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Aula 1 Sinais e Sistemas – Capítulo 4 Simon Haykin Aula 17
2 Representação por Transformada de Fourier para Sinais de Tempo Discreto
Considere as senóides complexas a seguir: e Suponha que g[n] é igual às amostras de x(t), tomadas em intervalos β, isto é, o que implica que de modo que podemos definir Logo, a frequência de tempo discreto Ω corresponde à frequência de tempo contínuo ω, multiplica pelo intervalo de amostragem β. Aula 17
3 Relacionando a FT com a DTFT
Considere a DTFT de um sinal de tempo discreto arbitrário x[n], isto é Procuramos por um par FT que corresponda ao par Aula 17
4 Relacionando a FT com a DTFT
Começamos por substituir Ω=βω em obtendo Tome a FT inversa de usando a linearidade e o par FT para obter Aula 17
5 Relacionando a FT com a DTFT
Consequentemente Aula 17
6 Relacionando a FT com a DTFS
Seja x[n] um sinal periódico. Logo sua representação por DTFT é dada por em que X[k] são os coeficientes da DTFS de x[n] Substituindo Ω=βω, obtemos a representação por FT, isto é Aula 17
7 Relacionando a FT com a DTFS
Aplicando a propriedade de mudança de escala da função impulso, isto é temos então que Como X[k] é uma função com período N, então é periódica com período Aula 17
8 Relacionando a FT com a DTFS
O sinal correspondente à última FT é facilmente obtido usando Aula 17
9 Amostragem Vamos agora utilizar a representação por FT de sinais de tempo discreto para analisar os efeitos de amostrar uniformemente um sinal. A amostragem gera um sinal de tempo discreto a partir de um sinal de tempo contínuo. São muito úteis para transformar sinais de tempo contínuo em sinais manipuláveis por sistemas de comunicação, controle e processamento digital. A amostragem também é aplicável em sinais discretos para realizar mudanças na taxa efetiva de dados (subamostragem). Aula 17
10 Amostragem Seja x[n] um sinal de tempo discreto que é igual às amostras de x(t) em múltiplos inteiros do intervalo de amostragem β, isto é, x[n]=x(βn). O efeito da amostragem é avaliado relacionando-se a DTFT de x[n] com a FT de x(t). A ferramenta que utilizamos para isto é a FT de sinais de tempo discreto. Seja a representação em tempo contínuo de um sinal de tempo discreto, isto é Aula 17
11 Amostragem Substituindo x(βn) em x[n], temos Desde que
então, podemos representar como um produto de funções do tempo, isto é, em que Aula 17
12 Amostragem Amostragem por impulsos Aula 17
13 Amostragem O efeito da amostragem por impulsos é avaliado relacionando-se a FT de com a FT de x(t) onde De modo que Aula 17
14 Amostragem Logo em que é a frequência de amostragem. Aula 17
15 Amostragem Observe que a FT do sinal amostrado é uma soma infinita de versões deslocadas da FT do sinal original, as quais são espaçadas de múltiplos inteiros de ωs. Aula 17
16 Amostragem Observe ainda que as versões deslocadas de X(jω) podem se sobrepor umas às outras se ωs não for suficientemente grande em comparação com a extensão de frequência de X(jω). Alising Aula 17
17 Amostragem O fenômeno de Alising provoca distorção do espectro do sinal de tempo contínuo, de modo que não se pode recuperar o sinal de tempo contínuo original. Alising Aula 17
18 Amostragem A DTFT do sinal amostrado é obtida de usando-se a relação Ω=βω, isto é, Portanto, ω=ωs corresponde a Ω=2π. Aula 17
19 Amostragem Aula 17
20 Amostragem Exemplo: Considere o efeito de extrair amostras de
Determine a FT do sinal amostrado para os seguintes intervalos de amostragem: a)β=1/4; b) β=1; c) β=3/2. Solução: Aula 17
21 Amostragem Aula 17
22 Subamostragem Admitamos que y[n]=x[qn] seja uma versão subamostrada de x[n], onde q é um número inteiro positivo. Nossa meta é relacionar a DTFT de y[n] com a DTFT de x[n]. Podemos conseguir tal relação utilizando a FT para representar x[n] como uma versão amostrada de x(t).
23 Subamostragem Logo, expressamos y[n] como uma versão amostrada de x(t), porém usando um intervalo de amostragem q vezes o do associado com x[n]. Consequentemente, a taxa de amostragem para y[n] é Logo,
24 Subamostragem Daí, Observe que expressamos e como funções de X(jω). Mas X(jω) é desconhecido, pois conhecemos x[n] e não x(t). Vamos então tentar expressar como uma função de Seja , onde l é a parte inteira e m é o resto da fração.
25 Subamostragem Como -∞≤k≤∞, então -∞≤l≤∞. Além disso, 0≤m≤q-1.
26 Subamostragem Agora, convertemos a representação FT em uma representação DTFT, expressando como uma função de O intervalo de amostragem associado com é β'. Daí, , de modo que