manutenção aeronautica - apostila sobre aviação
edson santos | comentários
Arquivado no curso de Engenharia Aeronáutica na Etep
CAPÍTULO 1 MATEMÁTICA INTRODUÇÃO
O uso da matemática está tão presente em todos os setores da vida quotidiana; que, raramente, se é que acontece, alguém percebe por completo quão desamparados estaríamos na realização do nosso trabalho diário sem o seu conhecimento, até mesmo na sua forma mais simples. Muitas pessoas têm dificuldade com cálculos relativamente simples, envolvendo apenas a matemática elementar. Para executarmos cálculos matemáticos com sucesso, é preciso compreender os processos e a prática contínua no uso dos domínios matemáticos.
De uma pessoa que esteja entrando no ramo da aviação, será exigido que trabalhe com exatidão. A mecânica de aviação está frequentemente envolvida em tarefas que exigem cálculos matemáticos de vários tipos, tolerâncias em componentes de aeronaves e motores. Na maioria das vezes, é crucial fazer medições de milésimos ou décimos de milésimo de polegadas. Por causa das pequenas tolerâncias, que se deve observar, é importante que o mecânico de aviação seja capaz de realizar medidas e cálculos matemáticos precisos.
A matemática pode ser comparada a um
"Kit" de ferramentas, e cada operação matemática comparada ao uso de uma das ferramentas na solução de um problema. As operações básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão são as ferramentas disponíveis para nos ajudar a resolver um problema em questão.
A adição dos números inteiros
O processo de encontrar a combinação entre dois ou mais números, é chamado adição. o resultado é chamado soma.
Quando somamos vários números inteiros, como 4567, 832, 93122 e 65; os colocamos embaixo, uns dos outros, com seus dígitos em colunas, de modo que na última, ou a partir da direita, eles fiquem na mesma coluna.
Quando somamos decimais como 45,67; 8,32; 9,3122 e 0,65; os colocamos embaixo um do outro, de modo que os pontos decimais estejam em ordem na linha, de alto à baixo.
Para conferir a adição; ou somamos os algarismos na mesma ordem novamente; ou os somamos em ordem contrária.
Subtração dos números inteiros
A subtração é o processo para se encontrar a diferença entre dois números, tirando o menor do maior. O número que é subtraído é chamado subtraendo, o outro número é chamado minuendo; a diferença tirada deles é chamada resto. Para encontrar o resto, escreva o subtraendo embaixo do minuendo, como na adição. Começando da direita, diminua cada algarismo do subtraendo do algarismo acima, e escreva o resto abaixo, na mesma coluna. Quando o processo é terminado, o número abaixo do subtraendo é o resto.
Para conferir a subtração, somamos o resto e o subtraendo. A soma dos dois é igual ao minuendo.
O processo para se encontrar a quantidade obtida pela repetição de um dado número, em um número específico de vezes, é chamado multiplicação. O processo de multiplicação é, de fato, um caso de adição repetida, no qual todos os números que estão sendo adicionados são idênticos. Portanto, a soma de 6+6+6+6=24 pode ser expressa pela multiplicação 6 x 4 =24. Os números 6 e 4 são conhecidos como os fatores (coeficientes) da multiplicação e o 24, como produto.
Nessa operação, o produto é formado pela multiplicação dos fatores.
Quando um dos fatores é um número inteiro de um algarismo, o produto é formado pela multiplicação desse número por cada algarismo do outro fator, da direita para a esquerda, mudando quando necessário.
Quando ambos os fatores são formados por números inteiros de mais de um algarismo, o produto é formado pela multiplicação de cada algarismo de um fator pelo outro. No exercício, o cuidado está, em quando escrever abaixo os produtos parciais formados, estar certo de que o algarismo da extremidade direita se alinha abaixo do algarismo da multiplicação. Este é então, um problema de adição simples para encontrar o produto final.
EXEMPLO: Determinar o custo de 18 velas de ignição, custando cada $3.25.
3, 25 x 18 2600 325 58,50
Quando se multiplica uma série de números, o produto final será o mesmo, independentemente da ordem pela qual esses números são organizados.
EXEMPLO: Multiplicar: (7) (3) (5) (2) = 210
Divisão dos números inteiros
O processo de descobrir quantas vezes um número está contido em um segundo número, é chamado divisão. O primeiro número é chamado o divisor; o segundo, o dividendo; e, o resultado é o quociente.
Das quatro operações básicas, a divisão é a única que envolve acertos e erros na solução. É necessário fazer tentativas quanto ao algarismo apropriado, ainda que a experiência tende a diminuir o número de tentativas, a forma incorreta pode acontecer uma vez ou outra.
Colocar a vírgula, corretamente no quociente, freqüentemente constitui uma dificuldade.
Quando se divide um número decimal por outro, um passo importante é eliminar a vírgula do divisor. Para conseguir basta mover a vírgula para a direita, em um número de casas necessário para eliminá-la.
A seguir, move-se a vírgula para a direita no dividendo tantas casas quanto forem necessárias mover no divisor, e procede-se como na divisão normal.
Uma fração é uma divisão indicada que expressa uma ou mais de uma das partes iguais, na qual uma unidade é dividida. Por exemplo, a fração 2/3 indica que o inteiro foi divido em 3 partes iguais, e que 2 dessas partes estão sendo usadas ou consideradas. O número acima da linha é o numerador e o número abaixo é o denominador.
Se o numerador de uma fração é igual ou maior que o denominador, a fração é conhecida como imprópria. Na fração 15/8, se a divisão indicada é efetuada, a fração imprópria é trocada para um número misto, que é um número inteiro, e uma fração:
Uma fração complexa é aquela que contém uma ou mais frações, ou números mistos, no numerador ou denominador. Os exemplos são:
1 2 ; 5 8 ; 3 4 ;
Uma fração decimal é obtida pela divisão do numerador de uma fração pelo denominador, e mostrando o quociente como um decimal. A fração 5/8 é igual 5:8 = 0,625.
Uma fração não muda seu valor, se tanto o numerador quanto o denominador, forem multiplicados ou divididos pelo mesmo número.
As mesmas operações fundamentais realizadas com números inteiros podem também ser realizadas com frações. São: adição, subtração, multiplicação e divisão.
Adição e subtração de frações ordinárias (comuns)
Para se adicionar ou subtrair frações, todos os denominadores devem ser semelhantes. No trabalho com frações, como os números inteiros, aplica-se regra de semelhança. Isto é,
7 21 105 ou 7 3 35 x3 x5 x 2 x5 x2 x6 21 105 210 35 6 210
apenas frações iguais podem ser adicionadas ou subtraídas.
Quando adicionamos ou subtraímos frações que têm denominadores iguais, é apenas necessário, adicionar ou subtrair os numeradores; e expressar o resultado como o numerador de uma fração, cujo denominador, é o denominador comum. Quando os denominadores são diferentes, é necessário primeiro reduzir as frações ao denominador comum, antes de continuar com o processo de adição ou subtração.
1 - Uma certa instalação de interruptor requer um "passeio" da haste, de 5/8 de polegada, antes que ocorra a atuação da mesma. Se for requerido um "passeio" de 1/8 de polegada após a atuação, qual será o "passeio" total da haste?
Passo 1: Somar os numeradores. 5 + 1 = 6
Passo 2: Expressar o resultado como numerador de uma fração cujo denominador é o denominador comum.
2 - O deslocamento total de um "macaco de rosca" é 13/16. Se o deslocamento em uma direção, vindo de uma posição neutra, é 7/16 de polegada, qual é o deslocamento na direção contrária?
Passo 1: Subtrair os numeradores. 13 - 7 = 6
3 - Encontrar o diâmetro externo de uma seção de tubo que tem 1/4 de polegada de diâmetro interno, e uma espessura de parede combinada de 5/8 de polegada.
Passo 1: Reduzir as frações ao denominador comum.
Passo 2: Somar os numeradores e expressar o resultado como numerador de uma fração cujo denominador é o denominador comum.
4 - A tolerância para a ajustagem da inclinação do aileron de um avião é 7/8, mais ou menos 1/5 de polegada. Qual é a inclinação mínima para a qual o aileron possa ser ajustado?
Passo 1: Reduzir as frações para o denominador comum.
Passo 2: Subtrair os numeradores e expressar o resultado como nos exemplos acima.
Cálculo do mínimo denominador comum
Quando os denominadores de frações a serem somadas ou subtraídas, são tais, que o mínimo denominador comum possa ser determinado imediatamente, o MDC (mínimo denominador comum) pode ser encontrado pelo método de divisão contínua.
Para encontrar o MDC de um grupo de frações, escreva os denominadores na linha horizontal. A seguir, divida os mesmos denominadores pelo menor número inteiro que dividirá dois ou mais dos denominadores, daí, descer para uma nova linha todos os quocientes e números que não foram divisíveis. Continuar este processo até que não tenha dois números na linha de resultados que sejam divisíveis por qualquer número inteiro que não seja um. Multiplica-se todos os divisores e os termos restantes na última linha para obter o máximo denominador comum.
EXEMPLO: Qual é o MDC para 7/8, 1/20, 8/36, 21/45?
Passo 1: Escrever os denominadores na linha horizontal e dividi-la pelo menor número inteiro, que dividirá exatamente dois ou mais dos números.
Passo 2: Continuar este processo até que não haja dois números na linha de resultado que sejam divisíveis por qualquer número inteiro, que não seja um.
2| 8 20 36 45 2| 4 10 18 45 2| 2 5 9 45 3 1 5 9 45 3| 1 5 3 15 5 1 5 1 5 1 1 1 1
Passo Final: Multiplicar todos os divisores e termos restantes na última coluna para obter o MDC.
MDC = 2x2x2x3x3x5 = 360
O produto de duas ou mais frações é obtido pela multiplicação dos numeradores para formar o numerador do produto; e pela multiplicação dos denominadores, para formar o denominador do produto.
A fração resultante é, então, reduzida para o seu menor termo. Um denominador comum não precisa ser encontrado para esta operação, já que o novo denominador, na maioria dos casos, será diferente de todas as frações originais. EXEMPLO:
Qual é o produto de 3/5 x 12/2 x 1/2?
Passo 1: Multiplicar os numeradores. 3 x 12 x 1 = 36
Passo 2: Multiplicar os denominadores. 5 x 2 x 2 = 20
Passo Final: Reduzir a fração resultante para o seu menor termo.
Cancelamento é a técnica de separar ou cancelar todos os fatores comuns que existem entre numeradores e denominadores. Isso ajuda na obtenção do produto, eliminando os cálculos mais pesados.
EXEMPLO: Qual é o produto de 18/10 x 5/3?
O produto poderia ser encontrado pela multiplicação de 18 x 5 e 10 x 3 e, então, dividindo o produto dos numeradores pelo produto dos denominadores. Entretanto, o método mais fácil de solução é pelo cancelamento. É evidente que o 10 no denominador e o 5 no numerador podem ser divididos por 5.
Da mesma maneira, o 18 e o 3 são divisíveis por 3.
O 6 resultante no numerador e o 2 no denominador são divisíveis por 2. 3
1 x 1 = 31
A fração está, portanto, reduzida aos seus menores termos; e os passos finais da divisão e multiplicação são realizados facilmente, quando comparados com tarefas de multiplicar e dividir as frações maiores.
A divisão de frações comuns é feita, convenientemente, por conversão do problema em uma multiplicação de duas frações comuns. Para dividir uma fração por outra, inverte-se a fração divisora, e multiplica-se os numeradores e denominadores. Isto é conhecido como o método do divisor invertido.
Lembre-se sempre da ordem em que as frações são escritas. É importante, na divisão, que as operações sejam realizadas na ordem indicada. Lembre-se também, que é sempre o divisor que é invertido, nunca o dividendo.
Os números mistos podem ser adicionados, subtraídos, multiplicados ou divididos; trocando-os pelas frações impróprias e procedendo como nas operações com outras frações.
Um pedaço de tubo medindo 6 3/16 de polegada é tirado de um pedaço de 24 1/2 de polegada. Levando em conta 1/16 de polegada para o corte, qual é a medida do pedaço restante?
Passo 1: Reduzir as partes fracionárias para frações semelhantes e completar o processo de subtração.
Passo 2: Subtrair as partes inteiras. 24 - 6 = 18
Passo Final: Combinar os resultados obtidos em cada passo.
18 + 1/4 = 18 1/4 de polegada
Números decimais são frações cujos denominadores são 10 ou múltiplos de 10, tais como 100, 10, 10.0, etc. Eles são indicados, escrevendo-se um ou mais algarismos para a direita de um sinal de referência chamado vírgula. Portanto:
ambos lido
ambos lido s seis decimais
6100 ambos lidos seis centesimos
61000 s seis milesimos
Quando escrevemos um número decimal, qualquer número de zeros pode ser escrito à direita, sem alterar seu valor. Isto pode ser ilustrado da seguinte maneira:
Figura 1-1 Circuito em série.
Quando operamos com números decimais, a regra de semelhança requer que se adicione ou subtraia apenas denominadores iguais. Essa regra foi discutida anteriormente sob o título de adição e subtração de números inteiros. Para somar ou subtrair expressões decimais, organize os decimais, de modo que as vírgulas se alinhem verticalmente, e some ou subtraia, como os inteiros. Coloque a vírgula no resultante diretamente abaixo da vírgula nos adendos, ou minuendo e subtraendo.
A resistência total do circuito em série (figura 1-1) é igual a soma das resistências individuais. Qual é a resistência total para o circuito mostrado neste exemplo?
Passo 1: Organize os números decimais na coluna vertical de modo que as vírgulas fiquem alinhadas.
Passo 2: Complete a adição seguindo a técnica usada na soma dos números inteiros. Coloque a vírgula no resultado diretamente abaixo das vírgulas das parcelas.
39,93 ohms
Subtração dos decimais
Um circuito em série contendo dois resistores tem uma resistência total de 37,27 ohms. Um dos resistores têm o valor de 14,8 ohms. Qual é o valor do resistor restante?
Passo 1: Coloque os números decimais na coluna vertical, de modo que as vírgulas fiquem no alinhamento. 37,27 - 14,8
Passo 2: Realizar a subtração, usando o procedimento de subtração dos números inteiros. Coloque a vírgula no resultado diretamente abaixo das outras vírgulas.
37,27 - 14,8 2,39
A multiplicação de um número decimal por outro sempre produzirá um resultado menor do que qualquer dos dois números. Quando um decimal é multiplicado por um número inteiro ou por um número misto, a resposta se posicionará entre os dois números.
Quando se multiplica uma fração decimal por um número inteiro ou uma outra fração decimal, a maior dificuldade consiste no posicionamento da vírgula.
Para multiplicar decimais, ignore as vírgulas e multiplique os termos, como se eles fossem números inteiros. Para localizar a vírgula no produto, comece da direita e siga para a esquerda o número de casas decimais, que serão iguais a soma de casas decimais, nas quantidades multiplicadas.