Complexos e a Trigonometria
Na representação trigonométrica, um número complexo z = a + bi é determinado pelo módulo do vetor que o representa e pelo ângulo que faz com o semi-eixo positivo das abscissas.
Vetor é uma entidade matemática que define grandezas que se caracterizam por módulo, direção e sentido, como por exemplo, velocidade e força.
Um vetor é representado por um segmento de reta orientado. O módulo é expresso pelo comprimento do segmento, a direção é dada pelo ângulo entre a reta suporte e a horizontal, o sentido é dado pela seta.
Denomina-se de afixo do complexo z = a + bi o ponto de coordenadas (a, b) no plano complexo, denominado plano de Argand-Gauss.
Quando z = a+bi:
A partir das relações trigonométricas¹ obtêm-se:
A representação trigonométrica² de um complexo z é
, com o argumento principal
= arg(z) e r =
Ou é com o
argumento geral + k360°
Esta última expressão é importante para o
cálculo das raízes de z.
Da relação tg = b/a consegue-se o valor de .
Este aplicativo é em português e permite a visualização de diferentes exemplos para a transformação de complexos da forma algébrica para a trigonométrica e vice versa. É essencial para o entendimento.
1. Se z é um número real, o ponto P pertence à reta das abscissas (horizontal) e |z| = 1
Isto é: = 0+ k360° e |z| =1
z = 1 na forma trigonométrica é z = cos k360°+ i sen k360°, com k inteiro.
Isto quer dizer que existem muitas representações trigonométricas para z, correspondentes a giros dados em torno da origem.
Neste caso, z = 1 pode ser representado por:
z = cos 0°+ i sen 0°
z = cos 360°+ i sen 360°
z = cos 720°+ i sen 720°
z = cos 1080°+ i sen 1080°
2. Se z é um número imaginário, o ponto P pertence à reta das ordenadas (vertical) e |z| = 1
Isto é: = 90°+ k360° e |z| = 1
z = i na forma trigonométrica é z = (cos (90°+k360°)+ i sen (90° +k360°)) com k inteiro.
Na figura, OP representa um vetor e pode ser identificado com um número complexo z.
3 . O complexo z = 1 + i é representado na figura abaixo com:
a=1 e b=1 logo tg = b/a = 1
Então = 45°
Este valor corresponde à menor determinação de : -180°< < 180°
De uma forma geral = 45° + k360° , onde k é qualquer número inteiro (positivo, negativo ou nulo) ou seja, o mesmo ângulo é obtido a partir de um número inteiro de voltas em torno da origem O. Cada volta corresponde a 360°.
O módulo r =
z = 1+i = r (cos + i sen ) = ( cos 45º+ i sen 45°)
Esta forma corresponde à menor determinação para .
Dados dois complexos z = a + i b e w = c + i d tem-se:
z = r (cos ( + k.360°)+ i sen ( + k.360°))
w = r' (cos ( + k.360°)+ isen ( + k.360°))
z = w rcos = r'cos e rsen = r'sen r = r' e = + k.360°
Observe que a igualdade exige que r = r' mas não exige que = , mas, sim, que os vetores coincidam, na mesma direção, módulo e sentido.
O simétrico do número complexo z = a + ib é o número -z = - (a + ib), ou seja,
-z = (-a) + i(-b).
z = r (cos + i sen ) e (- z) = r (cos( - 180º)+ i sen ( -180°))
O conjugado do complexo z = a + ib é o número complexo denotado por
z = a - ib.
Na forma trigonométrica, o conjugado de z = r (cos + i sen ) é
= r (cos (- )+ i sen (- ))
Corresponde a uma reflexão do afixo de z na reta das abcissas
É importante que você visualize as representações de números complexos e de seus inversos .
O seguinte aplicativo é essencial para isto: http://www.ies.co.jp/math/java/comp/cgyak_a/cgyak_a.html
Produto de complexos
Seja z = r (cos + i sen ) e w = r' (cos + i sen )
Vejamos a interpretação geométrica do produto de dois complexos,
Caso 1: O produto de um complexo z por um número real K
K.z = Kr (cos + i sen )
não se altera e r se altera com a multiplicação por K.
Se K > 1, então esta operação corresponde a uma ampliação vetor z .
Se 0 < K < 1, esta operação corresponde a uma contração do vetor z.
Se K < 0, esta operação corresponde a uma ampliação ou contração, seguida de uma rotação de 180º, pois z passará para a semi-reta oposta, que contém (-z).
Caso 2: O produto de um complexo z = a + bi por um imaginário puro.
É preciso, neste momento, relembrar a expressão trigonométrica para seno e cosseno da soma de arcos (ou ângulos)³ :
O produto do complexo z por um imaginário puro corresponde a uma ampliação ou contração do vetor, seguido de uma rotação de 90º no sentido anti-horário em torno da origem do vetor obtido.
Caso 3: O produto de um complexo genérico z por outro complexo w
O produto do complexo z por outro complexo w corresponde a uma ampliação ou contração do vetor, seguido de uma rotação de ângulo igual ao argumento de w ( ) no sentido anti-horário em torno da origem do vetor obtido.
Observe, na figura: o vetor tem módulo r e argumento :
Ao ser multiplicado por outro vetor com ângulo , ele gira, sofre uma rotação de ângulo :
Vamos nos restringir à potências com expoente inteiro, embora, nos complexos seja possível definir potência com base e expoente complexo.
z = r (cos + i sen )
Como o produto de dois complexos corresponde à soma dos argumentos, temos:
z² = r²(cos (2 )+ i sen (2 ))
z³ = r³(cos (3 )+ i sen (3 ))
A demonstração da Fórmula de Moivre pode ser vista na Apresentaçao: potênciação e radiciação
http://www.drec.min-edu.pt/Eviprof/resources/school7/files/trab2/complejos5.htm
Este aplicativo é em português e permite a visualização da multiplicação de números complexos.
z = r (cos + i sen ) = r cis ( )
A expressão com seno e cosseno é abreviada para outra mais simples:
(cos + i sen ) = cis ( )
http://www.drec.min-edu.pt/Eviprof/resources/school7/files/trab2/complejos6.htm
Este aplicativo é em português e permite a visualização de diferentes exemplos de potências e raízes de complexos na forma trigonométrica.
Dado z, complexo, chamamos raiz n-ésima de z, a todo w complexo tal que
A pergunta então é: quantas são as raízes enésimas de um número complexo
e como podemos determiná-las ?
Pelo Teorema Fundamental da Álgebra,a equação complexa com z e w complexos, tem n raízes.
Isto significa que a raiz n-ésima de um complexo, tem n raízes
Sendo z = r (cos + i sen ) as raízes índice n de z são dadas pela fórmula de de Moivre.
Na Apresentação: Potenciação e Radiciação, você encontra a demonstração.
z tem n raízes diferentes,obtidas pela fórmula de Moivre para a radiciação:
Neste curso vamos investigar apenas as raízes da unidade, isto é as, soluções da equação complexa:
Veja o exemplo da equação na Apresentação: Raízes da Unidade
É essencial que você manipule este aplicativo. Com ele, toda esta "complicação" algébrica vai ficar clara:
http://www.drec.min-edu.pt/Eviprof/resources/school7/files/trab2/complejos7.htm
Este aplicativo é em português e permite a visualização das n-ésimas raízes de um complexo. Nosso objetivo é apenas calcular e visualizar as raízes de UM, verificando que elas completam os vértices de um polígono regular de n lados.
Focalize o segundo aplicativo.
Aumente o zoom para 50 de modo que o complexo 1 fique bem visível.
Estabeleça os dados para 1: r = 1 e A = 0 ( A neste aplicativo representa o argumento .)
Faça variar n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc.
Observe as raízes de 1 e os polígonos que ali se formam.
Neste aplicativo, você pode visualizar a potenciação e a fórmula de Moivre.
Pode dar valores positivos e negativos para n, vendo as potências
http://www.ies.co.jp/math/java/comp/cgyak_d/cgyak_d.html
• Drag red point.----------Ponha o cursor no ponto vermelho
Você pode mover com o ponto vermelho, variando os valores de r e de t .
A letra t representa o argumento de z e r o módulo de z
• Check "Show additional line".--- Peça para mostrar linhas adicionais, para ver polígonos. Pressione Additional Line
• Check "Expression of function" --- Pressione o botão "Expression of function"
Para escolher a expressão trigonométrica desejada escolha a expressão trigonométrica usual: z = r (cos + i sen )
Ou a expressão ( r cis ).
A primeira é mais comum.
Veja o que está dito em Expression of Function
• Press "Increase n" button. ---------Pressione no botão Increase n, para aumentar n
• Press "Decrease n" button.----- Pressione no botão Decrease n, para diminuir n
Observe o que o corre quando você fixa z com módulo maior do que 1 e deixa correr n, crescendo e depois decrescendo.
Faça o mesmo para o módulo menor do que 1.
Números Complexos, uma Abordagem Científica extraído do site http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/euler/numeroscomplexos.htm#Representação%20Trigonométrica
CARMO, Manfredo; MORGADO, Augusto; WAGNER, Eduardo. Trigonometria e Números Complexos. Publicação SBM, 2001, 122 p.