Lei de Gauss Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. - PDF Free Download
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Moisés Dias Palha
1 Lei de Gauss Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. A lei de Gauss é a lei que estabelece a relação entre o fluxo de campo elétrico que passa através de uma superfície fechada com a carga elétrica que existe dentro do volume limitado por esta superfície. A lei de Gauss é uma das quatro Equações de Maxwell, juntamente com a lei de Gauss do magnetismo, a lei da indução de Faraday e a lei de Ampère-Maxwell e foi elaborada por Carl Friedrich Gauss em 1835, porém só foi publicada após Gauss foi um importante matemático alemão que fez descobertas em teoria dos números, geometria e probabilidade, tendo também contribuições em astronomia e na medição do tamanho e formato da Terra. Fluxo do campo elétrico O fluxo de campo elétrico,, é uma grandeza escalar e pode ser considerado como uma medida do número de linhas de campo que atravessam a superfície.convenciona-se que se há mais linhas de campo saindo da superfície do que entrando, o fluxo do campo elétrico através da superfície é positivo e se há mais linhas de campo entrando na superfície do que saindo da mesma, o fluxo é negativo. Além disso, é importante observar o fato de que se o número de linhas de campo que entra na superfície é igual ao número de linhas de campo que sai da superfície, então o fluxo de campo elétrico através da superfície é nulo,como pode ser visto na figura 2. Figura 1: Linhas de campo elétrico "furando" uma superfície, mostrando que o existe fluxo de campo elétrico através da superfície. Como as linhas de campo estão saindo da superfície, o fluxo do campo elétrico é positivo. Figura 2: As linhas de campo elétrico entram e saem da superfície, portanto o fluxo de campo elétrico sobre a superfície é nulo Para obter o fluxo de E através de uma superfície fechada em que E é não-uniforme, é preciso dividi-la em elementos de área infinitesimal da, cujo módulo é da e o sentido de da é adotado como o sentido da normal ao elemento infinitesimal saindo da superfície, de modo que esses elementos infinitesimais sejam tão pequenos que E possa ser considerado constante para todos os pontos dentro de um mesmo elemento de área.portanto, podemos definir o fluxo de E através de uma superfície S da seguinte forma: ou, no caso de uma superfície fechada: Da definição de produto escalar, tem-se que: E. da = E da cos = E cos da. Como é o ângulo entre os vetores E e da, E cos é a projeção do vetor E sobre o vetor da, logo a função 1-6
2 desse produto escalar dentro da integral é selecionar algo proporcional à componente do campo elétrico que está "furando" à superfície infinitesimal da, o que é coerente com a definição de fluxo dada anteriormente. Por fim, se uma carga pontual estiver fora da superfície, as linhas de campo que partem da carga pontual irão entrar e sair da superfície, visto que as linhas de campo de uma carga pontual são radiais. Por isso, pode-se concluir que se uma carga está fora de uma superfície, então o fluxo do campo elétrico dessa carga através da superfície é nulo, ou seja: Lei de Gauss A lei de Gauss estabelece uma relação entre o fluxo de campo elétrico através de uma superfície fechada e as cargas que estão no interior dessa superfície. Algumas considerações importantes sobre a de lei de Gauss são: A lei de Gauss não contém nenhuma informação que não esteja contida na lei de Coulomb e no princípio da superposição. Inclusive, é possível obter a lei de Coulomb a partir da lei de Gauss e vive-versa. É fundamental para a lei de Gauss, o fato de que a força elétrica é proporcional ao inverso do quadrado da distância. É esse fato que faz com que o fluxo de E não dependa da "superfície gaussiana" escolhida e dependa apenas das cargas que estão localizadas no interior da superfície. Dessa forma, é possível pensar numa lei de Gauss que estabeleça uma relação de fluxo para qualquer campo cuja lei de força associada a esse campo seja proporcional ao inverso do quadrado da distância, como a força gravitacional, por exemplo, logo existe uma lei de Gauss da gravitação. Apesar da lei de Coulomb nos fornecer o necessário para calcular o campo elétrico de uma distribuição de cargas, muitas vezes, as integrais que envolvem o cálculo do campo elétrico podem ser complicadas de serem resolvidas, mesmo para casos razoavelmente simples. É nesse ponto que reside um dos aspectos de maior eficiência da lei de Gauss: o cálculo do campo elétrico em distribuições de carga que possuam determinados tipos de simetria torna-se extremamente simples. A lei de Gauss se refere sempre ao fluxo no interior de uma superfície gaussiana escolhida. Portanto, para utilizar a lei de Gauss, é necessário definir o que é uma "superfície gaussiana". Esta é, por sua vez, uma superfície arbitrariamente escolhida. Normalmente, essa superfície é escolhida de modo que a simetria da distribuição de carga permita, ao menos em parte da superfície, um campo elétrico de intensidade constante. Forma integral da lei de Gauss Figura 3: Superfície gaussiana esférica centrada em q. 2-6
3 Para entender como a lei de Gauss relaciona o fluxo do campo elétrico no interior de uma superfície gaussiana com a carga no interior dessa mesma superfície, escolhe-se uma superfície qualquer com uma carga q em seu interior, como por exemplo a superfície da figura 1. Então, escolhe-se outra superfície gaussiana S' que está envolvendo q no interior de S. A forma dessa superfície S' pode ser qualquer, contudo, a fim de facilitar os cálculos e a visualização, vamos fazer dessa superfície S', uma esfera de raio r centrada na carga q, como por exemplo a superfície gaussiana representada na figura 3. O raio r é tal que S' esteja inteiramente dentro de S. O fluxo do campo elétrico através dessa esfera é dado por: Como tanto E quanto da são radiais, o produto escalar torna-se o produto dos módulos, então: Como E é constante na superfície da esfera, podemos tirá-lo da integral e temos: Portanto, é possível observar que o fluxo através da superfície S' é um número que independe do raio da esfera. Dessa forma, o fluxo que sai da superfície S também será. Esse é um valor independente da forma da superfície S, desde que esta tenha uma carga q em seu interior. Se uma carga q está no exterior da superfície S, as suas linhas de campo entram e saem da superfície S, por isso, o fluxo de campo elétrico dessa carga sobre a superfície é nulo. Logo: Por fim, se tivermos mais de uma carga no interior da superfície gaussiana, vale o princípio da superposição de modo que: Portanto, a Lei de Gauss na forma integral pode ser enunciada da seguinte forma: Aplicações É importante ressaltar que a lei de Gauss se torna eficiente apenas em casos em que há simetria. Mais precisamente, nos casos nos quais existe simetria esférica, cilíndrica ou plana. [3] Dessa forma, contruir superfícies gaussianas que aproveitem a simetria é de vital importância para a aplicação da lei de Gauss, [2] visto que a eficiência da lei de Gauss consiste em utilizar a simetria das distribuições de carga para calcular campo elétrico dessas com mais facilidade. 3-6
4 Campo elétrico no interior e no exterior de uma esfera Figura 4: Duas superfícies gaussianas esféricas em torno de uma esfera uniformemente carregada de raio R. A superfície gaussiana externa à esfera de raio R possui raio r' e a superfície gaussiana interna à esfera possui raio r. Para uma esfera de raio R, como mostrada na figura 4, com carga Q uniformemente distribuída pela esfera, tem-se: No exterior da esfera Para se obter o campo no interior da esfera, escolhe-se, como superfície gaussiana, a superfície esférica de raio r', situada no exterior da esfera de raio R, como mostra a figura 4. Pode-se imaginar que, muito longe da esfera, o campo elétrico que se sente é como o campo de uma carga puntiforme. Além disso, devido à simetria esférica, o campo elétrico deve apontar na direção radial. Dessa forma, aplicando a lei de Gauss: O campo deve apontar na direção radial e, portanto, E e da possuem a mesma direção e sentido e, por isso, segue que: E. da = E da. Logo: O módulo do campo elétrico na superfície gaussiana é constante, visto que, nesse caso, o campo deve depender da distância em relação à esfera e, portanto, E pode sair da Integral. Logo: No interior da esfera Para como o campo elétrico varia no interior da esfera, deve-se tomar como superfície Gaussiana a superfície esférica de raio r no interior da esfera de raio R, como mostra a figura 4. Nesse caso, 4-6
5 como a carga está uniformemente distribuída pela esfera, a densidade volumétrica de carga,, é a mesma em todos os pontos da esfera,então pode-se observar que: onde V g é o volume da superfície gaussiana escolhida. Dessa forma: Os mesmos argumentos dados anteriormente para que o produto escalar E. da seja E da e para que E saia da integral continuam sendo válidos, logo: Logo: Portanto, no caso de uma esfera uniformemente carregada: Campo elétrico no interior e no exterior de uma casca esférica Para se resolver esse problema, utiliza-se a figura 4 novamente, porém com uma ligeira diferença: o interior da esfera de raio R é "oco", isto é, tem-se apenas uma casca esférica com carga Q uniformemente distribuída sobre sua superfície. No exterior da esfera Escolhendo a superfície de raio r' como mostrada na figura 4, tem-se, pela lei de Gauss, o mesmo resultado que foi obtido para o campo no exterior de uma esfera. A carga interna à superfície gaussiana, q int, é Q nesse caso, como no caso anterior da esfera uniformemente carregada, de forma que o cálculo para o campo elétrico exterior à da casca esférica se desenvolve da mesma forma que o cálculo para o campo no exterior à esfera uniformemente carregada, então: No interior da casca esférica Escolhendo a superfície gaussiana de raio r, no interior da casca esférica, tem-se: 5-6
6 Portanto: Logo: Portanto, no caso de uma casca esférica uniformemente carregada: Campo elétrico de um plano infinito Figura 5: Um exemplo de superfície gaussiana que se deve utilizar para obter o campo de um plano infinito é como a que está mostrada sobre a placa de baixo do capacitor. Supõe-se um plano infinito com densidade de carga e se deseja calcular o campo elétrico produzido por esse plano. Apesar de o problema ser bem diferente do apresentado na figura 5, visto que, no problema em questão, está-se estudando um plano infinito e não o campo no interior de um capacitor, é interessante utilizar uma superfície gaussiana de mesma forma que a superfície retratada na placa de baixo do capacitor da figura 5. Utilizando, portanto, a superfície de um paralelepípedo cortando o plano infinito como superfície S, tem-se: Por simetria, o campo elétrico deve apontar para "fora" do plano, isto é, ele aponta na direção para pontos acima do plano e na direção para pontos abaixo do plano. Dessa forma, as únicas superfícies superior e inferior da superfície do paralelepípedo é que serão "furadas" pelo campo elétrico, por isso: onde A é a área da superfície superior e inferior da superfície do paralelepípedo. Sabe-se, também, que : = qint/a, logo : qint = A, portanto: ou onde é um vetor unitário que aponta para fora da superfície do plano. 6-6