Próxima: Tolman-Oppenheimer-Volkoff Volta: Equilíbrio Hidrostático na Relatividade Geral
Karl Schwarzschild (1873-1916) estudou em 1916 o espaço em volta da estrela, onde o tensor momentum-energia é nulo. Neste caso, a equação de Einstein se reduz a:
Das equações (1.94) e (1.95) obtemos:
Esta equação indica que podemos colocar , e integrar, obtendo:
Para que no limite no caso de campo gravitacional fraco a equação de campo de Einstein se reduza à equação de Poisson, a da equação (1.98) deve ser identificada com , onde é o potencial gravitacional da mecânica clássica. Note que M é a massa total do sistema, como no caso Newtoniano. Com este valor, a métrica se reduz a:
conhecida como a métrica de Schwarzschild, e que tem um horizonte de eventos no raio de Schwarzschild
O raio de Schwarzschild não é uma singularidade, pois pode ser removido com uma transformação de coordenadas.
A distância propria nesta métrica pode ser estimada por:
Para a massa do Sol, o raio de Schwarzschild é de 3 km, e a distância própria entre r=4 km e r=5 km é
Deste modo, se construirmos uma barra rígida com comprimento de 1,7 km em uma estação espacial muito distante desta massa, veremos que esta barra caberá entre 4 e 5 km [Edward Lewis Robinson (1945-), Black Holes].
Pela equação (1.99), vemos que o intervalo de tempo da coordenada tempo e o intervalo de tempo próprio estão relacionados pela equação
O intervalo de tempo próprio representa o intervalo de tempo medido em um sistema em repouso na coordenada r. Para um observador estacionário (dr=dθ=dφ=0) no infinito ( ), o tempo próprio coincide com t.
Próxima: Avermelhamento Gravitacional Próxima: Tolman-Oppenheimer-Volkoff Volta: Equilíbrio Hidrostático na Relatividade Geral