Física Moderna | Perturbação periódica próxima à ressonância | e-física
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Considere a perturbação periódica
de freqüência tal que onde é pequeno. A equação básica é (604),
Esta expressão contém expoentes de tamanhos diversos, um dos quais, , é particularmente pequeno, aparecendo nas combinações e . Como a solução de (604) envolve uma integração do segundo membro no tempo, usaremos o fato de que, quando um integrando possui vários termos oscilantes, a contribuição dominante é a daquele termo que oscila menos. A base matemática rigorosa para isto é o lema de Riemann-Lebesgue28. Podemos, então, aproximar as equações (604) por
Introduzindo a quantidade auxiliar
temos, para (624),
Substituindo, em (625), em termos de , ficamos com
que, usada em (626), dá
Trata-se agora de resolver esta equação diferencial linear a coeficientes constantes. Para isto existe um algoritmo bem conhecido: como todas as soluções de equações deste tipo podem ser escritas como exponenciais, procura-se a solução como uma exponencial genérica, escrita como
com a determinar. Temos e . Inserindo estas expressões em (630) e cancelando a exponencial comum, obtemos
que é um equação do segundo grau. As soluções são
Para simplificar esta expressão introduzimos algumas abreviações:
Usando esta notação as soluções (632) podem ser escritas
Como , obtemos
Finalmente, introduzindo
onde, para obter as duas últimas, usamos a eq.(625).
Note-se que um par ( ) representa uma função de onda
A solução mais geral é dada por uma combinação linear dessas soluções, para e . Como cada uma já foi escrita com uma constante multiplicativa arbitrária, temos
Como condição inicial, queremos que, para , . Tomando na eq.(643), vemos que devemos ter
Note-se ainda que . A expressão para é, então:
O coeficiente de na equação anterior, depois de alguma álgebra, é escrito:
e o de dá
O sistema inicia (em ) no estado . A probabilidade de ele estar, no instante , no estado , é dada pelo quadrado do módulo do coeficiente de , que é
Na ressonância, isto é, para , temos , logo, a probabilidade da transição é dada por
que varia periodicamente entre e . Isto significa que, na ressonância, o sistema realiza transições periódicas entre e . Note que a freqüência dessas transições não depende de nenhuma das freqüências presentes: ela é determinada por , ou seja, pela intensidade da perturbação.