Cálculo I -A- --- período 2008.2
Professor: Humberto José Bortolossi
As transparências usadas na aula 19 estão disponíveis como um arquivo PDF: calculo-i-aula-19.pdf (701 Kb). Clique na figura abaixo para acessar um applet que ilustra o problema da caixa.
As transparências usadas na aula 18 estão disponíveis como um arquivo PDF: calculo-i-aula-18.pdf (1 Mb).
Clique nas figuras abaixo para acessar applets que ilustram a relação geométrica entre o gráfico de uma função e o gráfico de sua derivada.
As transparências usadas na aula 17 estão disponíveis como um arquivo PDF: calculo-i-aula-17.pdf (846 Kb).
As transparências usadas na aula 16 estão disponíveis como um arquivo PDF: calculo-i-aula-16.pdf (1.2 Mb). Clique na figura abaixo para executar	applets JAVA que ilustram a aproximação linear (afim) obtida com a equação da reta tangente.
Clique nas figuras abaixo para acessar applets que ilustram a aproximação dos polinômios de Taylor para várias funções.
13/10/2008 RESPOSTAS QUE VALEM UM MILHÃO DE DÓLARES
Existem perguntas em matemática para as quais ainda não se conhecem as respostas. Tentar responder a algumas destas perguntas pode valer algum dinheiro. O Instituto Clay de Matemática (Cambridge, Massachusetts) oferece um milhão de doláres para cada um dos seguintes problemas: Conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer, Conjectura de Hodge, Equações de Navier-Stokes, P versus NP, Conjectura de Poincaré, Hipótese de Riemann e a Teoria de Yang-Mills. Veja também esta página da UFSCAR.
12/10/2008 UMA FUNÇÃO DERIVÁVEL QUE NÃO É DE CLASSE C1
A função f definida por f(x) = x2 cos(1/x) para x diferente de zero e f(0) = 0 é um exemplo de função derivável, mas cuja derivada não é contínua.
11/10/2008 FUNÇÕES CONTÍNUAS QUE NÃO DERIVÁVEIS EM LUGAR ALGUM
Existem funções que são contínuas, mas não são deriváveis em lugar algum. O exemplo clássico da função é a função de Weierstrass, que é definida por uma série de funções (veja também o link da Wikipédia):
Já, na linha de fractais, temos a função de Blancmange, que é construída por uma recursão. Outra situação é o movimento Browniano: imagine um bêbado cambaleando sobre a reta. Se você desenhar o gráfico da posição do bêbado em função do tempo, você obterá uma função contínua que não é diferenciável em lugar algum. Veja o applet ilustrando este processo (seu navegador precisa ter a linguagem Java instalada):
Johan Thim, da Luleå University of Technology na Escandinávia, escreveu uma excelente dissertação sobre o assunto (em inglês): "Continuous Nowhere Differentiable Functions" (635 Kb).
10/10/2008 SIGNIFICADO FÍSICO DA DERIVADA DE ORDEM 3 DA POSIÇÃO COM RELAÇÃO AO TEMPO
Nos cursos de física aprendemos que as derivadas de ordem 1 e 2 da posição com relação ao tempo fornecem, respectivamente, a velocidade e a aceleração do objeto. Menos conhecida é a derivada terceira da posição com relação ao tempo (isto é, a taxa de variação da aceleração com relação ao tempo) que, em inglês, recebe o nome de jerk. Esta derivada é útil, por exemplo, quando queremos estudar o desgaste pela ação do movimento de um mecanismo sensível ou o desconforto dos passageiros dentro de um veículo. De fato, em algumas situações, derivadas de ordem ainda mais altas são necessárias [como na construção do telescópio espacial Hubble]. Mais detalhes no Physics FAQ. A tabela abaixo mostra os nomes em inglês sugeridos para as derivadas de ordem superior da posição com relação ao tempo.
da derivada Nome Nome quando
multiplicado pela massa
1 velocity momentum
2 acceleration force
3 jerk yank
4 snap tug
5 crackle snatch
6 pop shake
As transparências usadas na aula 15 estão disponíveis como um arquivo PDF: calculo-i-aula-15.pdf (623 Kb).
Clique na figura abaixo para executar	uma animação que ilustra taxas relacionadas no problema da escada deslizante.
08/10/2008 NOTAS DA P1
As notas da primeira verificação de aprendizagem, sem revisão, estão disponíveis aqui. A revisão será realizada no dia 09/10/2008, das 13 h às 14 h na sala de aula.
As transparências usadas na aula 14 estão disponíveis como um arquivo PDF: calculo-i-aula-14.pdf (869 Kb).
05/10/2008 CONFIRA O CÁLCULO DE SUAS DERIVADAS!
Clique aqui ou na figura abaixo para executar um programa Java que calcula derivadas simbolicamente. Para executar este programa, seu computador deve ter a linguagem Java instalada. A versão para Microsoft Windows pode ser obtida aqui (arquivo j2re1.4.exe com 10 Mb).
As transparências usadas na aula 13 estão disponíveis como um arquivo PDF: calculo-i-aula-13.pdf (620 Kb).