Números Naturais: Primeira parte – Matematicando.net.br
Ensino Fundamental: Números Naturais: Primeira parte
Introdução aos Nos. Naturais
A construção dos Nos. Naturais
Operações com Nos. Naturais
Curiosidade: Tabela de adição
Multiplicação de Nos. Naturais
Potenciação de Nos. Naturais
O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos. No século VII, os árabes invadiram a Índia, difundindo o seu sistema numérico.
Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numeração para suprir a deficiência de algo nulo. Para saber mais, clique nos links: Notas históricas sobre o zero ou Notação Posicional. Caso queira se aprofundar no assunto, veja o belíssimo livro: "História Universal dos Algarismos, Tomos I e II, Editora Nova Fronteira, 1998 e 1999", de Georges Ifrah.
Na sequência consideraremos que os naturais têm início com o número zero e escreveremos este conjunto como:
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}
Representaremos o conjunto dos números naturais com a letra N. As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos números.
Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por:
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …}
A construção dos Números Naturais
Exemplos: Seja m um número natural.
(a) O sucessor de m é m+1.
(b) O sucessor de 0 é 1.
(c) O sucessor de 1 é 2.
(d) O sucessor de 19 é 20.
Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos.Exemplos:
Todo número natural dado n, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado).Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero.
(a) O antecessor do número m é m-1.
(b) O antecessor de 2 é 1.
(c) O antecessor de 56 é 55.
(d) O antecessor de 10 é 9.
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma seqüência real seja um outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação sequência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares:
P = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, …}
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também chamado, a sequência dos números ímpares.
I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …}
Diremos que um conjunto A é igual a um conjunto B se, e somente se, o conjunto A está contido no conjunto B e o conjunto B está contido no conjunto A. Quando a condição acima for satisfeita, escreveremos A=B (lê-se: A é igual a B) e quando não for satisfeita denotaremos tal fato por:
(lê-se: A é diferente de B). Na definição de igualdade de conjuntos, vemos que não é importante a ordem dos elementos no conjunto.
Exemplo com igualdade: No desenho, em anexo, observamos que os elementos do conjunto A são os mesmos elementos do conjunto B. Neste caso, A=B.
Consideraremos agora uma situação em que os elementos dos conjuntos A e B serão distintos.
Sejam A={a,b,c,d} e B={1,2,3,d}. Nem todos os elementos do conjunto A estão no conjunto B e nem todos os elementos do conjunto B estão no conjunto A. Também não podemos afirmar que um conjunto é maior do que o outro conjunto. Neste caso, afirmamos que o conjunto A é diferente do conjunto B.
Exercício: Há um espaço em branco entre dois números em cada linha. Qual é o sinal apropriado que deve ser posto neste espaço: <, > ou =?
Exercício: Representar analiticamente cada conjunto, isto é, através de alguma propriedade e depois por extensão, apresentando os elementos:
Conjunto N dos números Naturais
Conjunto P dos números Naturais Pares
Conjunto I dos números Naturais Ímpares
Conjunto E dos números Naturais menores que 16
Conjunto L dos números Naturais maiores que 11
Conjunto R dos números Naturais maiores ou iguais a 28
Conjunto C dos números Naturais que estão entre 6 e 10
Na sequência, estudaremos as duas principais operações possíveis no conjunto dos números naturais. Praticamente, toda a Matemática é construída a partir dessas duas operações: adição e multiplicação.
A adição de números naturais
A primeira operação fundamental da Aritmética, tem por finalidade reunir em um só número, todas as unidades de dois ou mais números. Antes de surgir os algarismos indo-arábicos, as adições podiam ser realizadas por meio de tábuas de calcular, com o auxílio de pedras ou por meio de ábacos.
Para somar dois números, com a tabela, um em uma linha e outro em uma coluna, basta fixar um número na 1a. coluna e um segundo número na 1a. linha. Na interseção da linha e coluna fixadas, obtemos a soma dos números.
Por exemplo, se tomarmos o número 7 na linha horizontal e o número 6 na linha vertical, obteremos a soma 13 que está no cruzamento da linha do 7 com a coluna do 6.
É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominado multiplicador.
O resultado da multiplicação é denominado produto e os números dados que geraram o produto, são chamados fatores. Usamos o sinal × ou · ou x, para representar a multiplicação.
Fechamento: A multiplicação é fechada no conjunto N dos números naturais, pois realizando o produto de dois ou mais númros naturais, o resultado estará em N. O fato que a operação de multiplicação é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A multiplicação é uma lei de composição interna no conjunto N.
Associativa: Na multiplicação, podemos associar 3 ou mais fatores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro fator com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro número natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo.
(3.4).5 = 3.(4.5) = 60
Elemento Neutro: No conjunto dos números naturais existe um elemento neutro para a multiplicação que é o 1. Qualquer que seja o número natural n, tem-se que:
1.n = n.1 = n
1.7 = 7.1 = 7
Comutativa: Quando multiplicamos dois números naturais quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos o mesmo resultado que multiplicando o segundo elemento pelo primeiro elemento.
3.4 = 4.3 = 12
Multiplicando um número natural pela soma de dois números naturais, é o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos.
m.(p+q) = m.p + m.q
6x(5+3) = 6×5 + 6×3 = 30 + 18 = 48
No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um número natural por outro número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata.
Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo.
Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente.
A divisão de um número natural n por zero não é possível pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, então poderiamos escrever:
n ÷ 0 = q
n = 0 x q = 0
o que não é correto! Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível.
Exercício: Substituindo X por 6 e Y por 9, qual é o valor da soma do dobro de X pelo triplo de Y.
Para dois números naturais m e n, a expressão mn é um produto de n fatores iguais ao número m, ou seja:
mn = m . m . m … m . m
m aparece n vezes
O número que se repete como fator é denominado base que neste caso é m. O número de vezes que a base se repete é denominado expoente que neste caso é n. O resultado é donominado potência.
Esta operação não passa de uma multiplicação com fatores iguais, como por exemplo:
Uma potência cuja base é igual a 1 e o expoente natural é n, denotada por 1n, será sempre igual a 1.Exemplos:
1n = 1×1×…×1 (n vezes) = 1
13 = 1×1×1 = 1
17 = 1×1×1×1×1×1×1 = 1
Se n é um número natural não nulo, então temos que no=1. Por exemplo:
(a) nº = 1
(b) 5º = 1
(c) 49º = 1
A potência zero elevado a zero, denotada por 0o, é carente de sentido no contexto do Ensino Fundamental. O visitante que necessitar aprofundamento neste assunto, deve visitar nosso link Zero elevado a zero?
Qualquer que seja a potência em que a base é o número natural n e o expoente é igual a 1, denotada por n1, é igual ao próprio n. Por exemplo:
(a) n¹ = n
(b) 5¹ = 5
(c) 64¹ = 64
Toda potência 10n é o número formado pelo algarismo 1 seguido de n zeros.Exemplos:
10o = 1
Para obter uma potência Mn com o Browser Netscape, como por exemplo 125, digite (ou copie com Control+C) a linha de comando:
No livro "Matemática e Imaginação", o matemático americano Edward Kasner apresentou um número denominado googol que pode ser representado por 1 seguido de 100 zeros.
Ele pensou que este era um número superior a qualquer coisa que passasse pela mente humana sendo maior do que qualquer coisa que pode ser posta na forma de palavras. Um googol é um pouco maior do que o número total de partículas elementares conhecidas no universo, algo da ordem de 1080. Se o espaço com estas partículas fosse comprimido de uma forma sólida com neutrons, este ficaria com algo em torno de 10128 partículas.
Outro matemático criou então o googolplex e o definiu como 10 elevado ao googol.
Na figura abaixo, insira os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 nos círculos, de tal modo que a soma de cada lado seja sempre igual a 10.
Um gavião viu um grupo de pombos, chegou perto deles e disse:
Olá minhas 100 pombinhas.
Não somos 100 não meu caro gavião,
seremos 100, nós, mais dois tantos de nós
e mais você meu caro gavião.
Quantos pombos há neste grupo?
Três homens querem atravessar um rio. O barco que eles possuem suporta no máximo 150 kg. Um deles pesa 50 kg, o segundo pesa 75 kg e o terceiro pesa 120 kg. Qual será o processo para eles atravessarem o rio sem afundar?
Forme um quadrado mágico com os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 tal que, a soma dos números de qualquer linha, qualquer coluna ou qualquer diagonal deverá ser sempre igual a 15.
Clique para acessar o slidex.tips_o-uso-do-jogo-como-recurso-didatico-para-o-ensino-da-matematica.pdf O uso do jogo como recurso didático para o ensino da matemática-Ilvanete dos Santos de Souza- Universidade do Estado da Bahia-UNEB /Campus IX