Analisando-se a figura anterior, eis as doze possibilidades de resposta, bem como as respetivas somas:
Como se pode constatar, a menor soma tem o valor 32 e a maior soma tem o valor 72. Além disso, existem dez somas diferentes.
Como serão as investigações em que se inicia (a) pelos círculos de valor 2 e 6 e, (b) pelos círculos de valor 2 e 8? Quais as respetivas somas mínimas e as respetivas somas de maior valor? Quantas somas diferentes existem para cada um desses dois casos?
Em mais um gesto de pouca modéstia, venho aproveitar este espaço para divulgar a publicação do meu mais recente livro. Intitulado Xavier e o Pensamento Algébrico, este livro foi publicado pela Associação de Professores de Matemática (APM) e teve o seu lançamento no dia de ontem na bonita cidade de Coimbra, no Encontro Nacional de Professores de Matemática (ProfMat 2012).
Como o título sugere, trata-se de um livro que se dedica ao tema do Pensamento Algébrico. Trata-se de um tema atual no novo programa de matemática para o Ensino Básico em Portugal, pois, como refere a sua prefaciadora, Profª. Doutora Isabel Cabrita, da Universidade de Aveiro, "O desenvolvimento do pensamento algébrico constitui-se o principal objetivo que um dos quatros temas matemáticos que estrutura aquele programa - Álgebra - persegue".
O livro relata a relação de enorme cumplicidade cognitiva entre um aluno apaixonado pela Matemática - Xavier - e o seu professor de Matemática - Professor Artur. Durante 23 dias úteis de um determinado mês, o professor Artur, via e-mail, desafia o Xavier com situações matemáticas associadas a este tema, situações essas que o Xavier resolve com grande mestria!
Este livro visa comunicar com os seus leitores, pelo que contempla, para cada situação analisada, um desafio ao leitor.
No início de mais uma ano letivo renovo os votos de boas aprendizagens matemáticas, sobretudo alicerçadas em bons ambientes de investigação e desafio da inteligência humana.
Para iniciar mais um ano de publicações regulares, resultantes de algumas reflexões que continuarei a fazer em torno de conceitos matemáticos, apresento algumas conexões matemáticas a partir de alguns pares ordenados.
Vejamos o exemplo seguinte: {(0, 15); (2, 12); (4, 9); (6, 6); (8, 3); (10, 0)}. Que comentários poderemos fazer relativamente a este conjunto numérico?
- O 2º termo de cada par ordenado é um múltiplo de três, resultante da fórmula "3n", sendo "n" um número inteiro, iniciado no 5 e terminando no 0.
Curioso, de facto! Os resultados obtidos obedecem, também eles, a uma nova regularidade: 45, 40, 35, 30, 25, 20, decrescendo de 5 em 5, iniciando no 45 e terminando no 20.
Voltando à função 3x + 2y = 30, faça-se um estudo semelhante para as seguintes novas funções: 3x + 2y = 40 e 3x + 2y = 50. Quais são os pares ordenados que funcionam para cada caso? Há algum tipo de regularidade entre eles?
Tem sido hábito neste blog eu suscitar a reflexão relativamente às múltiplas maneiras como os números se podem relacionar entre si. Muitas vezes essas relações são explícitas e evidentes, outras carecem de alguma investigação, suportada inicialmente apenas por intuição, intuição essa que acaba por gerar descoberta ou confirmação de relações matemáticas aparentemente inexistentes.
O exemplo que trago para ajudar a confirmar este segundo tipo de relações numéricas assenta na seguinte figura, constituídas pelos primeiros oito números naturais consecutivos:
Curiosamente, se colocarmos as várias somas obtidas em linha, verificamos que existe uma regularidade numérica, pois o que acontece antes do valor central, volta a ocorrer a seguir a ele, num processo simétrico:
Se se substituírem os valores iniciais pelos seus respetivos dobros, o que é previsível que aconteça? Consegue antever a menor e a maior das somas?
Uma vez mais, constata-se a existência de uma regularidade de cariz simétrica, tendo em conta o valor central.
Note-se que estivemos a fazer com estudo envolvendo os primeiros oito números pares. O que ocorrerá se se comparar este estudo com um outro, envolvendo os primeiros oito números ímpares?
Por vezes questiono-me acerca do que é que as pessoas pensam ao contactarem com um determinado conjunto de símbolos numéricos a que chamamos vulgarmente, em contexto de aula de matemática, numerais.
Por exemplo, vejamos o seguinte conjunto de quatro numerais: 4, 12, 24, 40. O que pensamos ao vermos estes símbolos? Será que todos os analisamos da mesma forma? Será que para cada um de nós eles representam a mesma coisa? Deixo o desafio a cada um dos meus leitores poder escrever o que pensa acerca do conjunto destes quatro numerais.
- Que o primeiro deles não se relaciona com os demais por ser o único que é formado por um só dígito?
- Que o segundo não se relaciona com os demais por ser o único cuja soma dos seus dígitos não origina um número par?
- Que todos podem ser decompostos numa adição de um número oblongo [a x (a + 1)] com o dobro de um número triangular (n2 + n) : 2? De facto:
- Que outras interpretações podem ser feitas em relação a tão enigmática sequência numérica? Que número lhes poderá dar continuidade?
Qual a lei geral para cada um dos oitos casos propostos na tabela acima? Com base nessas leis, qual o décimo elemento desta sequência numérica?
A título de exemplo, vejamos o último caso, em que se adiciona um número oblongo ao dobro de um número triangular. Ora, uma vez que a lei que gera os números oblongos é [n x (n + 1)] e a lei que gera os números triangulares é (n2 + n) : 2, então da sua adição resultam os seguintes cálculos:
Comprove se, de facto, o valor 220 é o 10º elemento desta sequência nos restantes sete casos analisados.
Dar conta de que a Matemática é uma ciência apaixonante tem sido uma das maiores motivações que me levam a alimentar este blog. Seria para mim muito gratificante que os leitores dos meus artigos pudessem considerar este blog como um espaço virtual capaz de suscitar a reflexão acerca de como podemos levar para o contexto de sala de aula o fascínio e a magia que a Matemática encerram. Desde logo o tema das conexões matemáticas tem ocupado um lugar de relevo, por entender que devemos evidenciar a vertente harmoniosa desta ciência, onde os conceitos parecem "conversar" entre si, transportando-nos para cenários de rara beleza.
Para este novo post voltei a escolher o tema dos números de fibonacci por entender que fazem parte de um conjunto enigmático e com bastantes conexões no seio da Matemática e ao nosso quotidiano. Refiro-me, pois, ao seguinte conjunto numérico: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... Note-se que, à exceção dos dois primeiros termos, cada termo seguinte desta sequência resulta sempre da adição dos dois que imediatamente o antecedem.
Assim, como situação inicial vou socorrer-me de uma tarefa proposta numa Tese de Mestrado que tive a felicidade de arguir muito recentemente, da autoria da professora Helena Felgueiras*. Ora, na página 205, esta investigadora propõe o seguinte enunciado:
"A Isabel está a treinar o seu gato Tareco a subir uma escada. O Tareco só dá saltos de um ou dois degraus e nunca salta para trás, só para a frente. Como pode o tareco subir uma escada com cinco degraus? Será que encontras outra maneira de ele subir? Explica como pensaste para resolver a questão".
* - Felgueiras, H. (2011). A resolução de problemas através da descoberta de padrões: um estudo com alunos do 1º ano de escolaridade. Viana do Castelo: Escola Superior de Educação. Tese de Mestrado.
Tal como o título da tese sugere, esta situação problemática foi concebida para ser solucionada por alunos do 1º ano do 1º Ciclo do Ensino Básico português. O desejável era que os alunos pudessem descobrir as oito possibilidades de solução: