Teorema de Pitágoras: fórmula e exercícios - Toda Matéria
O Teorema de Pitágoras relaciona o comprimento dos lados do triângulo retângulo. Essa figura geométrica é formada por um ângulo interno de 90°, chamado de ângulo reto.
O enunciado desse teorema é:
"A soma dos quadrados de seus catetos corresponde ao quadrado de sua hipotenusa."
Fórmula do teorema de Pitágoras
Segundo o enunciado do Teorema de Pitágoras, a fórmula é representada da seguinte maneira:
A hipotenusa é o maior lado de um triângulo retângulo e o lado oposto ao ângulo reto. Os outros dois lados são os catetos. O ângulo formado por esses dois lados tem medida igual a 90º (ângulo reto).
Identificamos ainda os catetos, de acordo com um ângulo de referência. Ou seja, o cateto poderá ser chamado de cateto adjacente ou cateto oposto.
Quando o cateto está junto ao ângulo de referência, é chamado de adjacente, por outro lado, se está contrário a este ângulo, é chamado de oposto.
Veja a seguir três exemplos de aplicações do teorema de Pitágoras para as relações métricas de um triângulo retângulo.
Exemplo 1: calcular a medida da hipotenusa
Se um triângulo retângulo apresenta 3 cm e 4 cm como medidas dos catetos, qual a hipotenusa desse triângulo?
Portanto, os lados do triângulo retângulo são 3 cm, 4 cm e 5 cm.
Exemplo 2: calcular a medida de um dos catetos
Determine a medida de um cateto que faz parte de um triângulo retângulo, cuja hipotenusa é 20 cm e o outro cateto mede 16 cm.
Portanto, as medidas dos lados do triângulo retângulo são 12 cm, 16 cm e 20 cm.
Exemplo 3: comprovar se um triângulo é retângulo
Um triângulo apresenta os lados com medidas 5 cm, 12 cm e 13 cm. Como saber se é um triângulo retângulo?
Para provar que um triângulo retângulo é verdadeiro as medidas dos seus lados devem obedecer ao Teorema de Pitágoras.
Como as medidas dadas satisfazem o teorema de Pitágoras, ou seja, o quadrado da hipotenusa é igual a soma do quadrado dos catetos, então podemos dizer que o triângulo é retângulo.
Leia também: Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Quando as medidas dos lados de um triângulo retângulo são números inteiros positivos, o triângulo é chamado de triângulo pitagórico.
Neste caso, os catetos e a hipotenusa são denominados de "terno pitagórico" ou "trio pitagórico". Para verificar se três números formam um trio pitagórico, usamos a relação a2 = b2 + c2.
O mais conhecido trio pitagórico é representado pelos números: 3, 4, 5. Sendo a hipotenusa igual a 5, o cateto maior igual a 4 e o cateto menor igual a 3.
Observe que a área dos quadrados desenhados em cada lado do triângulo relacionam-se tal como o teorema de Pitágoras: a área do quadrado no lado maior corresponde à soma das áreas dos outros dois quadrados.
É interessante notar que, os múltiplos desses números também formam um terno pitagórico. Por exemplo, se multiplicarmos por 3 o trio 3, 4 e 5, obtemos os números 9, 12 e 15 que também formam um terno pitagórico.
Além do terno 3, 4 e 5, existe uma infinidade de outros ternos. Como exemplo, podemos citar:
5, 12 e 13
20, 21 e 29
12, 35 e 37
Leia também: Trigonometria no Triângulo Retângulo
Segundo a história Pitágoras de Samos (570 a.C. - 495 a.C.) foi um filósofo e matemático grego que fundou a Escola Pitagórica, localizada no sul da Itália. Também chamada de Sociedade Pitagórica, incluía estudos de Matemática, Astronomia e Música.
Embora as relações métricas do triângulo retângulo já fossem conhecidas pelos babilônicos, que viveram muito antes de Pitágoras, acredita-se que a primeira demonstração que esse teorema se aplicava a qualquer triângulo retângulo tenha sido feita por Pitágoras.
O Teorema de Pitágoras é um dos teoremas mais conhecidos, importantes e utilizados na matemática. Ele é imprescindível na resolução de problemas da geometria analítica, geometria plana, geometria espacial e trigonometria.
Além do teorema, outras importantes contribuições da Sociedade Pitagórica para a Matemática foram:
Descoberta dos números irracionais;
Propriedades dos números inteiros;
MMC e MDC.
Leia também: Fórmulas de Matemática
Demonstrações do Teorema de Pitágoras
Existem diversas formas de provar o teorema de Pitágoras. Por exemplo, o livro The Pythagorean Proposition, publicado em 1927, apresentava 230 formas de demonstrá-lo e uma outra edição, lançada em 1940, aumentou para 370 demonstrações.
Assista o vídeo a seguir e confira algumas demonstrações do Teorema de Pitágoras.
Exercícios comentados sobre o Teorema de Pitágoras
(PUC) A soma dos quadrados dos três lados de um triângulo retângulo é igual a 32. Quanto mede a hipotenusa do triângulo?
Pela informação do enunciado, sabemos que a2 + b2 + c2 = 32. Por outro lado, pelo teorema de Pitágoras temos que a2 = b2 + c2 .
Substituindo o valor de b2+c2 por a2 na primeira expressão, encontramos:
a2 + a2 =32 ⇒ 2 . a2 = 32 ⇒ a2 = 32/2 ⇒ a2 = 16 ⇒ a = √16
Para mais questões, veja: Teorema de Pitágoras - Exercícios
Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a:
a) 1,9m
b) 2,1m
c) 2,0m
d) 1,8m
e) 2,2m
Alternativa correta: b) 2,1m.
O comprimento total do corrimão será igual a soma dos dois trechos de comprimento igual a 30 cm com o trecho que não conhecemos a medida.
Observamos pela figura, que o trecho desconhecido representa a hipotenusa de um triângulo retângulo, cuja medida de um dos cateto é igual a 90 cm.
Para encontrar a medida do outro cateto, devemos somar o comprimento dos 5 degraus. Sendo assim, temos que b = 5 . 24 = 120 cm.
Para calcular a hipotenusa, vamos aplicar o teorema de Pitágoras para esse triângulo.
a2 = 902 + 1202 ⇒ a2 = 8100 + 14 400 ⇒ a2 = 22 500 ⇒ a = √22 500 = 150 cm
Note que poderíamos ter usado a ideia dos ternos pitagóricos para calcular a hipotenusa, visto que os catetos (90 e 120) são múltiplos do terno 3, 4 e 5 (multiplicando todos os termos por 30).
Desta forma, a medida total do corrimão será:
30 + 30 + 150 = 210 cm = 2,1 m
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(UERJ) Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à Matemática, escreveu um poema do qual extraímos o fragmento abaixo:
Às folhas tantas de um livro de Matemática,
e viu-a do ápice à base: uma figura ímpar;
Fez da sua uma vida paralela à dela,
"Quem és tu?" – indagou ele em ânsia radical.
(Millôr Fernandes. Trinta Anos de Mim Mesmo.)
A Incógnita se enganou ao dizer quem era. Para atender ao Teorema de Pitágoras, deveria dar a seguinte
a) "Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa."
b) "Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa."
c) "Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa."
d) "Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa."
Alternativa d) "Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa."