Financeira - matematica
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PORCENTAGEM OU TAXA
Chama-se taxa percentual ou porcentagem a razão entre dois números, expressa com denominador 100.
Indica-se por i%.
Juro é a remuneração, a qualquer título, atribuída ao capital.
Quando o juro é calculado unicamente sobre o capital inicial, é chamado de juro simples.
O juro simples pode ser calculado por:
j = C .i . t
em que j é o juro, C é o capital inicial, i é a taxa unitária e t é o tempo de aplicação.
Juro composto é aquele que em cada período financeiro, a partir do segundo, é calculado sobre o montante (capital mais juros) relativo ao período anterior.
O montante em regime de juros compostos pode ser obtido por:
Mn = C(1 + i)n
O fator (1 + i)n é denominado fator de capitalização ou fator de acumulação de capital.
Em uma transação comercial há a possibilidade de se obter lucro. Isso ocorre quando o valor de venda é maior do que o valor de custo (ou de compra). A taxa percentual desse lucro pode ser calculada considerando-se o valor de compra ou de venda do produto.
Para facilitar o estudo vamos adotar:
O lucro é determinado por:
A taxa percentual de lucro em relação ao valor de custo é dada pela razão entre o lucro e o valor de custo.
A taxa percentual de lucro em relação ao valor de venda é dada pela razão entre o lucro e o valor de venda.
Já vimos que uma transação comercial pode dar lucro. De forma análoga, pode ocorrer prejuízo. Isso acontece quando o valor de venda é menor que o valor de custo (ou de compra). Por razões comerciais, pode ainda ocorrer um des­conto. Um desconto não implica necessariamente em um prejuízo, mas para o cálculo da taxa porcentual, seja de um des­con­to, seja de um prejuízo, procedemos da mesma maneira: comparamos o módulo da diferença entre os preços de custo e de venda com o preço de custo ou com o preço de venda conforme a conveniência do contexto.
Para facilitar nosso estudo, vamos adotar:
O desconto é determinado por:
A taxa percentual de desconto em relação ao valor de custo é dada pela razão entre o desconto e o valor de custo.
A taxa percentual de desconto em relação ao valor de venda é dada pela razão entre o desconto e o valor de venda.
Vários são os fatores que determinam o preço de um produto. A lei da oferta e da procura é um desses fatores que obriga, às vezes, mais de um reajuste de preços, para valores maiores (acréscimos sucessivos) ou para valores menores (descontos sucessivos).
Se um produto com preço inicial P0 sofre acréscimos sucessivos, cujas taxas percentuais são i1, i2, …, in, então o preço desse produto após n reajustes é Pn dado por:
Particularmente, esses acréscimos podem apresentar taxas percentuais iguais, i1  i2  …  in i. Neste caso, temos:
Já vimos que numa transação comercial o preço de um produto pode sofrer acréscimos sucessivos. Da mesma forma, os preços de um produto podem ter descontos sucessivos.
Se um produto com preço inicial P0 sofre descontos sucessivos, cujas taxas percentuais são i1, i2, …, in, então o preço desse produto após n descontos será Pn dado por:
Particularmente, esses descontos podem apresentar taxas percentuais iguais, i1  i2  …  in i. Neste caso, temos:
EXERCÍCIOS MÚLTIPLA ESCOLHA
(Puccamp) Em agosto de 2000, Zuza gastou R$ 192,00 na compra de algumas peças de certo artigo. No mês seguinte, o preço unitário desse artigo aumentou R$ 8,00 e, com a mesma quantidade que gastou em agosto, ele pôde comprar duas peças a menos. Em setembro, o preço de cada peça de tal artigo era:
(Mackenzie) As pessoas de um grupo deveriam contribuir com quantias iguais a fim de arrecadar R$ 15.000,00, entretanto 10 delas deixariam de fazê-lo, ocasionando, para as demais, um acréscimo de R$ 50,00 nas respectivas contribuições. Então vale:
(Unirio – RJ) Marta vai se casar e amigas suas resolveram comprar-lhe um presente no valor de R$ 300,00, cada uma delas contribuindo com a quantia de reais. Na hora da compra, entretanto, uma delas desistiu de participar e as outras tiveram, cada uma, um acréscimo de R$ 15,00 na quota inicialmente prevista. Assim, a afirmação correta é:
(UFRN) Um prêmio em dinheiro estava para ser dividido, em partes iguais, entre 10 ganhadores. Inesperadamente, surgiram mais 2 ganhadores, devendo o prêmio ser dividido, portanto, em 12 partes iguais. Sabendo que a parcela cabível a cada um dos 10 primeiros ganhadores foi reduzida em R$ 700,00, marque a opção que corresponde ao valor do prêmio.
(UFPE) Júnior possui uma fazenda onde recolhe 45 litros de leite de cabra por dia, que são utilizados na fabricação de queijo. Com cada 5 litros de leite, ele fabrica 1 Kg de queijo. O queijo fabricado é dividido em porções de 125 g que são empacotadas em dúzias. Cada pacote é vendido por R$ 6,00. Quanto Júnior arrecada por dia com a venda do queijo?
(Faap – SP) Dois sócios lucraram R$ 5.000,00. O primeiro entrou para a sociedade com o capital de R$ 18.000,00 e o segundo com R$ 23.000,00. Se os lucros de cada sócio são proporcionais aos capitais, a diferença entre os lucros foi de aproximadamente:
(FGV – SP) Uma empresa comprou para seu escritório 10 mesas idênticas e 15 cadeiras também idênticas. O preço de cada mesa é o triplo do preço de cada cadeira. A despesa com as cadeiras foi que porcentagem (aproximada) da despesa total?
(Vunesp) Um advogado contratado por Marcos, consegue receber 80% de uma causa avaliada em R$ 200.000,00 e cobra 15% da quantia recebida, a título de honorários. A quantia, em reais, que Marcos receberá, descontada a parte do advogado, será de:
(Faap – SP) Uma pessoa colocou à venda uma residência avaliada em R$ 500.000,00. Um corretor conseguiu vendê-la por 85% desse valor, cobrando do proprietário 8% de comissão de corretagem. O proprietário recebeu pela venda:
(UFMG) Um fabricante de papel higiênico reduziu o comprimento dos rolos de 40 m para 30 m. No entanto, o preço dos rolos de papel higiênico, para o consumidor, permaneceu constante. Nesse caso, é correto afirmar que, para o consumidor, o preço do metro de papel higiênico teve um aumento:
inferior a 25%.
superior ou igual a 30%.
igual a 25%.
superior a 25% e inferior a 30%.
(Mackenzie) Numa loja, um determinado produto de preço p é posto em promoção do tipo "leve 5 e pague 3". O desconto que a promoção oferece sobre o preço p do produto é de:
(UERJ) Uma máquina que, trabalhando sem interrupção, fazia 90 fotocópias por minuto foi substituída por outra 50% mais veloz. Suponha que a nova máquina tenha que fazer o mesmo número de cópias que a antiga, em uma hora de trabalho ininterrupto, fazia. Para isso, a nova máquina vai gastar um tempo mínimo, em minutos, de:
(U.F. Viçosa – MG) Consultando um mapa rodoviário, um motorista decide por um itinerário 17% mais longo do que aquele que faz habitualmente. Como o tráfego de veículos nesse novo trajeto é menor, sua velocidade média aumentará em 30%. Diante dessas condições, o tempo de viagem diminuirá em:
(PUC – RJ) Fiz em 50 minutos o percurso de casa até a escola. Quanto tempo gastaria se utilizasse uma velocidade 20% menor?
41 minutos e 40 segundos.
62 minutos e 30 segundos.
50 minutos e 20 segundos.
Produção e vendas, em setembro, de três montadoras de automóveis
Porcentagem vendida da produção
Sabendo que nesse mês as três montadoras venderam 7000 dos 10000 carros produzidos, o valor de x é:
(PUC – MG ) Em maio de cada ano, certa empresa reajusta os salários de seus funcionários pelo índice de preços ao consumidor, apurado no ano anterior. Em 2001, esse índice foi de 6,2%. Com base nesses dados, pode-se estimar que um funcionário que, em maio de 2001, recebia R$ 540,00 passou a receber, em maio de 2002:
(Cefet – MG) A soma dos preços de duas mercadorias é de R$ 50,00. A mais cara terá um desconto de 10% e a mais barata sofrerá aumento de 15%, mantendo a soma dos preços no mesmo valor. A diferença entre os dois preços diminuirá em:
(UFRS) Considere os dados da tabela abaixo referentes à População Economicamente Ativa (PEA) de uma determinada região.
Distribuição da PEA por anos de estudo, segundo sexo
PEA Masculina
PEA Feminina
Até 4 anos de estudo
5 ou mais anos de estudo
Se os homens são 60% da PEA dessa região, homens e mulheres com 5 anos ou mais de estudo representam:
36% da PEA da região.
40% da PEA da região.
44% da PEA da região.
45% da PEA da região.
54% da PEA da região.
(UFRS) A quantidade de água que deve ser evaporada de 300 g de uma solução salina (água e sal) a 2% (sal) para se obter uma solução salina a 3% (sal) é:
(Fuvest) Um reservatório, com 40 litros de capacidade, já contém 30 litros de uma mistura gasolina/álcool com 18% de álcool. Deseja-se completar o tanque com uma nova mistura gasolina/álcool de modo que a mistura resultante tenha 20% de álcool. A porcentagem de álcool nessa nova mistura deve ser de:
(Mackenzie) Num grupo de 200 pessoas, 80% são brasileiros. O número de brasileiros que devem abandonar o grupo, para que 60% das pessoas restantes sejam brasileiras, é:
(UEPA) O material de construção comprado numa loja especializada no ramo da construção civil custou R$ 1.200,00. A despesa do transporte desse material é de 6% sobre o valor da compra e o pagamento à vista dá ao comprador um desconto de 3% sobre o gasto total. Nessas condições, o valor gasto na compra à vista do material foi:
R$ 1.228,36
(Faap) Edna recebe um salário mensal que é constituído de uma parte fixa igual a R$ 1.000,00 e mais uma parte variável correspondente a 3% do total de vendas que exceder a R$ 5.000,00. Calcula-se em 10% o percentual de descontos diversos que incidem sobre seu salário bruto total. Em dois meses consecutivos, Edna recebeu, líquido, respectivamente, R$ 1.035,00 e R$ 1.089,00. Com esses dados, pode-se afirmar que suas vendas no segundo mês, forma superiores às do primeiro em:
(Puccamp) Na loja Compre Mais, um modelo de aparelho de som tem o preço de R$ 520,00 e pode ser comprado de duas formas:
– à vista, com desconto correspondente a 15% do preço;
– a prazo, com entrada correspondente a 20% do preço e o saldo, acrescido de 30% de seu valor, pago em 5 parcelas iguais.
Carlos e Heitor compraram esse aparelho, o primeiro à vista e o outro a prazo. Quando Heitor pagou a mais que Carlos?
Ainda com base na questão anterior, de quanto foram as prestações que Heitor pagou?
(Mackenzie) Um concurso, desenvolvido em três etapas sucessivas e eliminatórias, eliminou 30% dos k candidatos iniciais na 1ª etapa, 20% dos remanescentes na 2ª etapa e 25% dos que ainda permanecem na 3ª etapa. Assim, cumpridas as 3 etapas, o porcentagem de k que permaneceu é:
(Vunesp) O dono de um supermercado comprou de seu fornecedor um produto por reais (preço de custo) e passou a revendê-lo com lucro de 50%. Ao fazer um dia de promoções, ele deu aos clientes do supermercado um desconto de 20% sobre o preço de venda desse produto. Pode-se afirmar que, no dia de promoções, o dono do supermercado teve, sobre o preço de custo:
Prejuízo de 10%
Prejuízo de 5%
Lucro de 20%
Lucro de 25%
(Fuvest) Um comerciante deu um desconto de 20% sobre o preço de uma mercadoria e, mesmo assim, conseguiu um lucro de 20% sobre o preço que pagou pela mesma. Se o desconto não fosse dado, seu lucro, em porcentagem, seria:
(Mackenzie) Um objeto é vendido por R$ 26,00. O dono da loja, mesmo pagando um imposto de 20% sobre o preço de venda, obtém um lucro de 30% sobre o preço de custo. O preço de custo desse objeto é:
(UFES) Antônio compra abacaxis de um fornecedor ao preço de R$ 1,00 o lote de 3 unidades. Ele os revende na feira em amarrados com 5 unidades. Se o preço de cada amarrado é R$ 2,00, quantos abacaxis deverá vender para ter um lucro de R$ 100,00?
(Faap) Uma certa quantidade de cereal, que custara R$ 12,00 por saca, foi vendida, sucessivamente, por quatro negociantes, os quais obtiveram um lucro de 20%, 12%, 15% e 10%, respectivamente. Qual foi o último preço de venda (aproximadamente) por saca?
(PUC-SP) Uma cooperativa compra a produção de pequenos horticultores, revendendo-a para atacadistas com um lucro de 50% em média. Estes repassam o produto para os feirantes, com um lucro de 50% em média. Os feirantes vendem o produto para o consumidor e lucram também 50% em média. O preço pago pelo consumidor tem um acréscimo médio, em relação ao preço dos horticultores, de:
285,5%
(Unifesp) Com relação à dengue, o setor de vigilância sanitária de um determinado município registrou o seguinte quadro, quanto ao número de casos positivos:
– em fevereiro, relativamente a janeiro, houve um aumento de 10%;
– em março, relativamente a fevereiro, houve uma redução de 10%.
Em todo o período considerado, a variação foi de:
(U.F. Juiz de Fora) Uma loja aplicou um desconto no preço de um eletrodoméstico, reduzindo-o em 25%. Como as vendas não aumentaram, aplicou um novo desconto de 20% sobre o preço reduzido. Após esses dois descontos, o preço do eletrodoméstico ficou igual a R$ 270,00. Então o preço inicial desse eletrodoméstico era igual a:
(PUC-SP) Descontos sucessivos de 20% e 30% são equivalentes a um desconto único de:
(PUC-MG) Após dois anos de uso, um carro custa R$ 17.672,00. Sabendo que sua desvalorização é de 6% ao ano, o preço do carro há dois anos era:
R$ 19.792,64
R$ 24.033,92
(ESPM-SP) Se um automóvel sofre desvalorização de 20% ao ano, ele estará valendo a metade do seu valor atual em:
Pouco mais de 3 anos.
Exatamente dois anos e meio.
Exatamente 5 anos.
Menos de 2 anos.
(U. F. Juiz de Fora) As despesas mensais de uma pessoa dividem-se em gastos fixos e gastos variáveis. Seus gastos fixos são de R$ 180,00 e, nos próximos meses, seus gastos variáveis, que hoje são de R$ 100,00, aumentarão 2% a cada mês, em relação ao mês anterior. A expressão que fornece a despesa dessa pessoa daqui a meses, em reais, é:
(FGV) Um vidro de perfume é vendido, à vista, por R$ 48,00 ou, a prazo, em dois pagamentos de R$ 25,00 cada um, o primeiro no ato da compra e o outro um mês depois. A taxa mensal de juros do financiamento é aproximadamente igual a:
(ESPM-SP) Numa loja um objeto custa R$ 100,00 à vista. Uma pessoa compra esse objeto em duas parcelas iguais de R$ 60,00, pagando a primeira no ato da compra e a segunda parcela trinta dias depois. Os juros cobrados por essa loja foram a uma taxa mensal de:
(FGV) Fábio recebeu um empréstimo bancário de R$ 10.000,00, para ser pago em duas parcelas anuais, a serem pagas, respectivamente, no final do primeiro ano e do segundo ano, sendo cobrados juros compostos à taxa de 20% ao ano. Sabendo que o valor da 1ª parcela foi R$ 4.000,00, podemos concluir que o valor da 2ª foi:
(FGV) Um capital aplicado a juros simples, à taxa de 2,5% ao mês, triplica em:
(UFCE) José emprestou R$ 500,00 a João por 5 meses, no sistema de juros simples, a uma taxa fixa e mensal. Se no final dos 5 meses José recebeu um total de R$ 600,00, então a taxa fixa mensal aplicada foi de:
(UFPI) O capital que, investido a juros simples de 3% ao mês, gera, depois de 6 meses, um montante de R$ 141.600,00 é:
(UFS) Cláudia aplicou a quantia de R$ 100,00 a juros simples, à taxa de 1,8% ao mês. Ao completar 5 meses, retirou o montante e aplicou-o em outra instituição, com uma taxa mensal maior. Ao completar 4 meses da nova aplicação, seu novo montante era de R$ 119,90. Essa nova taxa mensal foi de:
(UFRS) Uma loja avisa que, sobre o valor original de uma prestação que não for paga no dia do vencimento, incidirá multa de 10% mais 1% a cada dia de atraso. Uma pessoa que deveria pagar reais de prestação e o fez com dias de atraso, pagou a mais:
(ESPM-SP) Certo capital foi aplicado a juros compostos durante 2 anos, à taxa de 20% ao ano. Se esse capital tivesse sido aplicado a juros simples, para obter o mesmo rendimento, a taxa mensal deveria ser de aproximadamente: