Teoria dos Grafos Caminhos e Noção de Grafos com pesos - ppt carregar
PublicouJoãovítor Cassis Alterado mais de 4 anos atrás
Apresentação em tema: "Teoria dos Grafos Caminhos e Noção de Grafos com pesos"— Transcrição da apresentação:
1 Teoria dos Grafos Caminhos e Noção de Grafos com pesos
Matemática Discreta – if670 Anjolina Grisi de Oliveira Ciência da Computação Colaboração: lnpa e ljacs Teoria dos Grafos Caminhos e Noção de Grafos com pesos
A existência de circuitos simples com um tamanho n é uma invariante.
3 Caminhos e Isomorfismo
Além disso, caminhos podem ser usados para construir mapeamentos, que podem ser isomorfismos. Caminho 1: u1, u4, u3, u2, u5 Caminho 2: v3, v2, v1, v5, v4
4 Cortando caminhos entre vértices
Teorema: Seja G um grafo cuja matriz de adjacência A usa a seguinte ordem nos vértices: v1, v2, …, vn. A quantidade de caminhos diferentes de tamanho r de vi para vj, onde r é um inteiro positivo é igual a ai,j entrada da matriz Ar . a,b,a,b,d a,b,a,c,d a,b,d,b,d a,b,d,c,d a,c,a,b,d a,c,a,c,d a,c,d,b,d a,c,d,c,d
5 Circuito Euleriano Um circuito euleriano em um grafo G é um circuito simples que contem cada aresta de G.
6 Teorema (Euler 1736) Um multigrafo conectado G possui um
circuito euleriano se e somente se o grau de cada vértice de G é par. Prova Ida: Seja G um grafo euleriano. Por cada ocorrência de vértice do circuito euleriano, existe uma aresta que chega nesse vértice e outra que sai desse vértice. Como toda aresta faz parte do circuito, isto é, nenhuma aresta fica fora do ciclo, necessariamente o número de arestas por cada vértice é par.
7 Volta: Suponhamos que todos os vértices possuem grau par
8 Volta (continuação): Recomeçamos o mesmo processo com o grafo G', partindo de um vértice comum com C1, obtendo assim um novo circuito C2. A figura abaixo mostra que dois circuitos que têm um vértice em comum podem formar um circuito único: chegando no vértice comum em um dos dois circuitos, continuamos o percurso no outro circuito. Continuando esse processo, necessariamente obteremos um circuito único que contém todas as arestas de G.
9 Pontes de Königsberg É possível sair de uma das ilhas, passar uma única vez por cada uma das pontes e retornar ao ponto de origem?
10 Pontes de Königsberg Como nem todos os vértices têm grau par, o grafo não é euleriano. Logo, é impossível atravessar todas as pontes uma só vez e voltar ao lugar de partida.
11 Aplicação em jogos Como fazer um desenho que comece a partir de um ponto, retorne a esse ponto e o lápis não seja levantado do papel? Podemos construir um circuito euleriano. Existem vários algoritmos para construir um circuito euleriano. Vamos estudar um baseado na prova do teorema de Euler.
12 Algoritmo de Hierholzer
13 Algoritmo de Hierholzer
14 Algoritmo de Hierholzer
15 Caminhos Eulerianos Teorema
16 Caminhos e circuitos Hamiltonianos
17 Mais exemplos Circuito e caminho Caminho Não Hamiltoniano
18 Grafo Hamiltoniano Não existe uma caracterização para identificar grafos hamiltonianos como existe para os eulerianos; A busca de tal caracterização é um dos maiores problemas ainda não solucionados da teoria dos grafos.
19 Grafo Hamiltoniano Muito pouco é conhecido dos grafos hamiltonianos;
20 Circuito hamiltoniano em grafos completos
21 Teorema (Dirac 1952) Uma condição suficiente, mas não necessária, para que um grafo conexo simples G com n (>2) vértices tenha um circuito hamiltoniano é que o grau de todo vértice de G seja  n/2 O grafo abaixo, possui um circuito hamiltoniano mas não respeita a condição do teorema de Dirac.
22 Teorema (Dirac 1952) Uma condição suficiente, mas não necessária, para que um grafo simples G com n (>2) vértices tenha um circuito hamiltoniano é que a soma dos graus de cada par de vértices não adjacentes seja no mínimo n. Permite identificar mais grafos com circuitos hamiltonianos que o anterior, mas demora muito para efetuar os cálculos. Uma busca por tentativa e erro pode ser mais eficiente em alguns casos.
23 O adjetivo "hamiltoniano" deve-se ao matemático irlandês Sir William Rowan Hamilton (1805-1865).
24 A figura abaixo mostra um grafo que representa este problema, ou seja os vértices e arestas de um dodecaedro.
25 Ciclo Hamiltoniano Origem
26 O Problema do Caminho mais curto
Um motorista deseja encontrar o caminho, mais curto possível, entre duas cidades do Brasil; Caso ele receba um mapa das estradas de rodagem do Brasil, no qual a distância entre cada par adjacente de cidades está exposta, como poderíamos determinar uma rota mais curta entre as cidades desejadas? Uma maneira possível é enumerar todas as rotas possíveis que levam de uma cidade à outra, e então selecionar a menor.
27 O problema do menor caminho consiste em determinar um menor caminho entre um vértice de origem s  V e todos os vértices v de V.
28 6 5 u 3 s 2 7 v x y 4 1 11 9 Grafos com pesos - Cada aresta possui um número associado (peso) - O tamanho do caminho é a soma dos pesos das arestas do caminho Como obter um caminho mínimo partindo de s para y?
29 O problema do Caminho mais curto
Para computar o caminho mais curto de um grafo, é usado o algoritmo de Dijkstra, que será estudado e utilizado na disciplina de Algoritmos.