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Na leitura de “As Vantagens do Pessimismo” do filosofo britânico Roger Scruton chamou-me a atenção a antiguidade da escola secundária High Wycombe Royal Grammar School, frequentada pelo autor, estabelecimento de ensino público (gratuito) fundado em 1542 em High Wycombe, Buckinghamshire. A questão remete-me para o significado e importância da longevidade das instituições e só a título de exemplo, através de consulta rápida na Internet, descubro que a fundação Banco Barclays e a águia representada como seu logotipo ascende ao ano de 1690 e que a origem do reputado semanário londrino The Spectator remonta a 1711.
A resiliência de instituições, organismos e empresas reflecte muito sobre a comunidade de que emanam, e o facto é que em Portugal é corriqueiro que se extingam e substituam a recomeçar zero numa vertigem parola como se não houvera ontem. Irónico como a bandeira do nosso País de quase 900 anos de história tem pouco mais de 100 anos e que, por exemplo, a nossa rádio nacional hoje “Antena um” já tenha mudado de nome e de imagem vezes sem conta desde a sua criação como Emissora Nacional em 1935.
Tudo isto vem a propósito não das consequências da crise do BES, mas das celebrações dos 150 anos que o Diário de Notícias irá completar no final do mês de Dezembro e que, a par com o jornal Açoriano Oriental (1835) e o semanário Aurora do Lima (1855), são os últimos títulos centenários resistentes. Admirador confesso da marca que me habituei a conviver de tenra idade em casa dos meus avós, tenho a confessar que por estes dias já só leio o DN aos Domingos, muito por causa das finas e humoradas crónicas de Alberto Gonçalves que os gritinhos histéricos do Pedro Marques Lopes na página do lado não conseguem ofuscar. Quanto ao mais fui deixando de acompanhar o jornal que na minha fantasia vejo como o tablóide de Viriato Soromenho Marques para quadros médios do funcionalismo público de Lisboa e arredores. Muito pouco para um jornal com tanta história, cujos dados mais recentes apontam para um acelerado declínio de vendas, apesar das diversas restruturações e operações de cosmética efectuadas nos últimos anos.
Tenho para mim que uma marca antiga e com tanta história como a que ostenta o Diário de Notícias possui, só por isso e apesar da crise, uma incalculável vantagem competitiva no mercado da comunicação social. A não ser que dentro daquelas paredes se não tenha sabido preservar e transmitir o capital de saber acumulado que deveriam conferir 150 anos de experiência. E que os seus actuais gestores não saibam merecer esse legado: o Diário de Notícias não é uma marca qualquer.

Dos “Relatos de um peregrino russo” – O mal se enraíza nesses quatro pecados: não amas a Deus, odeias teu próximo, não crês no Verbo de Deus e és puro orgulho e ambição
Um peregrino russo chegou para se confessar a um padre e, assim que terminou a confissão, o padre lhe disse:
— Meu caro amigo, grande parte do que escreveste é totalmente fútil. Escuta. Antes de tudo, não confesses nunca os pecados já acusados e perdoados. Esquece-te deles; seria pôr em dúvida o sacramento da penitência. A seguir, não rememores as outras pessoas associadas a teus pecados; julga-te apenas a ti mesmo. Em terceiro lugar, os santos padres nos proíbem de mencionar todas as circunstâncias dos pecados e aconselham confessá-los em termos gerais, de modo a afastar a tentação tanto de nós mesmos quanto do padre. Em quarto lugar, vieste para arrepender-te e não te arrependeste, por não saberes arrepender-te; quer dizer: tua penitência é morna e negligente. Em quinto lugar, tu te detiveste em minúcias; o mais importante, porém, foi omitido: não expuseste os pecados mais relevantes: não confessaste, nem escreveste que não amas a Deus, que odeias teu próximo, que não crês no Verbo de Deus e que tu mesmo só és orgulho e ambição. O mal se enraíza nesses quatro pecados, origem de toda a nossa depravação espiritual. São as raízes mestras de onde brotam todos os pecados nos quais caímos.
— Perdoai-me, meu Pai, mas como é possível não amar a Deus, nosso Criador e Salvador? Em que podemos crer, se não no Verbo de Deus, no qual reside toda verdade e santidade? Desejo o bem a todos os meus semelhantes; por que motivo os odiaria? Nada tenho de que possa me orgulhar; aliás, repleto de pecados, nada tenho que seja merecedor de elogios; e que poderia ambicionar na pobreza em que vivo e com minha débil saúde? Estou convencido de que, se eu fosse um homem instruído e rico, então, sem dúvida, incorreria nas faltas que mencionastes.
— Que lástima, caro irmão, não teres compreendido nada do que expus. Acredito que aprenderás mais depressa se te mostrar estas notas. Sirvo-me delas para minhas próprias confissões. Lê-as até o fim e verás claramente a prova exata do que te acabei de dizer: Uma confissão que leva o homem interior à humildade. Voltando os olhos atentamente sobre mim mesmo e examinando as disposições de minha consciência, verifiquei, por experiência própria, que não amo a Deus, que não amo os meus semelhantes, que não tenho fé, que sou cheio de orgulho e de ambição. Tudo isso encontro, realmente, em mim, após um exame minucioso de meus sentimentos e de minha consciência. Portanto:
Cada pensamento de Deus me causaria prazer e deleite. Pelo contrário, o mais das vezes, e bem mais ardentemente, penso nas coisas do mundo, e pensar em Deus, para mim, é trabalho e aridez. Se amasse a Deus, falar com Ele durante a oração seria o meu alimento e a minha alegria e me levaria a uma comunhão ininterrupta com Ele. Ao contrário, porém, não somente não encontro prazer algum na oração como ainda a faço com esforço. Luto com aversão, esmoreço pela preguiça e estou sempre pronto a me empenhar em qualquer ninharia, desde que abrevie a oração ou dela me desvie. Meu tempo voa quando me dedico a ocupações fúteis, mas, quando estou em colóquio com Deus, quando me ponho em sua presença, as horas parecem não passar. Quem ama alguém pensa nele sem interrupção, cria na mente a sua imagem, zela por ele e em nenhuma circunstância o ser amado sai de seus pensamentos. No meu caso, durante o dia inteiro, é a custo que reservo uma hora para mergulhar-me na presença de Deus, para inflamar meu coração em sua lembrança, enquanto me entrego totalmente, vinte e três horas, em fervorosas oferendas aos ídolos de minhas preferências. Só me agrada falar de assuntos fúteis e que degradam a alma: sinto prazer nisso. Mas, quando se trata de meditar sobre Deus, surgem a aridez, o tédio e a preguiça. Mesmo quando, involuntariamente, a conversa toma um rumo espiritual, esforço-me em desviá-la para retomar o assunto de que gosto. Sou insaciavelmente curioso pelas novidades e acontecimentos políticos; procuro, com empenho, satisfazer o meu amor às ciências e às artes. Mas o estudo da Lei de Deus, o conhecimento de Deus e da fé pouco me atraem e não correspondem a uma necessidade de minha alma. Não somente as considero como ocupação não essencial para um cristão, mas ainda, quando a ocasião se apresenta, as tomo por espécie de supérfluo, que poderá preencher minhas horas de lazer em momentos disponíveis. Finalmente, se reconhecermos o amor a Deus pela observância de seus mandamentos (“Se me amais, observai os meus mandamentos”, diz nosso Senhor Jesus Cristo), não somente não os observo como ainda pouco me esforço por fazê-lo, e, reconhecendo bem, concluo que não amo a Deus. É o que diz Basílio, o Grande: “A prova de que um homem não ama a Deus e seu Cristo consiste no fato de não observar os seus mandamentos”.
pois não somente sou incapaz de sacrificar a minha vida por ele, conforme pede o Evangelho, como não renuncio à minha comodidade, ao meu bem-estar e à minha paz pelo bem do próximo. Se eu o amasse como a mim mesmo, conforme o Evangelho manda, as suas aflições me entristeceriam e eu saberia me regozijar com a sua felicidade. Acontece o contrário: ouço histórias curiosas e dolorosas sobre meu próximo sem me afligir; elas não me perturbam de modo algum ou, o que vem a ser pior, me causam certo prazer. O mau comportamento de um irmão, em vez de ser por mim encoberto com amor, é proclamado com críticas. Seu bem-estar, suas honrarias e alegrias não me regozijam como se fossem meus, nem me provocam qualquer prazer especial, como se eu nada tivesse a ver com eles. O pior é suscitarem insidiosamente em mim a inveja ou o desprezo.
Se estivesse firmemente convencido de que, sem dúvida alguma, além do túmulo, existe a vida eterna e a recompensa dos atos desta vida, nisso pensaria continuamente. A própria ideia da imortalidade me cumularia de temor e eu passaria por esta vida como um estrangeiro que se prepara para a volta definitiva ao seu país natal. Comigo, dá-se o contrário: nunca penso na eternidade e considero o fim desta vida terrena como o limite de minha existência. Nem sempre consigo reprimir este escuso pensamento: que sucederá no momento da morte? Se digo que creio na imortalidade, trata-se de uma afirmação teórica; o meu coração está longe de possuir tal convicção. Minha conduta e a preocupação constante de satisfazer a vida dos sentidos o testemunham com toda a evidência. Se o meu coração tivesse fé no santo Evangelho como Palavra de Deus, dele me ocuparia continuamente, procuraria aprofundá-lo, nele me deleitaria e a ele prenderia a minha atenção com profundo fervor. A sabedoria, a graça, o amor estão ali escondidos, e, noite e dia, eu me regozijaria no estudo da Lei de Deus. Seria meu alimento, meu pão cotidiano, e o meu coração cumpriria espontaneamente as suas leis. Nada no mundo teria força suficiente para me desviar da Palavra de Deus. No entanto, se de tempos em tempos eu leio ou escuto essa Palavra, é apenas como necessidade ou curiosidade natural; aliás, não presto maior atenção a tal leitura e a considero insípida e sem interesse. Chego, geralmente, ao fim de minha leitura sem proveito algum, sempre disposto a trocá-la por um livro mundano que me proporciona maior prazer e onde encontro assuntos novos e interessantes.
Todas as minhas ações o confirmam. Descobrindo algo bom em mim, desejo logo realçá-lo, vangloriar-me diante dos outros ou de mim mesmo, para me satisfazer com este bem. Embora simule uma humildade exterior, o atribuo a méritos meus e considero-me superior aos outros ou, pelo menos, não pior do que eles. Se reconheço uma falta em mim, procuro justificá-la e encobri-la, apresentando motivos deste teor: “nasci assim” ou “ninguém tem de que me censurar”. Irrito-me com aqueles que não me tratam com respeito e os considero incapazes de apreciar o valor das pessoas. Vanglorio-me dos meus dons; considero os fracassos de meus empreendimentos como um insulto pessoal. Sinto prazer com as desventuras de meus inimigos. Se me esforço por fazer alguma boa ação é com fim de me favorecer com certa honraria, é busca de uma satisfação espiritual ou consolação terrena. Em resumo, continuamente faço de mim um ídolo a quem sirvo sem interrupção, procurando em toda coisa um alimento para as minhas paixões e cobiças.
Ao examinar todos esses pontos, chego à conclusão de que sou orgulhoso, corrupto, incrédulo, sem amor a Deus e de que odeio o meu próximo. Que condição poderia ser mais culpável? A dos espíritos das trevas é melhor do que a minha. Eles, embora não amem a Deus, odeiem os homens e vivam de orgulho, pelo menos creem e tremem. E eu? Poderá haver destino mais implacável do que este que se apresenta a mim? E que sentença será mais severa do que aquela que vai julgar a vida despreocupada e louca que reconheço ser a minha?
Ao ler, do princípio ao fim, este modelo de confissão que o sacerdote me dera, fiquei perplexo e pensei: “Deus do céu! Que pecados assustadores se escondem em mim e, até agora, não os havia notado!”. O desejo de me purificar me fez pedir àquele verdadeiro pai espiritual que me revelasse as causas de todos esses males e seus remédios.
Não amar a Deus, querido irmão, é consequência de uma fé deficiente; e a causa dessa deficiência é a recusa a estudar a ciência verdadeira e sagrada, é o descaso às luzes da alma. Numa palavra: se não tens a fé, não podes amar; se não és convicto, não podes amar e, para chegar a esta convicção, é preciso que tenhas total e exato conhecimento do problema. Pela meditação, pelo estudo da Palavra de Deus e pela observação de tuas próprias experiências, deves despertar em tua alma uma sede, um anseio ou, como alguns denominam, uma “admiração” que suscita um insaciável desejo de tudo conhecer mais de perto e mais profundamente, a fim de assimilar a sua natureza. Um escritor espiritual assim se exprime: “O amor, geralmente, cresce com o conhecimento e, quanto maior a profundidade e extensão do conhecimento, mais amor haverá; com maior facilidade o coração se submeterá e se abrirá ao amor a Deus, contemplando, atentamente, a plenitude e a beleza do mundo de Deus e o seu amor infinito aos homens”.
Como podes ver, a causa desses pecados é a indolente recusa a pensar nas coisas espirituais, preguiça que abafa a própria sensação da necessidade desses pensamentos. Se queres saber como superar esse mal, esforça-te na iluminação do espírito por todos os meios que estão ao teu alcance; consegue-a pelo estudo diligente da Palavra de Deus e dos santos Padres, através da meditação e dos conselhos espirituais e pelos colóquios com aqueles que são sábios em Cristo. Ah, querido irmão, que infelicidade é a nossa, unicamente por causa da nossa inércia em procurar a luz da alma na Palavra da verdade! Não estudamos a Lei de Deus, dia e noite, e não a meditamos de maneira assídua e aplicada. Por esse motivo, o nosso homem interior tem fome e frio, sente-se frustrado a ponto de não ter a coragem de dar um passo decisivo na via da virtude e da salvação! Assim sendo, tomemos a resolução de utilizar tais métodos e, tanto quanto possível, ocupemos nosso espírito com o pensamento das coisas celestes; e o amor derramado do Alto em nossos corações se inflama em nós. Assim o faremos, pois, e rezaremos o mais frequentemente possível, porque a oração é o principal e mais possante meio para a nossa renovação e bem-estar. Rezaremos com os termos que a Santa Igreja nos ensina: “Ó Deus, tornai-me capaz de vos amar agora, como no passado amei o pecado”.
Do livro “Relatos de um peregrino russo”, a partir de transcrição no blog “Diário de uma Moça Católica”

Lógica Matemática é uma sub-área da matemática que explora as aplicações da lógica formal para a matemática. Basicamente, tem ligações fortes com matemática, os fundamentos da matemática e ciência da computação teórica.[1] Os temas unificadores na lógica matemática incluem o estudo do poder expressivo de sistemas formais e o poder dedutivo de sistemas de prova matemática formal.
A lógica matemática é muitas vezes dividida em campos da teoria dos conjuntos, teoria de modelos, teoria da recursão e teoria da prova. Estas áreas compartilham resultados básicos sobre lógica, particularmente lógica de primeira ordem, e definibilidade. Na ciência da computação, especialmente na classificação ACM, onde ACM vem do inglês (Association for Computing Machinery), lógica matemática engloba tópicos adicionais não descritos neste artigo; ver lógica em ciência da computação para este tópico anterior.
Desde o seu surgimento, a lógica matemática tem contribuído e motivado pelo estudo dos fundamentos da matemática. Este estudo foi iniciado no final do século XIX, com o desenvolvimento de arcabouço axiomático para geometria, aritmética e análise. No início do século XX a lógica matemática foi moldada pelo programa de David Hilbert para provar a consistência das teorias fundamentais. Os resultados de Kurt Godel, Gerhard Gentzen, e outros, desde resolução parcial do programa, e esclareceu as questões envolvidas em provar a consistência. O trabalho na teoria dos conjuntos mostrou que quase toda a matemática ordinária pode ser formalizada em termos de conjuntos, embora existam alguns teoremas que não podem ser demonstrados em sistemas axiomáticos comuns para a teoria dos conjuntos. O trabalho contemporâneo nos fundamentos da matemática, muitas vezes se concentra em estabelecer quais as partes da matemática que podem ser formalizadas, em particular, sistemas formais (como em matemática reversa) ao invés de tentar encontrar as teorias em que toda a matemática pode ser desenvolvida.
Cada área tem um foco distinto, apesar de ter várias técnicas e resultados comuns entre si. A divisão das referidas áreas e os limites que separam a lógica matemática de outros campos de estudo não são bem definidas. A teoria da incompletude de Gödel representa não só um marco na teoria da recursão e teoria da prova, mas também contribuiu para o teorema de Löb da teoria dos modelos. O método do forçamento ("forcing") é aplicada na teoria dos conjuntos, na teoria dos modelos, na teoria da recursão, assim como no estudos da matemática intuiticionística.
O campo matemático conhecido como o da teoria das categorias usa muitos métodos axiomáticos formais nos quais se inclui o estudo da lógica categórica, mas essa teoria não é comumente considerada um sub-ramo da lógica. Por causa da sua aplicabilidade em diversos campos da lógica, matemáticos como Saunders Mac Lane propuseram usar a teoria das categorias como fundamentos da matemática, independentemente da teoria dos conjuntos. Essas fundamentações usam tópicos que em muito se parecem com modelos generalizados das teorias dos conjuntos, e empregam lógica clássica ou não-clássica.
A lógica matemática surgiu em meados do século XIX como um sub-ramo da Matemática e independente do estudo tradicional da lógica (Ferreirós 2001, p. 443). Antes do seu surgimento independente, a lógica foi estudada com a retórica, através do silogismo e a filosofia. Na primeira metade do século XX houve uma explosão de resultados fundamentais, acompanhados por debates vigorosos sobre as bases da matemática.
Os estudos sobre o raciocínio foram inicialmente desenvolvidos por filósofos como Parménides e Platão, mas foi Aristóteles quem o elaborou mais detalhadamente e definiu a lógica como se estuda hoje em dia (como se estudava até o século XIX).
Para mostrar que os sofistas (mestres da retórica e da oratória) podiam enganar os cidadãos utilizando argumentos incorretos, Aristóteles estudou a estrutura lógica da argumentação. Revelando, assim, que alguns argumentos podem ser convincentes, embora não sejam corretos. A lógica, segundo Aristóteles, é um instrumento para atingir o conhecimento científico, baseando-se no silogismo.
Seguidores de Aristóteles reuniram seus princípios sobre lógica em um livro intitulado “Organon”, que significa “Instrumento da Ciência”.
Teorias lógicas foram desenvolvidas em diversas culturas na história, China, Índia, Grécia e no mundo Islâmico. Na Europa do século XVIII, filósofos matemáticos, como Leibniz e Lambert tentaram representar as operações da lógica formal através de símbolos, de forma algébrica mas seus esforços e trabalhos permaneceram isolados e pouco reconhecidos.
Em meados do século XIX, George Boole e posteriormente Augustus De Morgan apresentaram tratamentos matemáticos sistemáticos. Seus trabalhos, alicerçados em trabalhos de algebristas como George Peacock, transformaram a doutrina tradicional de Aristóteles de forma que se encaixasse no estudo dos fundamentos da matemática (Katz 1998, p. 686). Charles Sanders Peirce construiu sobre os estudos de Boole almejando desenvolver uma sistema de relações lógica e quantificadores o qual ele publicou diversas vezes entre 1870 e 1885. Gottlob Frege apresentou um desenvolvimento independente da lógica com quantificadores no seu Begriffsschrift, publicado em 1879, um trabalho por muitos considerado como uma reviravolta na histórica da lógica. O trabalho de Frege permaneceu incerto, pelo menos até Bertrand Russell começar a promovê-lo no início da virada do século. As notações bidimensionais desenvolvidas por Frege nunca foram vastamente adotadas e caiu em desuso nos artigos e textos contemporâneos.
De 1890 a 1905, Ernst Schröder publicou o Vorlesungen über die Algebra der Logik em três volumes. Esse trabalho compactava e desenvolvia os trabalhos de Boole, De Morgan, e Peirce e se tornou uma grande referência para lógica simbólica, como era conhecida no fim do século XIX.
Preocupações com a possível ausência de fundamentos matemáticos acarretaram o desenvolvimento de sistemas axiomáticos para áreas da matemática fundamental como a aritmética, análise e geometria.
Em lógica o termo aritmético se refere à teoria dos números naturais. Giuseppe Peano (1889) publicou uma série de axiomas para serem usados pela aritmética que hoje carregam seu nome (Axiomas de Peano), usando variações do sistema lógico de Boole e Schröder, porém adicionando quantificadores. Peano não tinha conhecimento do trabalho de Frege. Contemporaneamente Richard Dedekind mostrou que os números naturais são unicamente caracterizados por suas propriedades da indução. Dedekind (1888) propôs a diferente caracterização na qual não existia a essência da lógica formal dos axiomas de Peano. Todavia, o trabalho de Dedekind's provou teoremas inacessíveis ao sistema desenvolvido por Peano, como por exemplo a inclusão da individualidade dos conjuntos de números naturais (até o isomorfismo) e as definições recursivas de adição e multiplicação da função sucessor e indução matemática.
No meio do século XIX, foram descobertas falhas nos axiomas de Euclides para geometria (Katz 1998, p. 774). Além da independência do postulado paralelo, estabelecido por Nikolai Lobachevsky em 1826 (Lobachevsky 1840), matemáticos descobriram que certos teoremas tomadas como certo por Euclides não eram de fato demonstrável a partir de seus axiomas. Entre eles está o teorema que diz que uma linha contem pelo menos dois pontos, ou que círculos de mesmo raio cujo centro é separado pelo raio devem intersectar. Hilbert (1899) desenvolveu um conjunto completo dos axiomas para geometria, construindo nos [axiomas de Pasch] pelo Pasch (1882). O sucesso axiomatização da geometria motivou Hilbert a encontrar axiomatições completas de outras áreas da matemática, assim como os números naturais e da linha real. Isto proveria a maior área de pesquisa na primeira metade do século XX.
As proposições são determinadas por sentenças declarativas, pertencentes a uma certa linguagem, que formam um conjunto de palavras ou símbolos e expressam uma ideia. As sentenças declarativas são afirmações que podem receber apenas dois valores, Verdadeiro ou Falso. As proposições devem seguir os seguintes princípios:
Qualquer sentença que não puder receber a atribuição de verdadeira ou falsa não é uma proposição. Sentenças interrogativas, exclamativas e imperativas não são proposições, pois não é possível dizer se são verdadeiras ou falsas.
Proposição composta é a união de proposições simples por meio de um conector lógico. Este conector irá ser decisivo para o valor lógico da expressão.
Em expressões que utilizam vários operadores não é possível saber qual proposição deve-se resolver primeiro.
Com isso, usar parênteses é fundamental. A expressão do exemplo poderia ficar assim: (P Λ Q) V R ou P Λ (Q V R).
A tabela verdade é construída para determinar o valor lógico de uma proposição composta. Segue uma excelente estratégia para a construção desta.
Primeiramente verifica-se quantas “variáveis”, ou proposições simples que temos na proposição composta do exercício. Neste caso existem duas: p e q.
Em seguida elevamos 2 ao número de variáveis, ou seja, 2². Nossa base do expoente é 2 pelo fato de possuir-se apenas 2 valores lógicos possíveis nas proposições (Verdadeiro ou Falso). O resultado de 2² é 4. Então nossa tabela terá 4 linhas, nessas linhas estarão todos os valores lógicos possíveis da nossa proposição composta.
Esta é a estrutura da tabela, agora para a preencher com os devidos valores lógicos utiliza-se a seguinte técnica: até a metade da primeira coluna coloca-se Verdadeiro, na outra metade Falso. Já na segunda coluna, intercala-se V e F. Desta forma adquira-se a seguinte tabela:
Proposições podem ser ligadas entre si por meio de conectivos lógicos. Conectores que criam novas sentenças mudando ou não seu valor lógico (Verdadeiro ou Falso). Exemplos dos principais conectores lógicos:
O conectivo de negação (~), nega o valor lógico de uma proposição. Considera-se p como uma proposição de valor lógico igual a verdadeiro, então sua negação é igual a falso. O mesmo seria se a proposição tivesse valor lógico inicial igual a falso, sua negação seria igual a verdadeiro. De acordo com esses conceitos podemos montar a seguinte tabela verdade:
Considere p com o valor da seguinte proposição: 2 é um número par. p = Verdadeiro, portanto sua negação: ~p = Falso.
O conectivo e, também conhecido como AND e representado pelo símbolo “^” junta proposições as quais somente resultarão em Verdadeiro se todos os valores forem Verdadeiros.
Observação: Veja que nesta tabela consideramos todos os valores lógicos possíveis para p e q, em outras palavras: temos 2 proposições e estamos em uma base binária (0 ou 1, verdadeiro ou falso) então para se saber o número das possibilidades para essas proposições realiza-se o seguinte cálculo 2n, onde n é o número de proposições.
O conectivo ou, também conhecido como OR e representado pelo símbolo “V” une proposições que, apenas uma sendo Verdadeiro é suficiente que a expressão inteira também seja.
O conectivo condicional, representado pelo símbolo “→” une proposições criando uma estrutura condicional onde apenas uma das possibilidades resulta em F o valor lógico da expressão.
Observação: não devemos confundir a operação condicional “→” com o relação implica " => " , pois, enquanto o primeiro representa uma operação entre proposições dando origem a uma outra proposição, o segundo indica apenas uma relação entre proposições dadas.
Relação de implicação ( => ): uma proposição p implica q quando em sua tabelas-verdade, não pode ocorrer 1 e 0 nessa ordem.
O conectivo bi-condicional, é lido como “se, e somente se” e é representado pelo símbolo “↔”, ele une proposições onde o resultado lógico da expressão é verdadeiro apenas se os valores lógicos forem iguais.
O conectivo ou exclusivo, chamado também de disjunção exclusiva, é representado pelo símbolo “V”. Podemos dizer que ele significa: um ou outro, mas não ambos. Exemplo: Ou o gato é macho ou o gato é fêmea, mas não ambos. A tabela verdade do ou exclusivo esta representada abaixo.
A negação disjunta é representada pelo conector ↑, significa a negação de duas proposições envolvendo o conector AND (NAND).
A negação conjunta é representada pelo conector ↓, significa a negação de duas proposições envolvendo o conector OR (NOR).
Ao montarmos uma tabela verdade contendo todos os valores lógicos possíveis de uma expressão a poderíamos classificar em tautologia, contradição e contingência.
Veja que independente do valor de p a expressão sempre resulta em Verdadeiro, pois para o conector OU possuir um verdadeiro já é suficiente para resultar em Verdadeiro, além disso sempre teremos V em todas as combinações da expressão. Por isso a classificamos como uma tautologia.
Neste outro caso também se obteve uma tautologia, devido ao fato da última coluna da tabela (resultado da expressão) ter somente Verdadeiro.
Contradição: é uma proposição que resulta somente em falso, em outras palavras, a última coluna da sua tabela só possui o valor lógico falso.
Contingência: determinamos uma proposição de contingente quando ela não é tautológica nem contraditória, ou seja, ela é indeterminada.
Percebe-se que a última coluna não possui apenas um valor lógico, por isso a determinamos uma proposição contingente, ou indeterminada.
Sejam P e Q duas proposições. Diremos que P implica logicamente a proposição Q, se Q for verdadeiro sempre que P for verdadeiro. Quando isso ocorre, dizemos que temos uma implicação lógica ou inferência e denotamos: P => Q (lemos: “P implica Q”).
Neste exemplo não podemos dizer que P V Q => P → Q, pois temos na segunda linha que onde P V Q é verdadeiro P → Q é falso.
Diremos que P é equivalente a Q, se as duas tabelas verdade foram idênticas. Quando isso ocorre, dizemos que temos uma equivalência lógica ou bi-implicação e denotamos P ⇔ Q (lemos: “P é equivalente a Q”).
Neste exemplo podemos dizermos que ¬(P Λ Q) ⇔ (¬P V ¬Q), pois o resultado da tabela verdade das duas expressões é o mesmo.
Neste exemplo não podemos dizer que P → Q ⇔ Q → P, pois o resultado das tabelas verdades das expressões são diferentes, nas linhas 2 e 3.
Temos uma condição suficiente se quando ela ocorrer temos a garantia de que a outra condição ocorrerá. Por exemplo:
O cavalo correr é condição suficiente para ele estar vivo,ou seja, se o cavalo corre podemos garantir que ele está vivo.
Por outro lado o cavalo estar vivo não garante que o cavalo corra, pois ele pode estar por exemplo vivo mas descansando, a este tipo de condição dá se o nome de condição necessária. Uma condição é necessária quanto não podemos garantir que a outra condição é valida.
Esta relação entre condição suficiente e condição necessária é encontrada quando utilizamos um conector condicional, ou seja, quando temos uma estrutura condicional. O primeiro argumento(que vem antes do →), chamado de antecedente é uma condição suficiente. O segundo argumento,chamado de consequente é uma condição necessária.
Pegamos uma condicional qualquer como p → q, existem três tipos de proposições associadas a ela que são:
Recíproca: a proposição recíproca de p → q é a proposição q → p. Como podemos ver foi feito uma troca entre a antecedente (p) e a consequente (q) para obter-se a recíproca cuja tabela esta abaixo:
Inversa: a proposição contrária de p → q é a proposição ~p → ~q.Basta negar a antecedente(p) e a consequente(q) para obtermos a proposição inversa.
Contra Positiva: a contra positiva da preposição p → q é ~q → ~p. Para encontramos a contra positiva basta juntar os passos da recíproca e da contrária,ou seja, deve se inverter os lugares do antecedente e do consequente e negar ambos. A proposição contra positiva tem o mesmo resultado que a proposição original.
Carlos Fontes. Definição e Evolução da Lógica; 28 de abril de 2012. Disponível em: https://web.archive.org/web/20120119102023/http://afilosofia.no.sapo.pt/pag2Def.htm
Grupo iPED. Noções de lógica.Colégio web; 7 de maio de 2012. Disponível em: http://www.colegioweb.com.br/matematica/conectivos-logicos-.html
GERÔNIMO, João Roberto; FRANCO Valdeni Soliane. Fundamentos de matemática: uma introdução à lógica matemática, teoria dos conjuntos, relações e funções. 2º Edição 2008.