Fórmula Teorema de Taylor
O que diz o Teorema de Taylor?
O valor de uma função qualquer perto de um ponto pode ser aproximado por meio de um polinômio construído com base nos valores da derivada dessa função no ponto analisado.
Esse polinômio é chamado de polinômio de Taylor, ou série de Taylor, quando analisado com infinitos índices.
A vantagem de se utilizar essa série para analisar certas funções é que os polinômios são funções simples de serem analisadas, em comparação com as demais funções, já que sabe-se que polinômios são funções contínuas no conjunto dos reais, e seu comportamento é fácil de se prever, conhecendo-se os coeficientes dominantes.
Isso facilita o estudo das funções que não podem ser descritas de maneira tão trivial, como funções trigonométricas e funções exponenciais, por exemplo.
Aplicação da fórmula de Taylor
amos aplicar a fórmula de Taylor para encontrar a série da função , próxima do ponto . Lembrando: a principal propriedade da função em questão é o fato de que ela é sua própria derivada, ou seja, .
Aplicando essa propriedade repetidamente, concluímos que , para todos os valores de n. Desse modo, o termo é o mesmo para todos os termos da série, e vale .
Vamos analisar agora a série de Taylor para a função f(x) = sen (x), também próxima do ponto .
Sendo f(x) = sen (x), temos que . , e . Derivando novamente, , e . , e . Realizando esse processo sucessivamente, notamos que os valores das derivadas no ponto se repetem no seguinte padrão: 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1,… Desse modo, aplicando esses valores na fórmula de Taylor, vemos que:
Utilidades das séries de Taylor
A fórmula de Taylor fornece o valor da função, mas para isso deve-se utilizar um número infinito de termos. Contudo, em certas condições, podemos usar uma quantidade menor de termos para fazer aproximações utilizando as séries de Taylor das funções.
A seguir, estão alguns exemplos que aparecem na física, e utilizam aproximações envolvendo as séries descritas acima:
Suponha um material com coeficiente de dilatação . Esse material recebe uma pequena quantidade de calor, que gera uma variação de temperatura , e uma pequena dilatação, . Sabemos que a dilatação é proporcional ao comprimento, ao coeficiente de dilatação e à variação de temperatura.
Para encontrar o comprimento final do material, devemos integrar ambos os lados da equação (sabendo que ):
Contudo, sabemos das propriedades dos materiais, que os valores dos coeficientes de dilatação são normalmente pequenos. Analisando a série de Taylor para a função , vemos que ela apresenta potências crescentes de x. Assim, para números pequenos, as potências maiores podem ser desprezadas.
Desse modo, podemos assumir como uma aproximação válida para , . Como no caso analisado os valores de são pequenos (da ordem de ), podemos usar essa aproximação, e obtemos a fórmula mais utilizada para dilatação:
Difração e refração da luz
Em alguns estudos sobre difração e refração, estudam-se ângulos muito pequenos. Nesse tipo de situação, algumas aproximações para as funções trigonométricas dos ângulos podem ser utilizadas para facilitar o estudo.
Com relação ao seno de ângulos pequenos, se seguirmos o mesmo raciocínio que utilizamos para ex, podemos concluir que a partir de um certo ponto, as potências maiores da série podem ser desprezadas.
Normalmente, adota-se a aproximação para ângulos menores que 10° (ou 0,17 radianos), e essa aproximação é baseada na série de Taylor para essa função.
O matemático responsável por enunciar e desenvolver esse teorema foi Brook Taylor, matemático britânico que foi membro da Royal Society e publicou desde trabalhos em áreas mais teóricas e puramente matemáticas, como esse teorema analisado, como também áreas mais voltadas à física e a astronomia.