Bolsa 19/21140-1 - Geometria algébrica, Espaços fibrados - BV FAPESP
Espaços de módulos de representações pfaffianas de variedades cúbicas de dimensão três e fibrados instanton
Processo: 19/21140-1
Beneficiário: Gaia Comaschi
Assunto(s): Geometria algébrica Espaços fibrados
Em 1999, Markushevich e Tikhomirov descreveram uma família de fibrados de posto 2 com Cohomologia natural, chamados fibrados instanton, em uma variedade cúbica X de dimensão 3. Estes feixes localmente livres possuem propriedades semalhantes com os fibrados instantons em P^3 que foram originalmente estudados por Atiyah-Drinfeld-Hitchin-Manin na década de 1970 no contexto da teoria de Yang-Mills. Em particular, fibrados instanton F sobre X com c_2(F)=2 satisfazem uma propriedade notável: assim como os fibrados instanton em P^3, F pode ser representado com a Cohomologia de um complexo particularmente simples. De fato, F é um feixe em X cuja resolução mínima em P^4 é um complexo determinado por uma matriz anti-simétrica M de formas lineares, tal que Pf(M)=0 coincide com X; tais feixes são chamados Ulrich. Esta relação entre feixes instantons em X e suas representações pfaffianas é o fato central que motivou a minha tese de doutorado. Nesta, construímos o espaço de módulos P de representações pfaffianas de variedades cúbicas de dimensão três e investigamos como resultados sobre P se aplicam ao estudo do espaço de módulos de instantons. Primeiramente, demonstramos que toda variedades cúbica é pfaffiana, um resultado anteriormente conhecido para cúbicas genéricas. O espaço de módulos P pode ser obtido como quociente GIT de P^74, o espaço projetivo de matrizes anti-simétricas 6x6 com entradas em polinômios de grau 1 em 5 variáveis, por SL(6). O nosso primeiro passo for formular um critério de (semi)estabilidade, provando que toda representação pfaffiana de uma variedade cúbica de dimensão 3 é semiestável, sendo estável quando a cúbica é suave. Em seguida, apresentamos uma classificação completa das matrizes estáveis possuindo pfaffiana identicamente nula. Por fim, consideramos M, o espaço de módulos de feixes de torção em P^4 que são instantons sobre a variedade cúbica, e o seu fecho M no espaço de módulos de feixes em P^4. Descrevemos dois divisores B' e B'' no bordo de M, mostrando que B' é uma explosão de P ao longo de uma subvariedade suave, e conjecturamos que o mesmo vale para B''. Tais resultados apontam para novos e interessantes temas de pesquisa. Por exemplo, seria relevante apresentar uma descrição completa do lugar geométrico das matrizes semiestáveis em P^74. Para este objetivo, nós podemos primeiramente classificar todas as representações pfaffianas de variedades cúbicas de dimensão 3 (até o momento, mostramos que tais variedades admitem representações pfaffianas, mas não sabemos se tal representação é única), e consequentemente classificar aquelas que são estáveis e estritamente semiestáveis. Este primeiro objetivo se estende para um estudo mais aprofundado de feixes Ulrich anti-simétricos e suas propriedades geométricas (tais como o entendimento de suas singularidades). Em segundo lugar, é possível finalizar a classificaçção das matrizes semiestáveis com pfaffiana identicamente nula, determinando quais são estritamente semiestáveis. Finalmente, um melhor entendimento do espaço de módulos P apresenta aplicações úteis ao estudo do espaço de módulos de instantons, pois P é uma nova compatificação de M e seria interessante descrever os seu bordo. Demonstrar a nossa conjectura sobre B'' estabeleceria um relação entre P e M semelhante àquela entre os espaços de módulos de Donaldson-Uhlenbeck and the Gieseker-Maruyama em superfícies algébricas, na qual a última é obtida como uma explosão formal da primeiraç ou seja, P seria como uma compactificação de Donaldson-Uhlenbeck de M. (AU)