Uma escada homogênea está apoiada contra uma parede vertical sem atrit | Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1
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Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler - Capítulo 12.1 - Ex. 37
Uma escada homogênea está apoiada contra uma parede vertical sem atrito. O coeficiente de atrito estático entre a escada e o piso é 0,30 . Qual é o menor ângulo entre a escada e a horizontal para que a escada não escorregue?
Pelo enunciado, queremos determinar o menor ângulo para que a escada não escorregue, ou seja, fique paradinha em equilíbrio. As condições para um corpo rígido ficar em equilíbrio são:
Precisamos começar fazendo o diagrama de corpo livre da escada
Temos a força peso P atuando no centro de massa da escada (sua metade), as forças normais que surgem do contato entre escada e parede N 2 e escada e solo N 1 . E para fechar temos a força de atrito entre escada e solo que impede que a escada deslize para a esquerda.
Nós demos um nome genérico ao comprimento da escada, chamamos de L . E também chamamos o ângulo que a escada faz com a horizontal de θ .
Perceba que a gente escreveu que a força de atrito é máxima. Por que? Cara, como a gente quer o ângulo mínimo para que a escada não deslize, temos que a escada deve estar bem perto de deslizar, ou seja, na iminência do deslizamento.
Nesse momento, temos a força de atrito máxima, que tem essa fórmulinha:
f a t m á x = μ N 1 á
Sendo que o enunciado já disse que μ , o coeficiente de atrito entre escada e solo, vale 0,3 :
f a t m á x = 0,3 N 1 á
Agora pensa comigo: tudo está paradinho, né? Então podemos usar as equações de equilíbrio
A partir delas, conseguimos achar θ como pede o enunciado. Vamos lá!
Vamos começar pelo equilíbrio de forças na horizontal e na vertical.
Considerando que forças positivas estão viradas para cima, o somatório de forças na vertical fica
- P + N 1 = 0
N 1 = P
Agora olhando para as forças horiozontais, considerando as forças positivas para a direita, temos que
f a t m á x - N 2 = 0 á
N 2 = f a t m á x á
Lembrando que vimos no passo 1 que f a t m á x = 0,3 N 1 á , temos
N 2 = f a t m á x = 0,3 N 1 á
Sendo que vimos que N 1 = P ali no somatório de forças na vertical
N 2 = f a t m á x = 0,3 P á
Resumindo, achamos que
Falta usar uma outra equação de equilíbrio: a de torques! Afinal, a escada não está girando. Portanto o somatório de torques será nulo.
Vamos calcular o somatório de torques em relação ao ponto onde a escada encosta no piso, que chamaremos de ponto P . E a gente vai considerar que se a força tende a girar a escada no sentido anti-horário, o torque gerado por ela é positivo, caso contrário, negativo.
O torque vai ser dado pelo produto entre a força e d , onde d é uma distância entre a linha de ação da força e o ponto onde queremos o torque. d e a força precisam ser perpendiculares.
Para começar, nota o seguinte, d para as forças f m a x e N 1 é nulo por que elas estão sendo aplicadas no eixo de rotação! Por esse motivo, elas não contribuem para o torque!
Vamos marcar o d de cada força restante no nosso diagrama de corpo livre
Percebe que d p é a distância perpendicular entre a linha de aplicação de P e o eixo de rotação que passa pelo ponto P . E essa força tende a girar a escada no sentido horário, então o torque fica negativo e é
τ p = - P d p
Para achar d p usamos o triângulo que pode ser encontrado na figura
Temos um triângulo retângulo, então podemos escrever
c o s θ = d P L / 2 → d p = L 2 cos ⁡ θ
Aí o torque fica
τ p = - P L 2 cos ⁡ θ
Agora para a força N 2 , a distância entre sua linha de ação e P é d F e ela tende a girar nossa escada no sentido anti-horário, então temos