Medidas de Dispersão. Prof.: Joni Fusinato - PDF
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Lorenzo Neves Teixeira
1 Medidas de Dispersão Prof.: Joni Fusinato 1
2 Dispersão Estatística As medidas de posição (média, mediana, moda) descrevem características dos valores numéricos de um conjunto de observações, o da tendência central. Nenhuma delas informa sobre o grau de variação ou dispersão dos valores observados em relação a média. Em um grupo de dados os valores numéricos não são necessariamente semelhantes e apresentam desvios em relação a tendência central, usualmente, a média aritmética. As medidas de dispersão quantificam a variação dos dados em relação a média e qual o seu grau de representatividade
3 Exemplo: Considere duas linha de produção de uma peça. O comprimento da peça é de 75 cm e ambas as linhas estão produzindo peças com medidas próximas desse valor. As peças produzidas por ambas as linhas estão adequadas? Está evidente que as peças produzidas pela 1ª linha de produção são melhores que a 2ª linha. A dispersão das medidas em torno da média é menor e estão mais concentrados em torno da média 3
5 Amplitude (R - range) Diferença entre o maior e o menor valor do conjunto de dados. Ignora como os dados estão distribuídos. Amplitude = X máximo X mínimo Exemplo: Consideremos o conjunto de dados ordenado: 60, 65, 67, 68, 69 70, 72, 77 Como o valor máximo do conjunto é 77 e o valor mínimo é 60, temos que a amplitude é: R = = 17 5
6 Desvio médio simples Mede o afastamento dos dados em relação à média. Representa a média das distâncias entre cada elemento da amostra e seu valor médio. Calculo o desvio médio (Dm): 21.23
7 Exemplo: Foram feitas várias medições da temperatura (em o C) em Joinville durante dois dias. Veja os resultados: 1 o dia: 7, 8, 9, 9, 10 e 11. Média: 9º C 2 o dia: 6, 7, 8, 10, 11 e 12. Média: 9º C Em qual desses dias a temperatura foi mais estável? A média não responde essa questão, pois nos dois dias a temperatura média foi a mesma. Para obter esse conhecimento precisamos de outras medidas que permitam descrever o comportamento dos dados em torno da média.
8 Considerando as temperaturas em Joinville construímos a tabela: 1 o dia X 9 2 o dia Y 9 T (x i ) xi X xi = = = = = = 2 2 X T (y i ) = 6 yi Y yi Y = = = = = = 3 3 =
9 Cálculo dos desvios médios para as temperaturas de cada dia: 1 o dia: 2 o dia: Conclui-se que houve maior dispersão da temperatura no 2 o dia (2 o C); logo a temperatura permaneceu mais estável no 1 o dia.
10 Variância (Var, σ 2, s 2 ) Apresenta a variação dos dados em torno da média aritmética. É obtida pelo cálculo dos desvios ao quadrado das variáveis em relação à média aritmética da série. A finalidade de se elevar ao quadrado é para evitar o sinal negativo que alguns desvios possuem. Conforme a origem dos dados usados temos fórmulas distintas para cálculo da variância: variância da população ou variância da amostra.
11 Variância (Var, σ 2, s 2 ) Variância da População: utilizamos esse conceito quando for possível observar todos os dados que compõem o universo que desejamos analisar. Variância da Amostra: aplica-se a uma série que se trata de uma amostra de um conjunto muito maior. Portanto a variância da amostra refere-se a parcela de dados retirados de um grande universo da qual desejamos obter informações e/ou conhecimento.
12 Variância (Var, σ 2, s 2 ) Média aritmética dos quadrados dos desvios. Populacional Amostral
13 Variância (Var, σ 2, s 2 ) Vantagens Maior sensibilidade ao grau de desvio na distribuição. Importante na inferência estatística. Trabalha com valores absolutos. Desvantagens: Uso restrito na estatística descritiva pois não é expressa nas mesmas unidades dos dados originais. Apresenta unidade de medida igual ao quadrado da unidade de medida dos dados originais.
14 Desvio padrão (dp, σ, s) Desvio padrão ou desvio padrão populacional (representado pela letra grega σ) é uma medida de dispersão em torno da média populacional de uma variável aleatória. Desvio padrão amostral (representado pela letra s) indica uma medida de dispersão dos dados em torno da média amostral. Um baixo desvio padrão indica que os pontos dos dados tendem a estar próximos da média ou do valor esperado. Um alto desvio padrão indica que os pontos dos dados estão espalhados por uma ampla gama de valores
15 Calculado em áreas que usam probabilidade e estatística como: Biologia, Saúde, Finanças, Física e pesquisas em geral. Em geral, apenas os efeitos de dois desvios padrão distantes do esperado são considerados estatisticamente significativos. 15
16 Cálculo do Desvio Padrão Populacional Amostral 16
17 Bolsa de Valores - Análise gráfica: Desvio Padrão O desvio padrão é uma medida de volatilidade, e geralmente está na composição de outros indicadores (como as Bandas de Bollinger).
18 Cálculo da Variância e do Desvio Padrão para as temperaturas em Joinville: T (x i ) 1 o dia xi X X 9 xi X = = = = = = = 10 T (y i ) 2 o dia Y 9 yi Y yi Y = = = = = = =
19 Cálculo da Variância e do Desvio Padrão para as temperaturas em Joinville: Para o 1 o dia: o s Var 1,67 1,29 ou s 1,29 C Para o 2 o dia: o s Var 4,67 2,16 ou s 2,16 C No 2º dia a temperatura apresentou maior oscilação
22 Medidas de dispersão para dados agrupados Variância e desvio padrão para dados agrupados Quando os valores estão agrupados sem intervalos de classe, procedemos de modo semelhante ao cálculo da variância e do desvio padrão, utilizando para a variância a média aritmética ponderada dos quadrados dos desvios. s Var 21.27
23 Medidas de dispersão para dados agrupados Variância e desvio padrão para dados agrupados Quando os valores estão agrupados em intervalos de classe, para se obter a variância e o desvio padrão, primeiro calculamos os pontos médios de cada intervalo e, em seguida, fazemos: s Var 21.27
24 Variância e desvio padrão para dados agrupados sem intervalo de classe Exemplo: Uma indústria produz esferas de aço por minuto. Foram coletadas para análise 100 esferas. Vamos determinar a média e o desvio padrão da distribuição dos diâmetros das esferas coletadas. Medida do diâmetro x i (em mm) Quantidade de esferass (f i ) 1,1 12 1,2 27 1,3 35 1,4 20 1,5 6 Total
25 Para obter a média, calculamos a média aritmética ponderada da distribuição. Para determinar o desvio padrão, vamos construir uma tabela, a seguir: Medida do diâmetro x i (em mm) Quantidade de esferas (f i ) (x i x) (x i x) 2 f i (x i x) 2 1,1 12 0,181 0, , ,2 27 0,081 0, , ,3 35 0,019 0, , ,4 20 0,119 0, , ,5 6 0,219 0, , f i = 100 [f i (x i x) 2 ]= 1,
26 Variância e desvio padrão para dados agrupados sem intervalo de classe Primeiro, calculamos a variância: Em seguida, obtemos o desvio padrão: Logo, a média das medidas dos diâmetros das esferas da amostra é 1,281 mm e o desvio padrão é aproximadamente 0,107 mm. Fabricação de Granalha:
27 O número de acidentes em um trecho de uma rodovia federal brasileira foi computado mês a mês durante o 1 o semestre de Veja os dados obtidos: 20; 14; 15; 20; 27 e 30. Calcule o desvio médio e o desvio padrão desse grupo de dados. ANDRE VICENTE/ FOLHA IMAGEM s 34 5,83 O desvio médio é de 5 acidentes e o desvio padrão é de aproximadamente ,83 acidentes.
28 Exercício resolvido Na auditoria anual de uma empresa foi anotado o tempo necessário (em minuto) para realizar a auditoria de 50 balanços: Tempo de auditoria Número de balanços (f i ) Caracterize a dispersão da distribuição por meio do Desvio Padrão
29 Primeiro, determinamos o ponto médio de cada intervalo e, em seguida, calculamos a média. Tempo de auditoria Número de balanços (f i ) Pm i (PM i x) (PM i x) 2 f i (PM i x) ,2 795, , ,2 331, , ,2 67,24 672, ,8 3,24 38, ,8 139, ,8 f i = 50 [f i (PM i x) 2 ] =
30 Com base na tabela, podemos encontrar a variância e, assim, obter o desvio padrão. s Var 150, 76 12,3 Logo, podemos dizer que os valores observados se distanciam cerca de 12,3 min da média
31 1) Uma empresa de turismo registrou o número de viagens mensais realizadas por clientes de um programa de fidelidade. Os dados estão na tabela abaixo. Viagens Mensais Número de Clientes Calcule o desvio padrão e caracterize a dispersão desse conjunto. s = 3,17. Os valores do grupo se distanciam cerca de 3,17 viagens do valor médio (= 15 viagens).
32 2) Considere as seguintes amostras (grupos de dados) e calcule a média, o desvio médio, a variância e o desvio padrão de cada uma delas. a) 7, 5, 6, 6, 4, 6, 8, 6, 9 e 3. b) 7, 5, 11, 8, 3, 6, 2, 1, 9 e 8 c) 64, 49, 54, 64, 97, 66, 76, 44, 71 e 89 d) 70,72, 71, 55, 60, 62, 46, 77, 86 e 71. Quais das amostras apresentam maior estabilidade?
33 Coeficiente de Variação de Pearson (CV) Também chamado de desvio-padrão relativo. Medida padronizada de dispersão expresso em porcentagem definida como a razão entre o desvio padrão e a média. CV 15% baixa dispersão 15% CV 30% média dispersão CV 30% alta dispersão 33