Aldeia Numaboa - 6. A Álgebra de Sistemas Secretos
6. A Álgebra de Sistemas Secretos
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Categoria: Papers
Atualização: Quarta, 17 Junho 2009 19:38
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Teoria da Comunicação de Sistemas Secretos
Parte 1 - Estrutura Matemática de Sistemas Secretos
Se tivermos dois sistemas secretos T e R, com frequência podemos combiná-los de vários modos para formar um novo sistema secreto S.
Se T e R possuírem o mesmo domínio (espaço de mensagem) podemos formar um tipo de "adição ponderada",
S = pT + qR
onde p + q = 1. Esta operação consiste em primeiramente fazer uma escolha preliminar com as probabilidades p e q, determinando qual dos T e R serão usados. Esta escolha faz parte da chave de S. Após esta determinação, T ou R serão usados como definido originalmente. A chave total de S precisa especificar qual de T e R será usado e qual chave de T (ou de R) será usada.
Se T consiste das transformações T1 , ..., Tm com probabilidades p1 , ..., pm e R consiste de R1 , ..., Rk com probabilidades q1, ..., qk, então S = pT + qR consiste respectivamente das transformações T1 , ..., Tm , R1 , ..., Rk com probabilidades pp1 , pp2 , ..., ppm , qq1 , qq2 , ..., qqk.
Generalizando, podemos formar a soma de inúmeros sistemas.
S = p1T + p2R + ... + pmU     onde pi = 1
Notamos que qualquer sistema T pode ser escrito como a soma de operações fixas
T = p1T1 + p2T2 + ... + pmTm
sendo Ti uma operação de cifragem definida de T, correspondendo à escolha da chave i cuja probabilidade é pi.
Uma segunda forma de combinar dois sistemas secretos é tomando o "produto", mostrado esquematicamente na Fig. 3. Suponha que T e R sejam dois sistemas e que o domínio (espaço da linguagem) de R possa ser identificado com a série (espaço de criptograma) de T. Neste caso podemos aplicar primeiro T à nossa linguagem, e depois R ao resultado deste processo de cifragem.
Fig. 3 - Produto de dois sistemas S = RT
Isto dá uma operação resultante S que escrevemos como um produto
A chave para S é composta pelas duas chaves de T e R, onde se assume que tenham sido escolhidas independentemente e de acordo com as suas probabilidades originais. Portanto, se m chaves de T, com probabilidades
p1 p2 ... pm
são escolhidas, e n chaves de R têm as probabilidades
p'1 p'2 ... p'n
então S tem no máximo mn chaves com probabilidades pi p'j. Em muitos casos, algumas das transformações por produto RiTj serão as mesmas e podem ser agrupadas somando-se suas probabilidades.
A cifragem por produto é usada com frequência; por exemplo, segue-se uma substituição com uma transposição ou uma transposição com uma Vigenère, ou aplica-se um código ao texto e o resultado é cifrado com uma substituição, transposição, fracionamento, etc.
Deve-se notar que a multiplicação nem sempre é comutativa (não é sempre que temos RS = SR), apesar de o ser em casos especiais, como na substituição e na transposição. Uma vez que ela representa uma operação, por definição ela é associativa. Isto é, R(ST) = (RS)T = RST.
Além disso, temos as leis
p(p'T + q'R) + qS = pp'T + pq'R + qS
(a lei da associação ponderada para a adição)
T(pR + qS) = pTR + qTS
(pR + qS)T = pRT + qST
(leis da distribuição à direita e à esquerda) e
p1T + p2T + p3R = (p1 + p2)T + p3R
Deveria ser enfatizado que estas operações combinantes de adição e de multiplicação aplicam-se aos sistemas secretos como um todo. O produto de dois sistemas TR não deve ser confundido com o produto das transformações nos sistemas TiRj, que também aparecem com frequência neste trabalho. O primeiro, TR, é um sistema secreto, isto é, um conjunto de transformações com probabilidades associadas; o último é uma transformação em particular. Além disso, a soma de dois sistemas pR + qT é um sistema - a soma de duas transformações não está definida. Os sistemas T e R podem comutar sem a comutação individual de Ti e Rj, isto é, se R for um sistema Beaufort de período dado, com chaves igualmente prováveis, em geral
RiRj  RjRi
mas, é claro que RR não depende da ordem; na verdade
RR = V
uma Vigenère de mesmo período com chave randômica. Por outro lado, se os elementos Ti e Rj de dois sistemas T e R comutarem, então o sistema comuta.
Um sistema cujos espaços M e E possam ser identificados, um caso muito comum quando sequências de letras são transformadas em sequências de letras, pode ser denominado de endomórfico. Um sistema endomórfico T pode ser elevado a uma potência Tn.
Um sistema secreto T, cujo produto com ele mesmo é igual a T, isto é, para o qual
TT = T
será denominado de idempotente. Por exemplo, substituição simples, transposição de período p, Vigenère de período p (todos com cada chave igualmente provável) são idempotentes.
O conjunto de todos os sistemas secretos endomórficos definidos num espaço de mensagem fixo constitui uma "variedade algébrica", isto é, um tipo de álgebra, usando as operações de adição e multiplicação. De fato, as propriedades da adição e da multiplicação que discutimos podem ser resumidas da seguinte maneira:
O conjunto de cifras endomórficas com o mesmo espaço de mensagem e as duas operações de combinação, a adição ponderada e a multiplicação, formam uma álgebra associativa linear com um elemento unitário, independentemente do fato de que os coeficientes duma adição ponderada precisarem ser não-negativos e a soma dos mesmos ser a unidade.
As operações de combinação nos fornecem um meio de construir muitos tipos novos de sistemas secretos à partir de outros, como nos exemplos dados. Também podemos usá-las para descrever a situação que um criptanalista enfrenta quando tenta solucionar um criptograma de tipo desconhecido. Na realidade, ele está solucionando um sistema secreto do tipo
T = p1A + p2B + ... + prS + p'X p = 1
onde A, B, ..., S são tipos conhecidos de cifras, com suas pi probabilidades a priori nesta situação, e onde p'X corresponde à possibilidade de um tipo completamente novo e desconhecido de cifra.
Tradução vovó Vicki
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