Resumo: Os comportamentos dinâmicos não triviais mais simples em mecânica são descritos por Hamiltonianas quadráticas. Por gerarem equações de movimento lineares, sua dinâmica é integrável e as equações de movimento são descritas por transformações simpléticas afins. Um pouco de geometria simplética, nada que ultrapasse um curso de mecânica analítica, mostra que a dinâmica gerada por uma tal Hamiltoniana é caracterizada apenas por quatro padrões: Elíptico, Parabólico, Hiperbólico e Loxodrômico.
Como reconhecido por Poincaré em seu famoso trabalho sobre a sistema de três corpos, além da integrabilidade, o que torna interessante este conjunto de Hamiltonianas é o fato de que elas constituem aproximações que reduzem a complexidade de um sistema Hamiltoniano qualquer, em geral não-linear, ao estudo das quatro famílias mencionadas. Se não bastasse, a quantização de Hamiltonianas quadráticas é trivial e o comportamento dos sistemas quantizados é idêntico ao clássico: a estrutura simplética do espaço de fase é reproduzida para os operadores de posição e momento.
No seminário apresentarei os conceitos e propriedades descritos acima e terminarei por discutir o teorema de Williamson, uma ferramenta matemática útil para descrever os sistemas elípticos, fornecendo exemplos em mecânica clássica, quântica e estatística. Este teorema fornece uma receita para a diagonalização de tais Hamiltonianas, reduzindo a dinâmica ao estudo de osciladores harmônicos.
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Details
Date:
21 de outubro de 2021
Time:
4:00 PM - 6:00 PM
Event Categories:
IF - Seminários, IF - Seminários de Grupo
Event Tags:
Boiúna, Fernando Nicacio, GFQ, Grupo de Flutuações Quânticas, Hamiltonianas Quadráticas, mecânica clássica, mecânica estatística, mecânica quântica, Poincaré, Seminário, sistema de três corpos, Teorema de Williamson, transformações simpléticas, youtube