Trabalhando com Pequenas Amostras: Distribuição t de Student - PDF
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Andreia Natal Castelhano
1 Probabilidade e Estatística Trabalhando com Pequenas Amostras: Distribuição t de Student
2 Pequenas amostras x Grandes amostras Nos exemplos tratados até agora: amostras grandes (n>30) qualquer tipo de distribuição original da variável aleatória possui distribuição das médias adequadamente aproximadas a uma distribuição normal. Teorema Central do Limite Tempo e custo impõem limites ao tamanho da amostra Utilização da distribuição normal inadequada para amostras pequenas
3 Estimativa da média para pequenas amostras Para casos onde n 30 e: População original tem distribuição normal; e O valor de σ é conhecido, podemos calcular E com: Nos casos onde n 30 e: População original tem distribuição normal; e O valor de σ é desconhecido, devemos calcular E com a Distribuição t de Student. E t z α / 2. x s σ μ n n
4 Distribuição t de Student Criada por William Gosset ( ) Análises com pequenas amostras Empregado da Cervejaria Guinness Cervejaria não permitia publicação de pesquisas Pseudônimo de Student
5 Distribuição t de Student A Distribuição t de Student é essencialmente uma distribuição normal (com forma aproximada de um sino) para todas as amostras de tamanho n. Através dela, determinamos os valores críticos t α/2 do intervalo de confiança onde t x μ s n
6 Utilização da Tabela Obtemos o valor de t α/2 na Tabela A3 localizando o número de graus de liberdade na coluna à esquerda e percorrendo a linha correspondente até atingir o número diretamente abaixo do valor aplicável (bilateral) de α. Grau de liberdade: para um conjunto de dados correspondente ao número de valores que podem variar após terem sido impostas certas restrições a todos os valores. Ex: 10 estudantes obtêm em um teste média 8,0 A soma das 10 notas deve ser 80. Portanto, se temos um grau de liberdade de 10-19, as nove primeiras notas podem ser escolhidas aleatoriamente, contudo a 10 a deve ser igual a [80-(soma das 9 primeiras)]. Aplicaremos, em nosso curso, (n-1) graus de liberdade
7 Propriedades da Distribuição t de Student É diferente conforme o tamanho da amostra (n) Tem forma geral simétrica, mas reflete a maior variabilidade esperada em pequenas amostras Tem média t0 O desvio padrão varia com o tamanho da amostra, mas é superior a 1 Quanto maior n, maior a aproximação em relação à distribuição normal. Para n>30 podemos utilizar distribuição normal com valores críticos z. Condições de utilização Tamanho da amostra pequeno (n 30) σ desconhecido População original tem distribuição essencialmente normal
8 Assim, para... Amostras com as condições anteriores: E t. α / 2 s n Onde t α/2 tem n-1 graus de liberdade Intervalo de confiança x E < μ < x + E ou μ x ± E ( x E; x + E)
9 Observações finais Para aplicarmos t de Student, a distribuição da população original deve ser essencialmente normal. Contudo, pode-se obter bons resultados se: For basicamente simétrica; Possuir uma única moda. Aplicamos t de Student no lugar da distribuição normal, pois quando não se conhece σ, a utilização de s de uma pequena amostra incorpora outra fonte de erro. Para mantermos o grau de confiança desejado, compensamos a variabilidade adicional ampliando o intervalo de confiança por um processo que substitui o valor crítico z α/2 por outro t α/2 obtido na tabela da Distribuição t de Student.
10 Exemplo Considere um teste de colisão de carros. A análise de 12 carros danificados resulta num custo de conserto que parece ter distribuição em forma de sino, com média e desvio-padrão a seguir (R$). x s Determine: a melhor estimativa pontual de μ (custo do conserto) O intervalo de confiança para NC95%
11 Exemplo x a) x b) Amostra pequena (n 30); desvio padrão desconhecido; distribuição é similar à distribuição normal Na tabela: para a coluna 0,05 bilateral e grau de liberdade n-111 t α/2 2,201 E < μ < , ,71 < μ < E ,29 μ ± ,29 x E t s n , α / 2 < μ < ,29 Obs.: valores em R$ ,29 Existe uma probabilidade de 95% do intervalo de confiança conter efetivamente a média da população: custos de reparo