PÓLOS NA REPRESENTAÇÃO DO ESPAÇO DOS ESTADOS - PDF
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Estela Peixoto Laranjeira
1 PÓLOS NA REPRESENTAÇÃO DO ESPAÇO DOS ESTADOS. Motiação e necessidade Pólos de um sistema fornecem o comportamento dinâmico do sistema tempo de resposta, frequencia natural, coeficiente de amortecimento etc. Como já conhecido os pólos de um sistema são as raízes do denominador da sua FT. Para calcular os pólos de um sistema descrito na forma do espaço dos estados é necessário primeiro obter a sua FT? Não os pólos podem ser calculados diretamente da forma do espaço dos estados usando conceitos básicos de álgebra linear.. Pólos de um sistema na forma SS Lembrando que a FT é obtida da forma SS por meio da seguinte expressão: ( I A) B D G ( s ) C s () e que G(s) pode ser calculada por: si A B det C D G( s). () det [ si A] Então os pólos de G(s) são obtidos a partir das raízes da equação característica do sistema, ou seja, fazendo-se: [ I A] det s () Esse mesmo resultado pode ser obtido por meio do cálculo dos autoalores da matriz A. Os pólos de um sistema na forma SS são os autoalores da matriz A de transição dos estados.. Autoalores e autoetores de uma matriz A
2 O problema de autoalor e autoetor de uma matriz quadrada de dimensão n é definido da seguinte forma: [ A] ii i, para i,..., n. () onde i são os autoalores da matriz e i são os autoetores da matriz. A eq. () possui duas soluções uma triial, onde i, e outra não triial com i. Para se ter a solução não triial dee-se ter que o det [ I A]. Em resumo o cálculo de autoalores e autoalores é realizado da seguinte forma: Cálculo dos autoalores resole-se det [ I A] Cálculo dos autoetores para cada autoalor obtém-se o seu autoetor correspondente por meio da equação () Os autoetores não são únicos, existem infinitas possibilidades. Para serem os autoetores da matriz A? Os autoetores da matriz de transição dos estados fornecem informação importante sobre o comportamento dinâmico do sistema representam, junto com os pólos, os modos dinâmicos do sistema.. Matriz de autoetores Os autoetores de uma matriz calculados anteriormente são chamados autoetores da direita e podem ser dispostos em uma matriz. Matriz dos autoetores da direita da matriz A do sistema: V L n os autoetores são dispostos em colunas. () (nxn) Pode-se definir também os autoetores da esquerda de uma matriz matriz dos autoetores da esquerda da matriz A do sistema: W V M n ( nxn) os autoetores da esquerda são as linhas da matriz (6)
3 A matriz A pode ser escrita em função das matrizes dos seus autoetores da direita e da esquerda: A WΛV (7) onde a matriz Λ é formada pelos autoalores da matriz A: M L Λ (8) M L O L M n ( nxn) Exemplo : Calcule os autoalores e autoetores da seguinte matriz: A Os autoalores são obtidos fazendo-se: det( I A) det ( ), ou seja,. As raízes dessa equação são. Os autoetores são obtidos resolendo-se a eq. () para cada um dos autoalores. Para. Obsere que as duas equações resultantes para obter e são iguais no cálculo dos elementos dos autoetores tem-se sempre (n ) equações, assim, dee-se adotar um dos elementos do etor e calcular os outros. Adotando.
4 Para. Adotando. Em geral se utiliza autoetores normalizados, ou seja i. Norma de um etor j Assim no caso tem-se: Exemplo : Calcule os autoalores e autoetores da seguinte matriz: A Como essa matriz é triangular os seus autoalores são os elementos da diagonal, assim:. Aplicando o mesmo procedimento anterior, tem-se: Para Adotando.
5 Para. Adotando resulta em.. Exercícios ) Calcule manualmente e depois erifique por meio do Matlab os autoalores e autoetores das seguintes matrizes: a) A b) A c) A. c) A Principais comandos do Matlab a serem utilizados: eig norm.