Fluidos B-01
Fluidos B-I
Tópicos: Conceito de Viscosidade | Camada Limite |
1) Conceito de Viscosidade
Ao contrário dos sólidos, as forças de atração entre as moléculas dos fluidos não são suficientes para manter a rigidez do conjunto. Pode-se dizer que, sob ação de uma força, camadas elementares de um fluido sofrem um efeito de cisalhamento entre si.
O conceito de viscosidade já foi visto de forma simplificada em página anterior desta série. Aqui é apresentada uma formulação mais abrangente, considerando o cisalhamento entre duas camadas elementares de fluido conforme Figura 1-I. No lugar de força, emprega-se a grandeza tensão (força por área), procedimento usual em análise de deformações.
Então, sob ação de uma tensão de cisalhamento τ, a camada superior se desloca dx em relação à inferior (dX é a largura comum de ambas as camadas). A velocidade da camada inferior (c) aumenta para (c + dc) na superior. Considera-se a grandeza deformação por cisalhamento γ igual à relação entre a deformação horizontal e a altura da camada deformada:
$$\gamma = {dx \over dy} \tag{1A}$$
Derivando em relação ao tempo, dγ / dt = dx / (dy dt) = (dx / dt) / dy. Mas dx / dt é a variação de velocidade dc entre camadas:
$${d\gamma \over dt} = {dc \over dy} \tag{1B}$$
A grandeza dγ / dt pode ser vista como a velocidade da deformação de cisalhamento. Experimentalmente verificou-se que há uma proporcionalidade entre a tensão e essa grandeza:
$$\tau = \eta\ {d\gamma \over dt} \tag{1C}$$
Essa relação é denominada Lei da Viscosidade de Newton (por isso, um fluido que obedece a essa lei é denominado fluido newtoniano). O fator de proporcionalidade η é a viscosidade absoluta ou viscosidade dinâmica do fluido. Considerando a igualdade anterior (1B), pode-se substituir em (1C):
$$\tau = \eta\ {dc \over dy} \tag{1D}$$
A viscosidade cinemática ν é a relação entre a viscosidade dinâmica e a massa específica (ρ):
$$\nu = {\eta \over \rho} \tag{1E}$$
A relação (1C) pode ser entendida como uma evidência matemática da diferença prática entre sólidos e fluidos já comentada em página anterior: nos primeiros, a força (ou tensão) determina a intensidade da deformação e, nos segundos, a velocidade da deformação.
As unidades do Sistema Internacional (SI) para ambos as grandezas de viscosidade podem ser deduzidas por simples análise dimensional.
Unidade SI Outras
Viscosidade dinâmica N s / m2 ou Pa s. Também denominada poiseuille (PI) A unidade não SI poise equivale a 10−1 N s/m2
Viscosidade cinemática m2 / s A unidade não SI stoke (St) equivale a 10−4 m2/s
Tabela para viscosidades cinemáticas aproximadas a 20°C de alguns líquidos. Em centistokes (= 10−2 St = 10−6 m2/s).
Líquido Água Leite Óleo combustível Óleo vegetal Óleo SAE-10
ν (cSt) 1 4 16 43 110
Líquido Óleo SAE-30 Glicerina Óleo SAE-50 Mel Óleo SAE-70
ν (cSt) 440 650 1735 2200 19600
2) Camada Limite
Supõe-se escoamento uniforme, com velocidade constante em cada ponto. Assim, a resultante das forças atuantes em cada camada deve ser nula. Na Figura 1-I, p + dp e p são as pressões atuantes em cada extremidade da camada. O resultado líquido é dp e a força decorrente é dp dy Z. Para a tensão de cisalhamento, deve-se considerar uma variação dτ entre camadas e, portanto, uma força dτ dX Z. Para resultante nula, dp dy Z + dτ dX Z = 0. De outra forma, dp dy − dτ dX = 0. Reagrupando,
$${d\tau \over dy} = {dp \over dX} \tag{2A}$$
No escoamento de fluidos, é usual supor que a diferença de pressão dp varia linearmente com a distância. Assim, para um determinado fluido e escoamento, dp/dX = k (constante). Substituindo τ de (1D) em (2A),
d( η dc/dy )dy = η d2cdy2 = k onde k = dpdX (constante)
Essa equação diferencial pode ser resolvida pela dupla integração, chegando-se ao resultado:
$$\tfrac{k}{2} y^2 = \eta c + Ay + B \tag{2B}$$
As constantes de integração A e B precisam ser determinadas a partir das condições de contorno. Na maioria dos casos práticos, o escoamento é limitado por uma superfície sólida (paredes do conduto). Se y = 0 é um ponto na parede, deve-se ter c = 0. Portanto, B = 0. A velocidade c não pode aumentar indefinidamente. Assim, deve existir uma altura y = e, onde a velocidade atinge um máximo c0. Substituindo em (2B), obtem-se: A = k2 e − η c0e
Substituindo os valores de A e B em (2B) e reagrupando,
$$c = {k \over 2 \eta} y^2 - \left({e\ k \over 2 \eta} - {c_0 \over e} \right) y\\\text{Onde}\quad k = {dp \over dX}\quad \text{(constante)} \tag{2C}$$
O resultado é a expressão matemática de uma parábola e há uma infinidade de valores para e. Mas é apenas uma aproximação, porque, na realidade, os escoamentos não se comportam rigorosamente de acordo com as hipóteses presumidas. Na prática considera-se que, para y = e, deve-se ter:
$$c = 0,99\ c_0 \tag{2D}$$
Onde c0 é a velocidade do fluxo. Dize-se então que esse valor (e) define a espessura da camada limite do escoamento. É um conceito importante no estudo dos escoamentos, uma vez que é possível supor a existência de gradientes de velocidade apenas no interior da camada limite. Uma distribuição típica de velocidades na camada limite pode ser vista no gráfico da Figura 2-I.