Soluções semana 11 – Noic
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Soluções semana 11
Por leves problemas técnicos com a figura, considere como sendo e como sendo . Agora vamos aplicar os teoremas de Ceva e Menelaus (que vimos na semana passada) nesse problema.
Por Menelaus com a reta , sabemos que
Por CEVA com as cevians e temos
Igualando as duas equações obtidas acima e cancelando os termos iguais nos resta que era a nossa meta desde o início!
Poblema Intermediário
A ideia para provar esse caso, pode ser generalizada para provar MA-MG para termos!
Sabemos que . Trocando e por e , respectivamente, temos e a MA-MG seria provada para dois termos, mas não é bem isso que nós queremos, não é mesmo?
Para quatro número não negativos quaisquer, podemos fazer e .
Considerando o nosso como sendo e o como sendo ficamos com e usando e . Poxa! Agora fizemos MA-MG para 4 termos! Tudo menos o que queríamos.
Mas agora vemo o detalhe importante: sõ quaisquer números não negativos. então, escolhidos faça Agora o que obtemos é:
Numere os pontos de até , em ordem, da esquerda para a direita. Olhando para um bloco de números consecutivos, se garantirmos que lá há exatamente pontos azuis, acabamos o problema, pois sabemos que os outros pontos serão vermelhos.
Olhe para os blocos de a e de até . Como temos um total de pontos azuis, se nenhum desses dois blocos tiver exatos pontos azuis (caso contrário o problema acabaria) quer dizer que um tem mais e o outro tem menos do que pontos da cor azul. Suponha sem perda de generalidade que o primeiro bloco é o que contem mais pontos azui do que queremos.
Notação: bloco de até será chamado somente de bloco .
Agora vamos analisar cada bloco de pontos da esquerda para a direita. Observe que a quantidade de pontos azuis do bloco para o bloco :
Aumenta por 1: se é vermelho e é azul.
Diminui em 1: se é azul e é vermelho.
Permanece a mesma: se e tem a mesma cor.
Logo, perceba que, passando pelos blocos de um em um, a quantidade de pontos azuis varia discretamente de em . Mas, como começamos nossa análise com o primeiro bloco, que tem mais de pontos azuis, e terminamos a análise com o último bloco possível de pontos, que tem menos de pontos azuis, podemos concluir que para algum bloco no meio do caminho a quantidade de pontos azuis nele será exatamente . Assim, provamos a existência do bloco pedido sem ter que achar a sua posição exata e o problema acabou!