Plano de Aula MATEMÁTICA. Radicalizando - PDF
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Silvana Maria das Neves Alencastre Wagner
1 Plano de Aula MATEMÁTICA Radicalizando
2 Radicalizando. 13 p.; il. (Série Plano de Aula; Matemá ca) ISBN: 1. Ensino Fundamental Matemá ca 2. Área 3.Espaço e forma I. Título II. Série CDU: 373.3:51
3 Plano de Aula RADICALIZANDO Nível de Ensino Ano / Semestre Componente Curricular Tema Duração da Aula Modalidade de Ensino Ensino Fundamental/ Anos finais 9º ano Matemática Números e operações 3 aulas (50 min cada) Educação Presencial OBJETIVOS Ao final da aula, o aluno será capaz de: D26 EF2- MAT- Resolver problema com números racionais envolvendo as operações (adição, subtração, mul plicação, divisão, potenciação) D27- EF2-MAT- Efetuar cálculos simples com valores aproximados de radicais. D1.7 F2 TEC- Constatar alguma relação entre aspectos observáveis do objeto, semelhanças e diferenças, constâncias em situações, fenômenos, palavras, pos de texto etc. PRÉ-REQUISITOS DOS ALUNOS GLOSSÁRIO Radical(¹): adj m+f (lat radicale) 1 Pertencente ou rela vo à raiz. 2 Que parte ou provém da raiz. 3 Rela vo à base, ao fundamento, à origem de qualquer coisa; fundamental. (Mat ) Sinal que se coloca antes das quan dades a que se deve extrair alguma raiz. Número primo(²): Um número natural é um número primo quando ele tem exatamente dois divisores dis ntos: o número um e ele mesmo. Saber u lizar os programas do laptop educacional: KSpread, Firefox e KCalc. RECURSOS/MATERIAIS DE APOIO - Laptop educacional; - lousa; - pincel. Fontes: (¹) php?lingua=portugues-portugues&palavra=radical (²) Acessado em 18/03/2012.
4 RADICALIZANDO 02 QUESTÕES PROBLEMATIZADORAS Denki possui 25 placas quadradas para construir um painel também quadrado. Quantas placas formarão o lado do maior quadrado possível? Se Denki possuísse 30 placas seria possível construir um quadrado com todas as placas? LEIS, PRINCÍPIOS, TEORIAS, TEOREMAS, AXIOMAS, FUNDAMENTOS, REGRAS... Radiciação é a operação inversa da potenciação. Observe a figura em vermelho à direita: Esta imagem representa a raiz cúbica de oito. A expressão matemá ca é um radical, ela é composta pelo número 3 que é o índice da raiz, pelo símbolo da radiciação e pelo número 8 que é o seu radicando. Mas o que significa a raiz cúbica de oito? Relembrando as propriedades da potenciação, temos que 2 3 é igual a que é igual a 8. Par mos do número 2 e através de uma mul plicação de 3 fatores iguais a 2, chegamos ao número 8. Agora temos o caminho inverso, a raiz cúbica de oito é a operação que nos aponta qual é número que elevado a 3 é igual a 8, ou seja, é a operação inversa da potenciação. Raízes de Radicando Real com Índice Não Nulo A raiz enésima de a é igual a b, se e somente se b elevado a enésima potência for igual a a:
5 RADICALIZANDO 03 LEIS, PRINCÍPIOS, TEORIAS, TEOREMAS, AXIOMAS, FUNDAMENTOS, REGRAS... Não Existe a Raiz de um Radicando Nega vo e Índice Par, Por quê? Vamos tomar como exemplo a raiz quadrada de menos 16 expressa por temos:. Segundo a definição Qual é o valor numérico que b deve assumir para que mul plicado por ele mesmo seja igual a -16? Como sabemos na mul plicação de números reais ao mul plicarmos dois números, diferentes de zero, com o mesmo sinal, o resultado sempre será posi vo, então não existe um número no conjunto dos números reais que mul plicado por ele mesmo dará um valor nega vo, pois o sinal é o mesmo em ambos os fatores da mul plicação. A Raiz de um Radicando Nega vo e Índice Ímpar é Nega vo. Em uma mul plicação se todos os sinais forem posi vos, obviamente o produto final também será posi vo, já se vermos fatores nega vos, se estes forem em quan dade par o resultado será posi vo, se forem em quan dade ímpar o resultado será nega vo. É evidente que nenhum dos fatores pode ser igual a zero. Então a raiz enésima de a, um número real nega vo será nega va se o índice for ímpar. Se for par como vimos acima, não exis rá. Vamos analisar a raiz quinta de menos 32 que se expressa como : Como o expoente de b é ímpar, ou seja, o número de fatores que representa a potência é impar, para que o resultado seja -32, é preciso que b seja nega vo. Então a raiz de um número nega vo e índice ímpar sempre será um número nega vo. Neste exemplo -2 é o número nega vo que elevado a 5 resulta em -32, logo: Note que na potência colocamos o -2 entre parênteses, pois se não o fizéssemos, apenas o 2 estaria elevado à quinta potência. Como o expoente é ímpar, não faria diferença no resultado se não os véssemos u lizado, mas isto seria imprescindível se o expoente fosse um número par, para que não houvesse erro de sinal no resultado da potenciação. A Raiz de um Radicando Posi vo também é Posi va Não importa se o índice é par ou ímpar, em não sendo nulo, a raiz de um radicando posi vo também será posi va. Vamos analisar a, que se lê raiz quadrada de nove: Logo 3 é o número que elevado ao quadrado dá 9. Mas você pode também se perguntar: E se for -3? Se elevarmos -3 ao quadrado também iremos obter nove! Correto, mas lembra-se da definição da raiz para um radicando posi vo? Tanto o radicando quanto a raiz devem ser posi vos, é por isto que não podemos considerar o -3.
6 RADICALIZANDO 04 LEIS, PRINCÍPIOS, TEORIAS, TEOREMAS, AXIOMAS, FUNDAMENTOS, REGRAS... A Raiz de um Radicando Nulo também é Nula. Isto é verdade desde que o índice não seja nulo também. Exemplo:, pois. Propriedades da Radiciação As propriedades que vamos estudar agora são consideradas no conjunto dos números reais posi vos ou nulos, podendo não se verificar caso o radicando seja nega vo, pois como sabemos, não existe raiz real de um número nega vo. A Raiz de uma Potência é uma Potência com Expoente Fracionário Assim como de uma potenciação podemos chegar a uma radiciação, desta podemos chegar a uma potenciação: Exemplo: Já que n não pode ser zero, a par r desta propriedade concluímos que não existe raiz de índice zero. Se n fosse zero, o denominador da fração do expoente seria zero, que sabemos não ser permi do. Mudança de Índice pela sua Mul plicação/divisão do Expoente do Radicando por um Mesmo número Não Nulo Se mul plicarmos ou dividirmos tanto o índice do radical, quanto o expoente do radicando por um mesmo número diferente de zero, o valor do radical con nuará o mesmo: Exemplos: Raiz de uma Potência A raiz n de uma potência de a elevado a m é a potência m da raiz n de a: Exemplo:
7 RADICALIZANDO 05 LEIS, PRINCÍPIOS, TEORIAS, TEOREMAS, AXIOMAS, FUNDAMENTOS, REGRAS... Produto de Radicais de Mesmo Índice O produto de dois radicais de mesmo índice é igual à raiz deste índice do produto dos dois radicandos: Exemplo: Vamos verificar: Divisão de Radicais de Mesmo Índice O quociente de dois radicais de mesmo índice é igual a raiz deste índice do quociente dos dois radicandos Exemplo: Verificando: Simplificação de Radicais Através da Fatoração Podemos simplificar e em alguns casos até mesmo eliminar radicais, através da decomposição do radicando em fatores primos. O raciocínio é simples, decompomos o radicando em fatores primos por fatoração e depois simplificamos os expoentes que são divisíveis pelo índice do radicando. Vamos simplificar decompondo em fatores primos: Como = podemos dizer que:
8 RADICALIZANDO 06 LEIS, PRINCÍPIOS, TEORIAS, TEOREMAS, AXIOMAS, FUNDAMENTOS, REGRAS... Repare que tanto o expoente do fator 3 6, quanto o expoente do fator 5 3 são múl plos do índice do radicando que é igual a 3. Vamos então simplificá-los: Perceba que através da fatoração de e da simplificação dos expoentes dos fatores pelo índice do radicando, extraímos a sua raiz cúbica eliminando assim o radical. Vejamos agora o caso do radical : Logo 2205 = , então: Como os expoentes dos fatores 3 2 e 7 2 são divisíveis pelo índice 2, vamos simplificá-los re rando-os assim do radical: Neste caso o expoente do fator 5 não é divisível pelo índice 2 do radicando, por isto após a simplificação não conseguimos eliminar o radical. Agora vamos analisar o número : Note que 729 = 3 6, então: Neste caso o expoente de 3 6 não é divisível pelo índice 5, mas é maior, então podemos escrever: Repare que agora o expoente do fator 3 5 é divisível pelo índice 5, podemos então re rá-lo do radical: Agora vamos pensar um pouco. Após a fatoração nhamos o radical. O expoente 6 não é divisível por 5, pois ao realizarmos a divisão, obtemos um quociente de 1 e um resto também de 1. Pois bem, o 1 do quociente será o expoente da base 3 ao sair o radical. A parte que ainda ficou no radical terá como expoente o 1 do resto. Vamos a alguns exemplos para melhor entendermos a questão: Simplifique.
9 RADICALIZANDO 07 LEIS, PRINCÍPIOS, TEORIAS, TEOREMAS, AXIOMAS, FUNDAMENTOS, REGRAS... Dividindo 18 por 7 obtemos um quociente de 2 é um resto de 4, logo fora do radical a base 5 terá o expoente 2do quociente e a base dentro do radical terá o expoente 4 que é o resto da divisão: Logo: Outro exemplo simplifique. A divisão de 15 por 5 resulta em quociente 3 e resto 0, pois a divisão é exata, mas não há problema. Seguindo as explicações temos: Veja que quando o é resto for zero podemos eliminar o radical, já que o radicando sempre será igual a 1, pois todo número natural não nulo elevado a zero é igual a um: Nos casos em que os expoentes de todos os fatores forem menores que o índice do radical como, por exemplo, em, a simplificação não poderá ser realizada. Fonte: PARA REFLETIR COM OS ALUNOS VERDADE OU LENDA? Existe uma lenda a respeito da sociedade pitagórica que torna muito curiosa a história dos números irracionais. Como toda estória (ou historia) bem contada, irei começar exatamente do começo, para a compreensão de todos. Através do teorema demonstrado por Pitágoras, é possível calcular a diagonal de quadrados. A diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos, dessa forma podemos afirmar que a diagonal é a hipotenusa, e os catetos são os lados do quadrado. Assim, todo quadrado, isto é, um retângulo de lados iguais, é formado por dois triângulos retângulos. Apesar deste conhecimento, os pitagóricos enfrentaram um pequeno problema: eles não conseguiram calcular a diagonal de um quadrado de lado unitário. Atualmente, pode parecer um cálculo muito simples, mas nem sempre foi assim. O quadrado mostrado abaixo possui lado 1, e a medida da sua diagonal h (a hipotenusa dos dois triângulos), de acordo com o teorema, é calculada da seguinte forma:
10 RADICALIZANDO 08 PARA REFLETIR COM OS ALUNOS Talvez estejam se perguntando Qual a dificuldade nisso?. O problema é que a raiz de dois, como mostrado acima, é um número irracional, ou seja, ela não pode ser representada pelos números inteiros ou fracionários: os únicos que os pitagóricos conheciam. A alterna va usada por Pitágoras foi, então, proclamar que alguns comprimentos simplesmente não poderiam ser expressos através de números, a tude um pouco controversa para um filósofo que dizia que o número é o principio de tudo. Hipaso de Metaponto Tal paradoxo foi man do rigorosamente em sigilo dentro da sociedade pitagórica, exceto por um dos seus seguidores. Segundo a lenda, Hipaso de Metaponto, um seguidor de Pitágoras, misteriosamente, ou convenientemente, morreu afogado após ter falado um pouco demais. Apesar disso, a descoberta dos números irracionais, que ameaçava a doutrina de que tudo podia ser demonstrado através de números, é comumente atribuída a Hipaso. Então, talvez ele quisesse apenas mostrar ao mundo a sua descoberta, mas de qualquer forma acredito que as circunstâncias de sua morte sejam um ó mo assunto para se pensar quando queremos entender o quanto os pitagóricos eram apaixonados pela matemá ca. Fonte:
11 RADICALIZANDO 09 ATIVIDADES DESENVOLVIDAS PELO PROFESSOR 1ª Aula: O professor poderá iniciar a aula com as perguntas da seção Questões Problema zadoras. Para prosseguir com a discussão sobre números quadrados perfeitos e área de um quadrado, o professor solicitará que os alunos através do navegador de Internet do Laptop Educacional (Mozilla Firefox), [Metasys> Favoritos>Navegador de Internet], explorem o objeto de aprendizagem disponível no site: h p://demonstra ons.wolfram.com/ SquaringANumber/ Trata-se de um quadrado dividido em outros quadrados menores numerados, onde o professor poderá associar a área de um quadrado ao conceito de raiz quadrada. Em seguida o professor solicitará a construção de uma tabela eletrônica no programa KSpread [Metasys>aplica vos>f erramentas de Produ vidade>suíte de escritório> Planilha Eletrônica] onde os alunos deverão calcular os quadrados dos números até 30, ou se o professor preferir, pode optar por um conjunto maior. Com a tabela já confeccionada, os alunos deverão analisá-la e listar relações, propriedades e padrões. Para finalizar a aula, os alunos deverão debater sobre as propriedades encontradas e o professor intermediará a discussão verificando se de fato as relações ou padrões encontrados são consistentes. Durante essa a vidade o professor deverá sempre associar o conceito da radiciação como operação inversa da potenciação. 2ª Aula: O professor formalizará o conceito de radiciação, apresentando suas propriedades. 3ª Aula: O professor solicitará que os alunos abram o programa KCalc [Metasys>aplica vos>acessórios>ut ilitários>calculadora Cien fica] e caso os alunos não tenham do a experiência de trabalhar com uma calculadora cien fica, o professor deverá apresentar as funções disponíveis na calculadora cien fica. A relação entre as operações de radiciação e potenciação, principalmente no que diz respeito a expoentes fracionários, pode ser explorada através de exemplos que apliquem as propriedades dessas duas operações. E para finalizar a aula o professor solicitará que os alunos resolvam uma lista de exercícios com aproximações de raízes não exatas ou de potenciações com expoentes fracionários.
12 RADICALIZANDO 10 TAREFA DOS ALUNOS 1ª- Explorar o objeto de aprendizagem; 2ª- Construir uma tabela com os quadrados dos números de 0 até 30; 3ª- Analisar a tabela construída; 4ª- Listar relações, padrões e propriedades dos quadrados dos números da tabela; 5ª- Par cipar do debate com a turma e o professor; 6ª- Explorar a calculadora cien fica juntamente com o professor; 7ª- Resolver a lista de exercício. PARA SABER MAIS O professor poderá visitar o aplica vo abaixo e discu r sobre o significado geométrico dos números irracionais resultantes de raízes não exatas, disponíveis em: h p:// AVALIAÇÃO Critérios Desempenho avançado Desempenho médio Desempenho iniciante Resolver problema com números racionais envolvendo as operações (adição, subtração, mul plicação, divisão, potenciação) Efetuar cálculos simples com valores aproximados de radicais. Constatar alguma relação entre aspectos observáveis do objeto, semelhanças e diferenças, constâncias em situações, fenômenos, palavras, pos de texto etc.
13 RADICALIZANDO 11 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1. Divirta-se e teste seus conhecimentos sobre as propriedades dos radicais com o jogo Rachacuca. 2. Radicalize mostrando como você está fera em radiciação com o jogo Radicalizando.
14 RADICALIZANDO 12 EXERCÍCIOS PARA AVALIAÇÕES/// Provinha Brasil Prova Brasil PISA e ENEM 1. Observe o gráfico abaixo que representa a planta de um terreno retangular. As medidas estão na mesma unidade de comprimento, o metro. Assim, podemos afirmar que o perímetro do terreno vale: a) b) c) d) 2. A área do triângulo abaixo vale: a) b) c) d) 3. Uma das propriedades de mul plicação de radicais afirma: Para mul plicar radicais de mesmo índice, devemos conservar o índice e mul plicar os radicandos. Assim, ao aplicarmos essa propriedade na expressão acima, encontramos o seguinte valor: a) b) c) d) 6 4. Ao simplificarmos a expressão acima encontramos o seguinte valor: a) b) c) d)
15 RADICALIZANDO 13 EXERCÍCIOS PARA AVALIAÇÕES/// Provinha Brasil Prova Brasil PISA e ENEM 5. Qual o valor do na figura abaixo, sabendo-se que a área do triângulo mede? a) b) c) d)