Temos então que a {\displaystyle a} é um número par e, portanto, é o dobro de algum número inteiro, digamos c {\displaystyle c} :
Concluímos, finalmente, que se a raiz quadrada de 2 fosse um número racional, então este número seria uma fração que não tem forma irredutível, já que tanto o numerador quanto o denominador da fração são pares. Isto é um absurdo e, portanto, não existe um racional cujo quadrado seja igual a 2, como queríamos demonstrar.