Quando o teste da réguinha funcionaria? - Zero
Na internet circula um vídeo de um rapaz defendendo a planitude da Terra, partindo do argumento de que não podemos perceber a curvatura ao observar seu horizonte, 'nem mesmo com o auxílio de uma régua'. O objetivo desse post entretanto não é criticar seu argumento, e sim mostrar para qual dimensão de planeta seu argumento seria suficiente para enxergar no horizonte a curvatura através desse método.
No vídeo, mencionam uma escala 'monstruosa', mas pelas informações relatadas no próprio vídeo, ele diz estar em Magé (RJ) e enxergar nos dois extremos do seu campo visual os municípios de Duque de Caxias e São Gonçalo (ambos RJ). Colocando-o num mapa, temos que seu horizonte observável deveria ser algo parecido com a imagem abaixo.
Baseado nessa ilustração, temos um ângulo de visão de 96 graus, e um raio de aproximadamente 14km (arredondando para cima). Com isso, temos que o arco do horizonte desse observador deve ser (também arredondando para cima) de 24 km, enquanto que a linha reta que une os vértices desse arco teria uma distância (arredondada para cima) de 21 km.
Digamos que a régua utilizada seja de 1 m, cubra inteiramente todo os 21 km de seu campo visual linear e o rapaz tenha um alinhamento da régua perfeitamente tangente com o horizonte na posição de 50 cm (condições bem favoráveis para o rapaz).
Para deixarmos mais claro o que faremos, imagine que a Terra seja uma daquelas bolas de plástico com 50 cm de raio, e coloquemos nossa régua tangente ao seu topo. Temos um desnível de uma ponta da régua até sua curvatura de 50 cm.
Desse modo, como estamos usando a escala do campo visual de 21 km, teríamos que a esfera acima teria raio de 10,5 km e desnível nas pontas da régua de 10,5 km. O que faremos agora é aumentar o tamanho de nossa bola até chegarmos no menor desnível perceptível pela pessoa que realiza esse experimento (digamos que 1 mm da régua, o que seria o equivalente à 21 m).
Representação da ideia do que faremos (mas ainda não se encontra na escala correta).
Redesenhando agora um triângulo retângulo com vértice no centro da bola, teríamos uma figura como mostrada abaixo, no qual a hipotenusa e o cateto tem uma diferença de 'a' unidades de medida, nesse caso, 1 mm ou 21 m se considerarmos a escala.
Temos que a hipotenusa desse triângulo h, será o raio da Terra, o cateto maior C, será o raio da Terra menos 21 metros e o cateto menor será 105000 metros.
Assim, cos(theta) = (h-21)/h, sen(theta) = 10500/h e tang(theta) = 10500/(h-21). Fazendo os arcos trigonométricos dessas três funções, e igualando-as (pois os ângulos theta e hipotenusa h são fixos), chegamos que h deve ser igual à 2.625.010,5 m. Ou seja, um planeta com raio máximo de 2.625,0105 km.
Chegamos assim, que sua área superficial desse planeta deveria ser de no máximo 86.590.840 km².
Comparativamente, a área do continente asiático é de 44.580.000 km² e a área do continente americano é de 42.550.000 km², ambos os continentes juntos ocupariam 87.130.000 km², ou seja, um pouco mais do que 100% da área de um planeta no qual o teste da régua funcionaria.
Com isso, concluímos que o teste da réguinha de fato conseguiria identificar a curvatura ao observar o horizonte, desde que nosso planeta fosse bem menor do que ele realmente é.
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2 thoughts on "Quando o teste da réguinha funcionaria?"
Bom dia, gostei da explicação, parabéns! Uma pergunta, quais são as medidas oficiais da terra? E a partir de que distância se detecta a curvatura? Há muitas teorias por aí, mas gostaria de uma informação séria e oficial. Grato.
Bom dia Magnus, é muito fácil fazer esse cálculo 🙂
Por exemplo, a wikipédia diz que a Terra tem raio de 6.371 km.
Agora se pegarmos aquela expressão que usamos para calcular o raio da Terra caso a réguinha detectasse a curvatura de 1mm, como tínhamos:
cos(theta) = (h-21)/h, sen(theta) = 10500/h e tang(theta) = 10500/(h-21), pois o campo visual do rapaz era de 21km e desconhecíamos o raio da Terra (h).
Então, faremos o contrário, fixaremos o raio da Terra e deixaremos como incógnita o campo visual do rapaz, chamado aqui de x:
cos(theta) = (6371000-(x/1000))/6371000, sen(theta) = (x/2)/6371000 e tang(theta) = (x/2)/(6371000-(x/1000)).
Com isso, chegamos que o campo visual do rapaz deveria ser de 50.967 metros.
Ou seja, daquela posição, ele precisaria enxergar um horizonte de quase 51km, e posicionar uma régua sobre esse horizonte para notar que há nos seus extremos um desnível de 1mm.