Gilles Personne de Roberval (1602-1675, França) iniciou seus estudos de matemática com 14 anos de idade. Ele viajou por toda a França fazendo contato com matemáticos da época e foi um dos pensadores sob influência do grupo de Mersenne(4). Roberval considerou problemas do mesmo tipo que os de Cavalieri embora procurasse manter maior rigor que ele. Assim como fazia Torricelli, ele procurou descrever uma curva plana como um movimento gerado por um ponto cujo movimento se pode decompor em dois movimentos conhecidos, o que corresponde à descrição moderna de uma curva sob forma paramétrica. A resultante das velocidades dos dois movimentos conhecidos fornece a tangente da curva em cada ponto. Roberval desenvolveu métodos para a integração escrevendo Traité des indivisibles onde apresenta o cálculo da integral definida da função sen x. Ele também calculou o comprimento de arco de uma espiral, trabalhou com ciclóides e apresentou a descrição de diversas curvas planas, desenvolvendo um método já sugerido por Torricelli para se traçar retas tangentes a curvas dadas. Ele considerava a área entre uma curva e uma reta como sendo composta por um grande número de faixas muito estreitas. Usando este processo na avaliação da área sob de \(x^n\) de \(0\) até \(1\) ele obteve o valor aproximado de
Pierre de Fermat (1601-1665, França) também procurou trabalhar com rigor, embora não tenha fornecido provas de suas afirmações e nem mostrado de forma clara quais foram os métodos empregados para se obter um determinado resultado. Ele se formou em Direito pela Universidade de Toulouse mas logo se interessou pela matemática praticamente como um amador, estudando em suas horas vagas. Em 1629 ele produziu uma restauração da obra de Apolônio, Plane loci e, na mesma época, escreveu um trabalho importante sobre máximos e mínimos de funções procurando pelos pontos onde as tangentes às suas curvas são paralelas ao eixo \(Ox\). Ele escreveu a Descartes descrevendo seu método, que era essencialmente o mesmo usado hoje que consiste em encontrar pontos de derivada nula. Devido a este episódio Lagrange afirmou considerar Fermat o inventor do cálculo.
(5) Euclides mostrou que a expressão de Pitágoras \(x^2+y^2=z^2\) admite infinitas soluções inteiras, os ternos pitagóricos.
Enquanto examinava expressões como \(\frac{y}{b} = \left( \frac{x}{b} \right)^p\), Fermat calculou a soma de \(r^p\) de \(r=1\) até \(r=n\). No período de 1643 até 1654 Fermat esteve em contato com seus colegas cientistas em Paris, sob a influência de Mersenne. Surgiu então o seu interesse pela teoria dos números. Ele se tornou amplamente conhecido particularmente pelo que hoje conhecemos como último Teorema de Fermat que afirma que a expressão \(x^n+y^n=z^n\) não admite solução(5) inteira diferente de zero para \(n≥3.\) Fermat escreveu na margem de seu livro Aritmetica de Diofante: “descobri uma prova realmente maravilhosa para este teorema mas estas margens são estreitas demais para contê-la” . Acredita-se hoje que a prova de Fermat, se existiu, era incorreta. As tentativas de demonstração do teorema motivaram muitas gerações de matemáticos e deu origem a diversas novas áreas na matemática, particularmente na álgebra. Apesar disto o teorema permaneceu sem demonstração por séculos, problema que só foi resolvido em 1994 pelo matemático inglês Andrew Wiles.
Além de sua contribuição fundamental para a geometria analítica René Descartes (1596-1650, França) foi responsável pelo desenvolvimento de um método para a determinação de normais, publicado no livro La Géométrie, 1637. Este livro é considerado o mais importante de seus trabalhos em matemática devido à inserção do formalismo algébrico na geometria. Nele se toma o primeiro passo na direção da teoria dos invariantes que remove a arbitrariedade de escolha de um referencial. A adoção do formalismo algébrico no tratamento da geometria torna possível a consideração de problemas que seriam difíceis ou impossíveis sem esta técnica.
De Beaune ampliou o método de Descartes e o aplicou à determinação de tangentes. Hudde descobriu um método mais simples, hoje conhecido como Regra de Hudde, onde as tangentes são obtidas através das derivadas. Tanto o trabalho de Descartes quanto o de Hudde foram de primordial importância para influenciar Newton e conduzi-lo a sua formulação do Cálculo.
Huygens foi um crítico das provas apresentadas por Cavalieri. Ele afirmava que é necessário pelo menos produzir uma prova que, mesmo que incompleta, leve à convicção de que uma prova posterior, totalmente rigorosa, possa ser estabelecida. Ele exerceu uma influência profunda em Leibniz e, através deste, representa papel importante na construção de uma abordagem mais satisfatória do cálculo.
Os esforços de Torricelli e Barrow representam os passos seguintes de maior importância. Barrow foi o responsável pelo método de construção de tangentes a uma curva como o limite de uma corda secante quando os pontos que a definem se aproximam um do outro. Este método é conhecido como o triângulo diferencial de Barrow.
Tanto Torricelli como Barrow trataram do problema do movimento com velocidade variável. A derivada da distância em função do tempo é uma velocidade, enquanto a operação inversa permite que, conhecida a função velocidade a cada instante se possa obter, por integração, a distância percorrida. A partir dai foi desenvolvido o conceito de integração como o inverso da diferenciação. Barrow compreendia que a derivada e a integral são processos complementares, um o inverso do outro. Embora Barrow nunca tenha afirmado explicitamente o teorema fundamental do cálculo ele estava trabalhando nesta direção. Coube a Newton, que foi aluno de Barrow, continuar este trabalho e fazer a primeira afirmação explícita do teorema.
Issac Newton (1642-1727) nasceu no ano da morte de Galileu Galilei em Woolsthorpe, Inglaterra. Ele veio de uma família abastada, embora seu pai fosse um homem com pouca educação formal. Newton teve uma infância infeliz, não tendo conhecido seu pai que morreu antes que ele completasse um ano de idade. Sua mãe, Hannah Ayscough, se casou com o ministro da igreja de um vilarejo próximo e o jovem Isaac foi deixado com seus avós. Há indícios de que Newton sofreu de forte ressentimento pelo casamento da mãe, ao mesmo tempo em que não desenvolveu vínculos fortes com os avós.
Com a morte do padrasto em 1653, Newton passou a viver com a mãe, avó, um meio-irmão e duas meia-irmãs. Como estudante ele demonstrava poucas habilidades e interesse e, por isto, foi tirado da escola para cuidar dos interesses financeiros de sua mãe. Newton também não mostrou interesse em realizar esta tarefa. Em 1960, por influência de William Ayscough, tio de Newton, a família decidiu prepará-lo para a educação superior. Nesta época ele se alojava com a família de Stokes, o chefe da escola, que percebendo os talentos de Newton, foi um dos responsáveis por convencer a família de que ele possuía habilidades para o trabalho acadêmico.
Pouco se conhece sobre o que Isaac teria aprendido antes de ingressar na universidade, particularmente em matemática. Com certeza ele recebeu de Stokes um bom impulso e orientação e é possível que tenha tido o primeiro contato com Os Elementosde Euclides nesta época. Há um número de pequenas histórias, sem maior comprovação, de que Newton era hábil com as máquinas e gostava de construir modelos de relógios e moinhos.
Finalmente, em 1661, quando já era mais velho que a maioria dos colegas, Newton ingressou no Trinity College de Cambridge. Apesar de sua posição financeira confortável ele entrou como um sizar, uma espécie de posição de serviçal em relação aos outros colegas. Newton pretendia inicialmente se formar em Direito.