É até possível estender seu visto de turista por tempo de igual período (ou seja, mais 3 meses) em alguns países. No entanto, é preciso apresentar um motivo válido (tratamento de alguma doença ou emergência familiar, por exemplo) no consulado brasileiro daquele país para pedir a extensão do visto.
E a extensão do visto de turista em um país não significa que você possa circular livremente por todos os países do Espaço Schengen, já que as regras de extensão de visto não se aplicam a todos os países do acordo.
Na página do Itamaraty, você pode ver o tempo de permanência como turista em todos os países do mundo e descobrir se há necessidade ou não de visto prévio.
Um brasileiro pode viajar pelo Espaço Schengen por até 6 meses, mas é preciso intercalar a viagem em países dentro do acordo e países fora do acordo:
Dessa forma, se você quiser, você pode viajar legalmente por 1 ano como turista pela Europa sem nunca precisar tirar um visto especial de longa permanência.
Por exemplo: Você desembarca em Portugal dia 1 de janeiro e fica 3 meses viajando entre Portugal, Espanha, França e Itália.
No início de abril, você vai para um país de fora do Espaço Schengen (como a Inglaterra, por exemplo, que te dá direito a 6 meses como turista) e passa 3 meses.
IMPORTANTE: Você pode circular pela Europa como quiser dentro desse prazo de 90 dias num período de 6 meses. Isso significa que você não precisa necessariamente passar os 90 dias viajando só pelo Espaço Schengen pra depois visitar países fora do acordo.
No entanto, tenha em mente que seus números de dias dentro do tratado estão sempre sendo contados, independente de quantas vezes você entra e sai do Espaço Schengen.
Tem um site que eu gosto muito que é o Projeto Vira Volta e nele eles falam sobre a questão das múltiplas entradas: “Nas regras do acordo está claro que o visto padrão concedido na imigração ao chegar a qualquer um dos países do acordo é de apenas uma entrada. Se você gostaria de fazer múltiplas entradas nesse período de 6 meses para usar seus 90 dias você deveria aplicar para um visto de múltiplas entradas”.
No entanto, na prática isso não acontece de fato. Diversos viajantes entram e saem várias vezes do Espaço Schengen dentro do período de 90 dias. O importante é sempre conferir se você recebeu o carimbo na entrada e saída do Espaço Schengen.
Por exemplo: Você viajou por 30 dias por Portugal e Espanha e depois decidiu passar 30 dias na Inglaterra. Nesse momento, você já usou 30 dias do seu saldo total de 90 dias dentro do Espaço Schengen.
Ao sair da Inglaterra você decidiu ficar 30 dias viajando pela França e Itália. Então, quando você chegar na França, o tempo de permanência dentro do acordo de Schengen vai começar a ser contado a partir dos 30 dias que você já tinha usado antes, ou seja, você só tem mais 60 dias pra viajar pelos países dentro do tratado de Schengen.
No entanto, a cada 6 meses (180 dias) seu tempo de permanência no Espaço Schengen é renovado e começa a contar do zero mais 90 dias.
Nesse post da Worldpackers você tem bastante informações sobre como viajar pelo Espaço Schengen por tempo limitado.
Aqui está a lista de alguns países fora do Espaço Schengen que você pode visitar no seu intervalo de 90 dias:
Visto de turista com duração de 90 dias (3 meses): Albânia, Andorra, Bósnia, Bulgária, Chipre, Croácia, Irlanda, Romênia, Rússia, Sérvia, Turquia e Ucrânia.