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Renata Garrido da Fonseca
1 Introdução à Análse de Dados nas meddas de grandezas físcas otas baseadas nos apontamentos Análse de Dados do Prof. Dr. uno Ares de Campos
2 PRECISÃO e EXACTIDÃO PRECISÃO Reprodutbldade dos resultados EXACTIDÃO Promdade do valor médo relatvamente ao «verdadero» valor grande precsão grande eactdão grande precsão pequena eactdão pequena precsão pequena eactdão
3 ERROS DE OBSERVAÇÃO SISTEMÁTICOS Reprodutíves, quando se realza a mesma eperênca nas mesmas condções Se detectados, podem ser corrgdos Têm sempre o mesmo snal algébrco Eemplos equpamento defetuoso (e.g., mola permanentemente deformada) sstema de medda mal calbrado (e.g., o factor de conversão de uma tensão numa medda está errado) esquecmento da correcção da tara de uma balança
4 ERROS DE OBSERVAÇÃO ALEATÓRIOS OU ACIDETAIS São dferentes (ndependentes) em cada realzação da eperênca Tanto podem ser postvos como negatvos ão são susceptíves de correcção Podem ser sujetos a um tratamento estatístco Eemplos flutuações aleatóras no equpamento electrónco erros na estmatva da dvsão da escala mas próma do valor a medr atrasos ou antecpações na utlzação de um cronómetro
5 Estatístca de base Dada uma sére de medções (amostra) da grandeza físca, podemos defnr : Méda da amostra: Desvo da letura : Desvo padrão da amostra: Varânca da amostra: d ( ) s ( ) s
6 Com frequênca, e devdo aos erros aleatóros nerentes, um conjunto de leturas da varável numa dada eperênca apresenta uma dstrbução Gaussana: Calcule-se o valor médo do conjunto das leturas Verfque-se se os desvos das váras leturas relatvamente à méda seguem uma dstrbução de probabldades Gaussana (curva em forma de sno centrada no valor médo
7 Em mutos casos de eperêncas, os resultados dstrbuem-se se de acordo com uma curva suave deal chamada GAUSSIAA ou CURVA DE DISTRIBUIÇÃO ORMAL Caracterzada por: Valor médo corresponde ao centro da dstrbução Desvo padrão s mede o espalhamento da dstrbução
8 População de dados Para um conjunto nfnto (hpotétco) de dados, µ e s σ méda da população desvo padrão da população O resultado é tanto mas precso quanto menor o desvo padrão. o entanto uma grande precsão não mplca uma grande eactdão A ncerteza assocada à determnação da méda decresce com / Os resultados epermentas eprmemse normalmente na forma: méda ± desvo padrão _ ± s
9 Equação da curva Gaussana: (μ) /σ e σ π σ π factor de normalzação Fca garantdo que a área abao da curva é gual a Probabldade de medr um valor num certo ntervalo de varação [, ] área stuada entre a curva e o segmento.
10 O desvo padrão mede a largura da curva Gaussana. (quanto maor σ, mas larga a curva) Intervalo Percentagem de observações µ ± σ 68.3 µ ± σ 95.5 µ ± 3σ 99.7
11 o caso de uma só medção epermental o caso da medção drecta de uma grandeza físca numa montagem epermental smples, como a medção do comprmento de um objecto com uma régua, da temperatura de um gás com um termómetro, da massa de um corpo com uma balança, um só valor epermental será sufcente. Basta para sso que os erros sstemátcos tenham sdo elmnados e a letura da escala do nstrumento tenha sdo feta com cudado. esse caso, o erro assocado será o erro devdo à precsão (fnta) do nstrumento. o caso da régua ou do termómetro de mercúro, essa precsão é lmtada pelo espaçamento entre as marcas mas prómas da escala. o caso de um termómetro dgtal ou de uma balança, essa precsão é fornecda com as característcas do nstrumento. Tpcamente, o erro da medção de um valor numa escala como a da régua ou do termómetro de mercúro é gual a ½ da subdvsão mas pequena da escala. É esse valor que se utlza como desvo padrão assocado ao valor meddo. Como eemplo, se se medu um comprmento de,003 m com uma régua que tem como subdvsão mas pequena o ntervalo de mm, o resultado a apresentar é,003 ± 0,0005 m.
12 Propagação de erros Suponhamos que se pretende determnar uma quantdade Z, a partr da medda drecta das grandezas A, B, C,, com as quas se relacona através de Z f(a,b,c, ). Se os erros assocados a A, B, C,... forem ndependentes (não houver correlação entre eles) então: melhor estmatva para Z é : Z f ( A, B, C,...) melhor estmatva para o erro em Z é : Z A Z B Z C ( s ) ( s ) + ( s ) + ( s ) +... Z A B C A A A
13 Ajuste de uma recta a dados epermentas (regressão lnear) valor prevsto ŷ ε - ŷ a + b Ajuste de um modelo lnear aos dados: a declve + b + ordenada na orgem ε resíduo
14 Pressupostos de uma regressão lnear. A relação funconal entre as varáves e é lnear.. Os erros assocados à medção de são desprezáves. 3. Se fzermos váras observações de para cada valor de, obtemos uma dstrbução normal dos desvos.
15 barra de erro σ A probabldade do verdadero valor da grandeza para o correspondente valor da grandeza estar dentro do ntervalo defndo pela barra de erro é de 68%.
16 Método dos Mínmos Quadrados: o crtéro para defnr «a melhor» recta é que seja mínma a soma dos quadrados dos desvos entre os dados e os correspondentes pontos da recta,,.e., ŷ [ ( a + b) ] Os «melhores» valores para os coefcentes a e b são tas que D 0 a D 0 b D ε a + b valor prevsto ŷ, valor prevsto, valor observado ε erro resdual
17 Caso mas smples: Os desvos padrão σ ( ) são todos guas Seja Após alguma álgebra chegamos a e σ σ σ σ σ σ << ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( K ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b a b a a b σ σ σ σ σ
18 Teste dagnóstco para a regressão lnear Dstrbução dos resíduos no caso do modelo lnear ser o mas adequado para traduzr a dependênca funconal f() ε 0
19 Dstrbução dos resíduos no caso de um modelo não lnear traduzr melhor a dependênca funconal f() (eemplos) ε ε 0 0
20 Algarsmos sgnfcatvos e arredondamentos Um observador deve apresentar o seu resultado com o número de algarsmos sgnfcatvos aproprados à ncerteza no valor obtdo. ão faz sentdo apresentar algarsmos sgnfcatvos para lá do algarsmo em que se espera que ocorra o erro, como por eemplo no caso,36 ± 0,. O resultado deve antes apresentar-se,4 ± 0,. É prátca corrente trabalhar-se com mas algarsmos sgnfcatvos nos cálculos ntermédos e fazer os arredondamentos necessáros apenas no resultado fnal.
Ajuste de um modelo linear aos dados:
Propagação de erros Suponhamos que se pretende determnar uma quantdade Z, a partr da medda drecta das grandezas A, B, C,, com as quas se relacona através de Z = f(a,b,c, ). Se os erros assocados a A, B,
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