Teorema da hierarquia para razões de aproximação?
Como é sabido, os problemas de otimização de NP-hard podem ter muitas proporções de aproximação diferentes, variando de ter um PTAS a não ser aproximado em nenhum fator. No meio, que tem várias constantes, , p ó l y ( n ) , etc.O ( logn )O(log⁡n)p o l y( N )poly(n)
O que se sabe sobre o conjunto de relações possíveis? Podemos provar qualquer tipo de "hierarquia de aproximação"? Formalmente, para que funções e g ( n ) , podemos provar que existe um problema com relação aproximação f ( n ) ≤ alfa < g ( n ) ?f( N )f(n)g( N )g(n)f( n ) ≤ α < g( N )f(n)≤α<g(n)
No caso em que , existe um problema com a razão de aproximação exatamente α ?α = O ( 1 )α=O(1)αα
— Jeremy Hurwitz
Uma prova desse teorema provavelmente se assemelharia a sabedoria.weizmann.ac.il/~oded/p_testHT.html . Dado um problema com o limite de aproximação conhecido , tornamos o problema "mais fácil" de alguma forma, presumivelmente usando alguma forma de preenchimento, para obter um problema com o limite de aproximação f ( α ) . ααf( α )f(α)
— 22411 Jeremy Hurwitz
e p o l y ( n ) não são constantes. O ( logn )O(log⁡n)p o l y( N )poly(n)
@TysonWilliams: Eu acho que ele quis dizer que entre PTAS e nenhuma aproximação existem constantes, log e poli (n) etc
Você não precisaria descartar transformações triviais em que uma aproximação para minimizar f imediatamente é √ααaproximação α para minimizar √α--√α ? f−−√f
Quanto à sua última pergunta sobre α = O (1), o limite apertado foi mostrado para muitos problemas, como empacotamento de lixeiras, programação de máquinas (iris.gmu.edu/~khoffman/papers/set_covering.html)
Há uma hierarquia de aproximação, as principais exemplos conhecidos: FPTAS EPTAS ⊆ PTAS ⊆ APX . Mas por falta de aproximação, também existe o NPO-PB .⊆⊆ ⊆⊆ ⊆⊆
Existem muitos resultados sobre o conjunto de proporções possíveis, provenientes de resultados como este:
EPTAS ∖ FPTAS, a menos que P = N P ,P||Cmax∈P||Cmax∈∖∖P=NPP=NP
para definir problemas difíceis de APX / NPO-PB.
SOBRE PTAS: M. Cesati e L. Trevisan. Sobre a eficiência de esquemas de aproximação de tempo polinomial, 1997.
Em NPOPB: V. Kann. Limites inferiores fortes na proximidade de alguns problemas de maximização de NPO PB-complete
Mas sugiro que o melhor seja verificar o Zoológico da Complexidade, pois ele tem muito mais informações e referências sobre esses exemplos, até a Wikipedia
α=O(1)α=O(1)
Ainda acho que o comentário de Suresh abaixo da pergunta é suficiente para mostrar que qualquer proporção é possível. Se você não está convencido disso, pode olhar para os Problemas de satisfação com restrições booleanas (CSPs), por exemplo.
P:{0,1}k→{0,1}P:{0,1}k→{0,1}kkn≫kn≫kx1,…,xnx1,…,xnmmP(λ1,…,λk)P(λ1,…,λk)λiλi3SAT3SATP(x1,x2,x3)=x1∨x2∨x3P(x1,x2,x3)=x1∨x2∨x3ρ(P)ρ(P)2k2kPP3SAT3SAT7/87/8ρ(P)ρ(P)PPρ(P)ρ(P)ρ(P)+ϵρ(P)+ϵϵ>0ϵ>0
ρ(P)ρ(P)PPρ(P)ρ(P)PP
Por Austrin e Johan Håstad, Independência e Resistência Aleatoriamente Suportadas, SIAM Journal on Computing, vol. 40, n. 1, pp. 1-27, 2011.