Estas equações representam uma parte da matemática muito utilizada em aplicações na física, na engenharia e diversas outras áreas do conhecimento. A absoluta maioria das leis da física são expressas por meio de equações diferenciais, como por exemplo a lei de Newton \(F=ma\), ou as equações de Maxwell para o eletromagnetismo.
Exemplo 1. Que função é idêntica à sua própria derivada? A resposta para esta pergunta é a solução da equação diferencial \(y’=y\). Ora, podemos nos lembrar, sem o uso de nenhuma técnica de solução, que a função \(y(x)=e^{x}\) satisfaz este requisito. Observe que a resposta mais geral é \(y(x)=Ce^{x}\), onde \(C\) é uma constante qualquer.
No exemplo anterior, encontramos não apenas uma mas infinitas soluções para a equação proposta. Uma constante de integração está sempre presente na solução de uma equação diferencial de primeira ordem. Como veremos existem várias técnicas para se encontrar soluções de equações como a do exemplo 1. Uma solução de uma equação diferencial é uma função que, quando substituída na equação original, a transforma em uma identidade.
Conhecemos duas funções elementares que satisfazem esta equação: \(y_{1}=\text{sen}\,x\) e \(y_{2}=\cos x\). Verifique, derivando duas vezes e substituindo na equação diferencial que
Exemplo 3. Vamos procurar a equação de movimento para uma partícula submetida a uma aceleração constante \(g\). Iniciamos por descrever a posição da partícula como \(x(t)\), onde a variável independente agora é \(t\), o tempo. Usaremos a notação inventada por Newton que consiste em representar a derivada em relação ao tempo por meio de um ponto sobre a quantidade derivada. Assim sua velocidade é a derivada primeira