No Japonês existe muito disso, sinônimos que são mais educados uns que os outros. O gozaimasu, por exemplo, é mais educado que gozaru ござる, por ser sua conjugação com -masu ます, que simplesmente deixa verbos mais educados. Porém, o gozARU não é usado tanto assim no Japonês moderno, foi substituído pelo verbo aru 在る. Há também o arimasu あります. Todas essas quatro palavras tem o mesmo significado: "existir."
Voltando ao arigatai 有難い, seu significado é o de "obrigado" também, mas há uma história por traz disso. Visto seus kanji, 有 que significa "haver", e 難 que significa "dificuldade", dá pra entender que arigatai significa "haver com dificuldade" ou algo assim, e é mais ou menos isso mesmo.
Originalmente, arigatai era "algo difícil de acontecer" ou em Japonês aru koto ga muzukashii 有る事が難しい. Normalmente essa palavra é usada quando algo que é necessário mas está em falta finalmente ocorre. Como por exemplo:
Tá, mas onde que esse significado aí tem haver com obrigado? É bem simples, basta pensar por um momento: quando você precisa realmente da ajuda de alguém, com que frequência aparece alguém para lhe ajudar?
A resposta é arigatai 有難い. Por isso expressamos gratitude quando esses raros atos de generosidade acontecem.
Agora como que arigatai vira arigatou gozaimasu? Isso ocorre devido a uma regra da gramática Japonesa usada para adjetivos. Ela que é parecida com a do masu, só que masu só serve para verbos. Quando temos um adjetivo terminado em -i -い mudamos ele para -u gozaimasu -うございます para torná-lo em teineigo.
Essa transformação, essa regra, não é comum de ocorrer, mas ela ainda existe em algumas expressões bem conhecidas no Japonês, tais como:
Enfim. Para resumir: arigatou é uma abreviação de arigatou gozaimasu que por sua vez é teineigo de arigatai.
No Japonês, gozaimashita está conjugado no passado, e gozaimasu no... não-passado, ou seja, no presente e futuro. Então para agradecer algo que aconteceu no passado, ontem, por exemplo, se usaria gozaimashita, e não o gozaimasu. Veja por exemplo:
Outra frase curiosa é o doumo どうも, ou doumo arigato どうも有り難う, ou doumo arigatou gozaimasu どうも有り難うございます. Não preciso nem dizer que é tudo "obrigado" mesmo. Ou melhor, nem tudo.
Na verdade, doumo não quer dizer "obrigado", alias, não queria. A palavra doumo significava (e ainda significa) "não importa como fizer [o resultado é o mesmo]" em Japonês. É uma abreviação de DOUshiteMO どうしても. Então doumo arigatou seria "não importa como fizer tenho que lhe agradecer" em Japonês.
Para quem é otaku オタク: o nome do anime Watashi ga Motenai no wa Dou Kangaetemo Omaera ga Warui! 私がモテないのはどう考えてもお前らが悪い! (WataMote) tem esse dou kangatemo, que é quase um doumo. Traduzido, o título é "Não importa como você pensar sobre isso a culpa é de vocês que eu não sou popular"
Já imaginou falar "não importa como" no Português e as pessoas entenderem que você está dizendo "obrigado" de forma abreviada? Meio estranho né?
Como se não bastasse tudo que já foi discutido, ainda há mais outros jeitos de se falarem obrigado em Japonês. O povo cheio de gratitude pra expressar.
Primeiro, pra falar de um "obrigado" mais para gíria já que quase todos são bem educados, temos o azassu あざっす. Só de ouvir dá pra perceber que azassu abrevia de Arigatou goZAimaSU. (Sim. Mais uma vez)
Lembra que no começo do post eu disse que todo mundo sabia com falava obrigado em Inglês e Japonês? Pois é, isso inclui os Japoneses. Não o obrigado em Japonês, isso é óbvio que eles sabem, estou falando do obrigado em Inglês.
A palavra sankyuu サンキュー é uma gíria em Japonês que quer dizer (advinha) "obrigado". Ela vem do Inglês thank you, que por sua vez, para quem vive debaixo de uma pedra e não sabe disso, também quer dizer "obrigado".
Você pode estar meio perdido com todas essas palavras que querem dizer "obrigado" em Japonês, então aqui estão elas numa lista ordenadas de mais formal para menos formal e gíria:
Falta a palavra que quer dizer literalmente "agradecimento", o kansha 感謝. Quando você "faz" um agradecimento usando o verbo suru する você está literalmente dizendo "obrigado", ou seja, kansha suru 感謝する e kansha shimasu 感謝します querem dizer "obrigado" em Japonês também.
E, finalmente, além de todas essas palavras querem dizer literalmente "obrigado", há também certas palavras que querem dizer obrigado às vezes, contextualmente, ou seja, podem ser interpretadas como obrigado ou não dependendo da situação.
Uma delas é o otsukaresama お疲れ様, de frases como otsukaresama desu. Isso aí quer dizer "obrigado" pelo trabalho, ou por ter trabalhado no dia, pelo serviço, etc. Uma mnemônica é que tsukare 疲れ quer dizer "cansaço," e trabalhar cansa mesmo. Uma coisa leva a outra e temos a palavra otsukaresama.
Outra é o sumanai 済まない, que alguns personagens falam só suman mesmo. Isso na verdade é mais próximo de "me desculpe," mas também pode querer dizer "obrigado" em Japonês quando alguém fez algo para você. Por exemplo, se um personagem diz que vai cuidar da loja enquanto o outro vai lutar contra uma força do mal que aterroriza a cidade, esse outro pode usar sumanai para agradecer.
Por último, uma que não tem muito haver mas que pode ser traduzida como "obrigado pela comida," A tal de itadakimasu 頂きます. Essa palavra tem muito haver com a cultura Japonesa, e, literalmente falando, o verbo itadaku 頂く, significa "receber" e não "obrigado".