assim, no exemplo da aplicação da escola, o valor dos juros sobre o capital de R$ 5.000,00, aplicado a uma taxa de 8% a.a., por três anos, apresentará a seguinte evolução: J = Cin J = x J = x 3 88 Monteiro, J.E. Gestão Financeira. rio de janeiro: sesi/uff, 2011.
9 Aula 4 Matemática Financeira: uma ferramenta para decisões estratégicas Ou seja, após três anos, os juros sobre o valor de R$ 5.000,00 será de R$ 1.200,00. Se você voltar à Tabela 4.1, poderá confirmar que, ao somar os juros dos três anos (período), é exatamente este o valor. Você já sabe que o montante a cada período é igual ao capital mais o juro, correto? A equação básica, usando juros simples, que relaciona o montante, o capital, o número de períodos e a taxa de juro é: M = C (1 + in) Onde: M = montante C = capital (1 + in) = um mais a taxa de juro vezes o número de períodos M = ( x 3) M = x 1,24 M = Veja que o montante nada mais é que a soma do capital com o valor dos juros no período de três anos ( ). Saiba mais Mais veloz que pensamento! Xander89 Enzo Forciniti Alicia Solario Sanja Gjenero Imagem sob licenças: e Você aprendeu que existem dois tipos de regime de capitalização: o contínuo e o descontínuo. Nosso enfoque é o descontínuo, mas é interessante saber do que trata o outro tipo, não é verdade? Então, vamos entendê-lo! Você aprendeu que o regime de capitalização composto incorpora o juro ao capital e o juro do próximo período é calculado sobre esse montante, certo? Veja que o juro é creditado em um determinado momento, ou seja, após ter ocorrido o período de tempo relativo à taxa de juros (após um dia ou após um mês ou após um trimestre etc.). No regime contínuo, a ideia do juros sobre juros é a mesma; no entanto, o período de capitalização é contínuo, ou seja, os juros são creditados a todo instante, e esse instante é o menor período de tempo possível. Como você deve imaginar, esse tipo de capitalização é muito difícil de ser aplicado e, por isso, ele é pouco utilizado. Monteiro, J.E. Gestão Financeira. rio de janeiro: sesi/uff,
10 Atividade 2 Vamos treinar os cálculos que você aprendeu? Pegue sua calculadora e resolva as questões a seguir. a) Calcule o valor do juro simples do capital de R$ ,00, aplicado à taxa de 35% a.a., durante o período de 1º de janeiro de 2010 a 31 de maio do mesmo ano. b) Qual a taxa de juro cobrada em um empréstimo de R$ 3.800,00, a ser resgatado no valor de R$ 6.900,00, ao final de 2 anos no regime de juros simples? c) A que taxa o capital de R$ ,00 rende R$ 1.170,00 em 6 meses no regime de juros simples? d) Apostando no aumento do orçamento nos próximos anos, um gestor solicitou um empréstimo no valor de R$ ,00 para modernizar os dois laboratórios de informática da escola. O banco emprestou a uma taxa de juros de 10% ao ano (regime de juros simples) durante 5 anos. Qual será o valor pago no final do contrato de empréstimo? RESPOSTAS COMENTADAS a) Dados do problema: C (Capital) = R$ ,00 i (taxa de juros) = 35% a.a. J =? n (período) = 1º de janeiro de 2010 a 31 de maio de 2010 = 151 dias Utilizando a fórmula de juros simples: J = Cin J = x x J= 6.753,05 Resposta: O valor dos juros é R$ 6.753,05. Obs.: Você deve ter percebido que o período (n) foi dividido pelo número 360 (corresponde ao número de dias do ano comercial). Isso foi necessário porque a taxa de juros é anual e o período era menor que um ano (151 dias). Quando isso acontece, é necessário dividir pelo número de dias em um ano comercial, ou seja, 360 dias. b) Dados do problema: C (Capital) = R$ 3.800,00 M (Montante) = R$ 6.900,00 n (período) = 2 anos i =? Utilizando a fórmula M = C (1 + in), podemos calcular o valor de i. 90 Monteiro, J.E. Gestão Financeira. rio de janeiro: sesi/uff, 2011.
11 Aula 4 Matemática Financeira: uma ferramenta para decisões estratégicas = x (1 + i2) = 1 + i2 1,8159 = 1 + i2 1, = i2 i2 = 0,8159 i = 0,40795 ou i = 40,79% Resposta: A taxa de juros é 40,79% ao ano. c) Dados do problema: Existem duas maneiras de resolver esse problema. A primeira é utilizando a fórmula: J = Cin, onde: C (capital) = R$ ,00 J (juros) = R$ 1.170,00 N (período) = 6 meses i (taxa de juros) =? = x i x i = i = 0,01083 ou i = 1,083% a.m. A outra maneira de resolver o problema é utilizando a fórmula M = C (1 + in): C (Capital) = R$ ,00 M (Montante) = R$ ,00 + R$ 1.170,00 = R$ ,00 Período = 6 meses i =? = x (1 + i6) = 1 + i6 1,065 = 1 + i6 i6 = 0,065 i = 0,01083 ou i = 1,083% a.m. d) Dados do problema: C (capital) = R$ ,00 n (período) = 5 anos i (taxa de juros) = 10% ao ano M (montante) =? Utilizando a fórmula M = C (1 + in), temos: M = ,00 (1 + 0,1x5) M = ,00 (1 + 0,5) M = ,00 x 1,5 M = ,00 Resposta: No final do contrato, a escola pagará R$ ,00. Monteiro, J.E. Gestão Financeira. rio de janeiro: sesi/uff,
12 Juros compostos Já com o uso de juros compostos, o crescimento é exponencial, obedecendo a uma progressão geométrica de razão igual a 1 (um) mais a taxa da operação. Veja, na Tabela 4.2, o crescimento dos juros e do montante e compare com a evolução da aplicação com juros simples. Tabela 4.2: Evolução da aplicação com capitalização por juros compostos. JUROS SIMPLES JUROS COMPOSTOS Período Montante Juros Montante Juros , , , , , , , ,56 466,56 No regime de capitalização a juros compostos, a equação que relaciona os juros, o montante, o capital, o número de períodos e a taxa de juros é a seguinte: M = C (1 + i) n Onde: M = montante C = capital (1 + i) n = um mais a taxa de juro elevado ao número de períodos Vamos usar a fórmula para conferir o resultado apresentado na tabela. Se quisermos calcular o montante em um ano: M = ( )1 M = x 1,08 M = Se quisermos calcular o montante em três anos: M = ( )3 M = x 1, M = 6.298,56 Veja que os valores são exatamente aqueles encontrados na tabela. O valor dos juros é a diferença entre o montante e o capital inicial em cada período. 92 Monteiro, J.E. Gestão Financeira. rio de janeiro: sesi/uff, 2011.
13 Aula 4 Matemática Financeira: uma ferramenta para decisões estratégicas Juros simples Andres Rueda Juros compostos G Schouten de Jel Kym Macleod Imagens sob licença: Figura 4.4: No regime de juros simples, o valor acrescentado é sempre o mesmo, pois é calculado sempre sobre o capital inicial. Já nos juros compostos, o valor dos juros vai aumentando, já que é calculado sobre o valor do montante, e não do capital. É importante que você saiba que o regime de juros simples e compostos não influenciam apenas no cálculo dos valores das prestações e da formação do capital. Esses conceitos também são importantes na hora de se levar em consideração as taxas de juros envolvidas. Antes de entender como isso funciona, que tal exercitar um pouco o que você acabou de aprender? Atividade 3 Com o objetivo de abrir seu próprio negócio, Carlos contraiu um empréstimo com uma financeira que cobrou uma taxa de juros (compostos) de 5% ao mês. Ao final de dois anos, ele deverá efetuar um pagamento de R$ ,00. Qual o valor do empréstimo que Carlos contratou? RESPOSTA COMENTADA Dados do problema: M = R$ ,00 n = 2 anos = 24 meses i = 5% ao mês C =? A fórmula dos juros compostos é: M = C (1 + i) n Como você quer calcular o valor do capital (C), é melhor reescrever a fórmula em função do C. Assim, passando o termo (1+ i) n para o lado do M, dividindo, temos: C = M x 1 (1 + i) n Monteiro, J.E. Gestão Financeira. rio de janeiro: sesi/uff,
14 Substituindo os valores das variáveis: 1 C = x (1 + 0,5) 24 C = x 0, C = ,19 Resposta: O empréstimo contraído foi de R$ ,19. Nem toda taxa de juros é igual Apesar do conceito de taxa de juros não mudar, ela pode receber uma nomenclatura diferente, por exemplo, dependendo do período a que se refere. Vejamos como essas diferenças caracterizam cada tipo de taxa de juros e como elas alteram a forma de resolver certos problemas financeiros. Taxas de juros diferentes, mas que determinam valores de capitais iguais, podem ser classificadas como: Proporcionais Equivalentes Duas taxas de juros são consideradas proporcionais quando, ao serem aplicadas ao mesmo capital durante o mesmo período de tempo, no regime de capitalização simples, gerarem um mesmo montante final. Por exemplo, uma taxa de 120% ao ano é proporcional a uma taxa de: 10% ao mês; 60% ao semestre; 25% ao trimestre; 0,333% ao dia. Mas como é possível encontrar o valor de uma taxa proporcional? É simples: você divide a taxa anual de forma a transformá-la no mesmo período da taxa final. Veja: Como um ano tem 12 meses Como um ano tem 2 semestres Como um ano tem 4 trimestres = 10% ao mês; = 60% ao semestre; = 25% ao trimestre; É preciso ter cuidado ao transformar a taxa anual em taxa diária, pois devemos dividir por 360, que corresponde ao número de dias do ano comercial, que é diferente do ano civil, que possui 365 (ou 366 em anos bissextos). Sendo assim 120% = 0,333% ao dia Monteiro, J.E. Gestão Financeira. rio de janeiro: sesi/uff, 2011.
15 Aula 4 Matemática Financeira: uma ferramenta para decisões estratégicas Svilen Milev Svilen Milev Figura 4.5: Algumas taxas são aparentemente diferentes, todavia, dependendo do período de capitalização a que se referem, podem levar à formação de um mesmo capital. Duas taxas de juros são consideradas equivalentes quando, ao serem aplicadas ao mesmo capital durante o mesmo período de tempo, no regime de capitalização composto, gerarem um mesmo montante final. Observe que a diferença relativamente às taxas proporcionais reside no tipo de regime de capitalização. Vamos utilizar o mesmo exemplo, para que você possa perceber, mais uma vez, a diferença do regime composto em relação ao simples. Para calcular taxas equivalentes, guarde a seguinte fórmula: Agora vamos converter uma taxa anual de 120% para mensal, usando a fórmula. Para isso, temos que começar igualando as duas taxas: (1 + i a ) = (1 + i m ) 12 ( ) = (1 + i m )12 (1 + 1,2) = (1 + i m ) 12 2,2 = (1 + i m ) 12 Monteiro, J.E. Gestão Financeira. rio de janeiro: sesi/uff,
16 Multiplicando os expoentes por 1 12 (2,2) = 1 + i m Como 1 12 = 0,0833, temos: 1 12 temos: (2,2) 0,0833 = 1 + i m 1, = 1 + i m 1, = i m i m = 0, ou i m = 6,7883% ao mês Veja que a mesma taxa anual (120%) teve valores correspondentes diferentes, dependendo se a taxa é proporcional (juros simples) ou equivalente (juros compostos). A taxa equivalente mensal (6.7883%) é bem menor que a taxa proporcional mensal (10%), não é verdade? Isso acontece porque, no regime composto, a taxa de juros é aplicada sobre o montante acumulado; portanto, uma taxa de 6,7883%, que é inferior aos 10% do regime simples, gera os mesmos 120% em 12 meses. Mas a classificação quanto à equivalência de capitais não é a única. Existe outro tipo de classificação que independe do regime de juros. Esse tipo de classificação diferencia as taxa de juros em: Taxa nominal; Taxa efetiva; Taxa real. A taxa nominal é aquela em que o período de formação e incorporação dos juros ao capital não coincide com aquele a que a taxa se refere por exemplo, uma taxa de juros de 120% ao ano com capitalização mensal. Nesse caso, a taxa informada é anual; no entanto, a formação do capital é mensal. Por outro lado, a taxa efetiva é aquela em que o período de formação e incorporação dos juros ao capital coincide com aquele a que a taxa se refere, ou seja, taxa de juros de 120% ao ano tem capitalização anual. Nos casos em que a taxa efetiva é corrigida pela taxa de inflação do período da operação, chamamos essa taxa de taxa real. Yalcin Eren Svilen Milev Figura 4.6: A diferença entre taxas nominais e efetivas está no período de formação e incorporação dos juros ao capital. Mas será que faz alguma diferença usar uma taxa nominal ou uma taxa efetiva? A resposta é sim! Expressar a taxa de juros no formato nominal pode mascarar o custo efetivo das transações financeiras. Por isso, o Código de Defesa do Consumidor (Lei nº 8078/1990) determina, em seu artigo 52º, que as transações financeiras devem ser apresentadas na taxa efetiva. 96 Monteiro, J.E. Gestão Financeira. rio de janeiro: sesi/uff, 2011.
17 Aula 4 Matemática Financeira: uma ferramenta para decisões estratégicas Explicativo O artigo 1º do Código de Defesa do Consumidor estabelece normas de proteção e defesa do consumidor, de ordem pública e interesse social, nos termos dos artigos 5º, inciso XXXII e 170º, inciso V da Constituição Federal. Agora vejamos o que diz o artigo 52º desse mesmo código: No fornecimento de produtos ou serviços que envolva outorga de crédito ou concessão de financiamento ao consumidor, o fornecedor deverá, entre outros requisitos, informá-lo prévia e adequadamente sobre: I - preço do produto ou serviço em moeda corrente nacional; II - montante dos juros de mora e da taxa efetiva anual de juros; III - acréscimos legalmente previstos; IV - número e periodicidade das prestações; V - soma total a pagar, com e sem financiamento. Fonte: Vamos conferir, então, se existe mesmo essa diferença entre as taxas nominal e efetiva, calculando o custo efetivo anual de uma taxa de 120% a.a. com capitalização mensal. No regime de juros simples, o período de capitalização não altera o resultado. Dividindo 120% por 12 meses, obtemos 10% ao mês. Mas... e no regime de juros compostos? Será que 10% ao mês são iguais a 120% ao ano? Para responder a essa pergunta, precisamos determinar a taxa equivalente anual da taxa mensal de 10%. Para isso, usaremos a fórmula: (1 + i a ) = (1 + i m ) 12 (1 + i a ) = ( )12 (1 + i a ) = (1 + 0,1) 12 (1 + i a ) = (1,1) 12 (1 + i a ) = 3,1384 i a = 3, i a = 2,1384 ou 213,82% Imagine que ofereçam a você um financiamento a uma taxa anual de 120% com capitalização mensal. Você aceitaria? Espero que, a partir de agora, você fique mais atento à nomenclatura da taxa de juros utilizada porque, nesse caso, você estaria pagando uma taxa efetiva de 213,82%. Mas essas não são as únicas ferramentas que você precisa conhecer para tomar decisões acertadas na hora de administrar suas finanças e as finanças da sua escola. Você precisa de mais instrumentos para suas avaliações. Por isso, nosso próximo assunto trata dos diagramas de fluxo. Atividade 4 Imagine que a sua escola necessite financiar a compra de uma geladeira cujo preço é R$ 1.400,00. A loja ofereceu duas alternativas de financiamento. A primeira é financiar a compra a uma taxa de juros nominal de 60% ao ano com capitalização mensal; a segunda é fazer o financiamento com uma taxa efetiva anual de 70%. Qual das alternativas você escolheria, por ser a mais vantajosa? Monteiro, J.E. Gestão Financeira. rio de janeiro: sesi/uff,
18 RESPOSTA COMENTADA Vamos lá! O primeiro passo é calcular a taxa efetiva anual referente à taxa de juros nominal de 60%. Dividindo os 60% por 12 meses, encontramos 5% ao mês. Agora precisamos calcular a taxa equivalente anual da taxa mensal de 5%. (1 + i a ) = (1 + i m ) 12 (1 + i a ) = (1 + 0,05) 12 (1 + i a ) = (1,05) 12 (1 + i a ) = 1,7959 i a = 1, i a = 0,7959 ou i a = 79,59% Possivelmente, sem fazer as contas, você escolheria a primeira opção, não é mesmo? Mas, após fazer a conversão da taxa nominal em taxa efetiva, você observou que a melhor opção, na verdade, é a segunda, com uma taxa efetiva anual de 70%, que é inferior aos 79,59% da primeira opção. Diagramas de fluxo de caixa O diagrama de fluxo de caixa é uma ferramenta importante para facilitar a compreensão dos elementos da matemática financeira (juros, taxa de juros, capital, montante, prestações). Montando um fluxo de caixa, você consegue reconhecer mais facilmente quais informações/elementos você tem em mãos e qual você precisa encontrar. Usualmente, as transações financeiras são representadas por diagramas, como esse do esquema a seguir: (+) Setas orientadas para cima indicam entrada de caixa ( ) Setas orientadas para baixo indicam desembolso de caixa O eixo horizontal representa o tempo (número de períodos) Digamos que você comprou uma geladeira para a escola no valor de R$ 2.000,00. O plano de pagamento foi realizado com juros e sem entrada, em quatro prestações mensais de R$ 600,00. Vamos agora representar essa compra utilizando um diagrama de fluxo de caixa. R$ R$ 600 R$ 600 R$ 600 R$ Monteiro, J.E. Gestão Financeira. rio de janeiro: sesi/uff, 2011.
19 Aula 4 Matemática Financeira: uma ferramenta para decisões estratégicas Veja que na linha horizontal está disposto o período de pagamento (4 prestações). A seta na vertical direcionada para cima representa o valor da geladeira (R$ 2.000,00), que representa uma entrada, um aumento no patrimônio. As setas verticais orientadas para baixo representam os valores de cada prestação (R$ 600,00). Veja que o diagrama simplifica o problema e facilita identificar qual elemento não temos. Acho que não ficou bom. Talvez, se as caixas estivessem com dinheiro, seria mais interessante. Marcelo Rubinstein Figura 4.7: O objetivo de montarmos o diagrama de fluxo é a organização. Dessa forma, fica mais fácil encontrar e avaliar os elementos envolvidos nas questões de matemática financeira. Atividade 5 Um investidor aplicou R$ 5.000,00 numa instituição financeira que remunera seus depósitos a uma taxa de 3% ao mês no regime de juros simples. Mostre o crescimento desse capital no final de cada mês, a contar da data da aplica ção dos recursos, e informe o montante que poderá ser retirado pelo investidor no final do 5º mês. Para resolver esse problema, elabore um diagrama de fluxo de caixa e insira nele a resposta encontrada. RESPOSTA COMENTADA Dados do problema: Capital (C) = R$ 5.000,00 Taxa de juros (i) = 3% ao mês Período (n) = 5 meses J =? Capitalização simples A taxa de juros incide sobre o valor do capital = l inicial, portanto, o acréscimo de juros é constante ao longo do tempo. J = i x C J = 0,03 x (R$5.000) = R$150 Ao final de cada mês, ao saldo da conta será acrescentado o valor de R$ 150,00 referente aos juros. Monteiro, J.E. Gestão Financeira. rio de janeiro: sesi/uff,
20 Assim, temos: 5 x R$ R$ R$ 150 R$ 150 R$ 150 R$ R$ Atividade 6 No final do quinto mês, o investidor poderá retirar R$ 5.750,00. Um investidor aplicou R$ 5.000,00 numa instituição financeira que remunera seus depósitos a uma taxa de 3% ao mês no regime de juros compostos. Mostre o crescimento desse capital no final de cada mês, a contar da data da aplica ção dos recursos, e informe o montante que poderá ser retirado pelo investidor no final do 5º mês, após a efetivação do último depósito. Para resolver esse problema, elabore um diagrama de fluxo de caixa e insira nele a resposta encontrada. RESPOSTA COMENTADA Dados do problema: Capital (C) = R$ 5.000,00 Taxa de juros (i) = 3% ao mês Período (n) = 5 meses Capitalização Composta A taxa de juros incide sobre o montante acumulado até o período avaliado. Sendo assim, o acréscimo de juros é crescente ao longo do tempo. J = i x M J1 = 0,03 x (R$ 5.000) = R$ 150,00 J2 = 0,03 x (R$ 5.150) = R$ 154,50 J3 = 0,03 x (R$ 5.304,50) = R$ 159,14 J4 = 0,03 x (R$ 5.463,64) = R$ 163,91 J5 = 0,03 x (R$ 5.627,54) = R$ 168,83 Assim, o fluxo de caixa terá a seguinte representação: R$ R$ 154,5 + R$ 159,14 + R$ 163,91 + R$ 168,83 + R$ R$ 150 R$ 154,50 R$ 159,14 R$ 163, R$ No final do quinto mês, o investidor poderá retirar R$ 5.796, Monteiro, J.E. Gestão Financeira. rio de janeiro: sesi/uff, 2011.