Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.
BLOG DE MATEMÁTICA RECREATIVA
Neste Blog pretendo criar um espaço propício à reflexão sobre o tema da Matemática Recreativa. Nele poderemos propor tarefas susceptíveis de poderem ser levadas à sala de aula de Matemática: quebra-cabeças, jogos, enigmas, puzzles, etc.
Kakuro e pensamento aritmético
Setembro 10, 2010
Paulo Afonso
No artigo anterior tive a oportunidade de me debruçar sobre a potencialidade que o jogo do Sudoku tem ao nível do desenvolvimento da comunicação matemática de quem seja solicitado a explicar oralmente e/ou por escrito o preenchimento numérico das células vazias de cada conjunto de números naturais consecutivos. Para o artigo desta semana continuo a dedicar atenção a mais um jogo de desenvolvimento do raciocínio lógico-matemático, de nome Kakuro. Como refere Moore* (2005), "O nome kakuro resulta da contracção da palavra japonesa «adição» com a pronunciação japonesa da palavra inglesa «cross», que em português significa cruzar" (p. 7). Em síntese, poder-se-á dizer que se trata de um jogo de "somas cruzadas".
* - Moore, G. (2005). O Livro do Kakuro. Queluz de Baixo: Editorial Presença.
Vejamos um exemplo, extraído do livro supra referido:
Para se perceber melhor o que é necessário fazer-se, vamos centrar a nossa atenção apenas nas cinco células vazias do canto superior esquerdo da figura:
As setas indicam o sentido em que estas células têm de estar afectas aos números "pista" que são fornecidos. Sendo assim, a seta superior horizontal indica que as duas células que estão à direita do valor 3 terão de conter dois números naturais não repetidos, cuja soma seja 3. Por sua vez, a seta horizontal de baixo indica que as duas células à direita do 4 terão de ser preenchidas com dois números naturais, diferentes entre si, cuja soma seja 4. Contudo, o desafio de se preencherem estas quatro células não pode deixar de ter em consideração as setas verticais, isto é, a seta vertical da esquerda indica que por baixo do valor 4 terão de ser colocados dois números naturais diferentes entre si, cuja soma seja 4. Por sua vez, a seta vertical da direita indica que as tês células existentes por baixo do 7 terão de ser preenchidas por três números naturais diferentes entre si, cuja soma será precisamente o valor 7.
Tendo em conta todas as condições acabadas de descrever, eis que apenas uma das duas possibilidades de resolução é correcta, por nunca repetir os números numa mesma adição. Trata-se da figura da direita:
Note-se que na figura da esquerda para a segunda adição horizontal repete o valor 2, o que não é permitido neste jogo. Sendo assim, a figura inicial poderia ser preenchida nesta parte:
Centremos agora a nossa atenção numa outra parte da figura, designadamente na sua parte direita:
Tendo em conta as várias adições horizontais e verticais a fazerem-se, eis uma possível solução para a parte superior desta figura:
Continuando, facilmente se percebe que em termos de raciocínio aritmético se deve afectar o valor 8 à soma 24. Por outro lado, a quadrícula do canto inferior direito também é de fácil preenchimento:
Agora torna-se fácil sugerir o valor 3 para o que resta da adição vertical de soma 6:
Centremo-nos, agora, numa outra parte da figura, o canto inferior esquerdo:
Uma vez mais, cruzando as duas somas horizontais com as duas somas verticais, eis uma possível solução:
Transportemo-la para a figura inicial:
Restam apenas os quatro valores centrais. Estes estão dependentes simultaneamente de duas adições horizontais cujas somas são, respectivamente, 8 e 6, bem como de duas adições verticais cujas somas são, respectivamente, 11 e 12. No caso da soma horizontal de valor 8 já existe uma parcela de valor 4, faltando apenas o preenchimento de duas parcelas cujo valor total terá de ser também 4. Não se podendo repetir o valor 2, pode optar-se por se colocar o valor 1 e o valor 3:
Por sua vez, para a soma 12 vertical falta o valor 1:
Por fim, para a soma vertical 11 e para a horizontal 6 falta apenas o valor 2:
Confirma-se, pois, que cada soma tem as suas respectivas parcelas correctamente preenchidas.
Com base nesta análise preencha o jogo seguinte, extraído, igualmente da obra de Moore supra citada:
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Registar os números inteiros com o minicomputador Papy
Novembro 23, 2009
Paulo Afonso
Enquanto professor de Didáctica da Matemática sou um fiel adepto da utilização de materiais manipuláveis para o ensino-aprendizagem dos conceitos matemáticos. Geoplanos, tangrans, calculadores multibásicos, material Cuisenaire, blocos lógicos, polidrons, poliminós, blocos padrão, etc., costumam fazer parte das minhas aulas. Contudo, hoje vou dedicar a minha reflexão a um outro material manipulável, pouco conhecido em Portugal, a avaliar pelos escritos que existem. Refiro-me ao minicomputador Papy. Trata-se de um material didáctico estruturado para o ensino do cálculo aritmético elementar e foi concebido por Geoges Papy, professor da Faculdade de Ciências na Universidade de Bruxelas. Nos próximos artigos irei explorá-lo para o cálculo, mas desta vez irei apenas demonstrar como é o seu funcionamento ao nível do registo de quantidades inteiras.O seu aspecto é o seguinte:
Em homenagem ao matemático Cuisenaire, Papy utilizou estas quatro cores para representar os mesmos valores numéricos que o material Cuisenaire.
Assim, se uma peça ou uma marca estiver posicionada na quadrícula branca estará a representar a quantidade 1; se estiver na quadrícula vermelha representará a quantidade 2; se estiver na rosa representará a quantidade 4 e se estiver na castanha representará a quantidade 8. Logo, trata-se de um material que se baseia na base 2 ou binário:
Quantidade 1 Quantidade 2 Quantidade 4 Quantidade 8
Este material serve, pois, para se representarem as restantes quantidades inteiras até ao 9 inclusive:
3 = 1 + 2 5 = 1 + 4 6 = 2 + 4 7 = 1 + 2 + 4 9 = 1 + 8
Este material só permite, pois, a existência de uma marca em cada quadrícula, como se pode observar acima. Por outro lado, caso exista uma marca na quadrícula castanha (valor 8) já não pode haver marca na quadrícula vermelha (valor 2) ou na quadrícula rosa (valor 4). De facto, estar-se-ia para cada caso anterior a atingir a ordem das dezenas, pelo que seria necessário juntar uma nova placa. Veja-se como se representa, então, o valor 10 e o valor 12:
Quantidade 10 (10 + 0) Quantidade 12 (10 + 2)
Percebendo-se estas regras básicas, como se representa, por exemplo, a quantidade 357?
A resolução passa por se usar uma nova placa para representar a ordem das centenas. Ora, como sabemos que 357 = 300 + 50 + 7 e que 300 = 100 + 200; 50 = 10 + 40; 7 = 1 + 2 + 4, então fica assim:
Imagine-se que um pastor pretendia representar a quantidade de ovelhas do seu rebanho usando este tipo de material. Ao utilizá-lo obteve a seguinte representação. Está bem preenchido? Quantas ovelhas terá o pastor?
Podemos constatar que o calculador foi usado incorrectamente. Por isso vamos dispor as marcas de forma precisa e correcta. Convém fazê-lo por etapas ou por partes:
1º - dois grupos de 2 origina um grupo de 4:
Tendo sido substituídos esses dois grupos de 2 por um de 4, resulta que temos um grupo de 8 e um grupo de 4, pelo que a quantdade resultante 12 deverá ser convertida numa dezena e em duas unidades:
Constata-se agora que há duas dezenas, pelo que têm que ser substituídas por um grupo de 20:
Por sua vez, dois grupos de 40 terão de ser substituídos por um grupo de 80:
Um grupo de 80 e um grupo de 20 deverão dar origem a uma centena:
Por sua vez, duas centenas originarão um grupo de 200:
Eis o resultado final de 203 ovelhas:
Em síntese e fazendo-se todas as alterações num mesmo esquema, o seu aspecto gráfico deverá ser o seguinte: