ferramenta computacional para resolução de sistemas lineares: redução de matrizes por linhas (métodos de eliminação de Gauss e de Gauss-Jordan). Quase todos os métodos computacionais subsequentes neste livro dependem desse conhecimento. O Teorema do Posto aparece aqui pela primeira vez; ele aparece novamente, com mais generalidade, nos capítulos 3, 5 e 6. A seção 2.3 é muito importante: introduz as noções fundamentais de conjuntos geradores e independência linear de vetores. Não se apresse ao passar por esse tópico. A seção 2.4 contém seis aplicações, das quais os professores podem escolher algumas, de acordo com o tempo disponível e o interesse da classe. Os métodos iterativos na seção 2.5 serão opcionais para muitos cursos, mas essenciais para um curso com um foco aplicado ou numérico. O que as três investigações deste capítulo têm em comum é que todas elas lidam com aspectos sobre o uso de computadores para a resolução de sistemas lineares. Todos os estudantes devem pelo menos ser conscientizados quanto a essas questões.
Este capítulo contém algumas das ideias mais importantes do livro. É um capítulo longo, mas o material inicial pode ser coberto de modo razoavelmente rápido, permitindo um tempo extra para o material crucial da seção 3.5. A seção 3.0 é uma investigação que introduz a noção de transformação linear: a ideia de que matrizes não são apenas objetos estáticos, mas sim um tipo de função, transformando vetores em outros vetores. Todos os fatos básicos sobre matrizes, operações com matrizes e suas propriedades são encontrados nas duas primeiras seções. Vale a pena dar ênfase ao material sobre o particionamento de matrizes e as múltiplas representações do produto de matrizes, pois ele será usado repetidamente em seções subsequentes. O Teorema Fundamental das Matrizes Invertíveis, na seção 3.3, é muito importante e irá aparecer outras vezes, quando novas caracterizações de inversibilidade forem apresentadas. A seção 3.4 discute a importante fatoração LU de uma matriz. Se esse tópico não for dado em sala, vale a pena propô-lo como um projeto ou discuti-lo em uma oficina. O objetivo da seção 3.5 é apresentar vários conceitos-chave da álgebra linear (subespaço, base, dimensão e posto) no contexto concreto de matrizes antes que os alunos os vejam em toda a generalidade. Embora os exemplos nessa seção sejam todos familiares, é importante que os alunos se acostumem com a nova terminologia e, em particular, compreendam o significado de base. O tratamento geométrico das transformações lineares na seção 3.6 tem a finalidade de suavizar a transição para as transformações lineares gerais no capítulo 6. O exemplo de projeção é particularmente importante, porque irá reaparecer no capítulo 5. A vinheta sobre braços robóticos é uma demonstração concreta de composição de transformações lineares (e afins). Há quatro aplicações na seção 3.7, de onde se pode escolher alguma. Pelo menos as cadeias de Markov ou o modelo de crescimento populacional de Leslie devem ser cobertos para que possam ser usados novamente no capítulo 4, onde seus comportamentos serão explicados.
A introdução da seção 4.0 apresenta um sistema dinâmico interessante envolvendo grafos. Essa investigação introduz a noção de autovalor e de autovetor e prepara para o método da potência apresentado na seção 4.5. Para manter a ênfase geométrica do livro, a seção 4.1 usa a inovadora apresentação de “autofiguras” como uma forma de visualizar os autovetores de matrizes 2 × 2. Os determinantes aparecem na seção 4.2, onde são usados para encontrar os polinômios característicos de matrizes pequenas. Esse “curso intensivo” sobre determinantes contém todo o material essencial de que os estudantes necessitam, incluindo uma demonstração opcional, porém elementar, do Teorema de Expansão de Laplace. A vinheta “Métodos de condensação de Lewis
Carroll” apresenta um método historicamente interessante, alternativo, de cálculo de determinantes, que os estudantes podem achar atraente. A investigação “Aplicações Geométricas de Determinantes” constitui um bom projeto que contém vários resultados interessantes e úteis. (Professores que queiram dar uma cobertura mais detalhada aos determinantes podem optar por mostrar parte dessa investigação em sala de aula.) A teoria básica de autovalores e autovetores é encontrada na seção 4.3, e a seção 4.4 trata do importante tópico sobre diagonalização. Vale a pena cobrir em sala de aula o exemplo 4.29, sobre potências de matrizes. O método de potências e suas variações, discutidos na seção 4.5, são opcionais, mas todos os alunos devem ser conscientizados sobre tal método e um curso aplicado deve cobri-lo em detalhes. O Teorema dos discos de Gerschgorin pode ser abrangido independentemente do restante da seção 4.5. As cadeias de Markov e o modelo de crescimento populacional de Leslie reaparecem na seção 4.6. Embora a demonstração do Teorema de Perron seja opcional, o teorema em si (assim como o mais forte Teorema de Perron-Frobenius) deve ser pelo menos mencionado, pois explica por que devemos esperar um único autovalor positivo com um autovetor correspondente positivo nessas aplicações. As aplicações sobre relações de recorrência e equações diferenciais conectam a álgebra linear à matemática discreta e ao Cálculo diferencial e integral, respectivamente. A matriz exponencial pode ser abordada em uma turma com uma boa base de Cálculo. O tópico final de sistemas dinâmicos lineares discretos revisita e resume muitas das ideias no capítulo 4, e as observa sob uma nova e geométrica luz. Os estudantes irão apreciar a leitura sobre como autovetores podem ser usados para ajudar a classificar times esportivos e websites. Essa vinheta pode ser facilmente estendida para um projeto ou atividade complementar.