Primeira Lei para Ciclos | Resumo e Exercícios Resolvido
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Lista de Exercícios de Primeira Lei para Ciclos
Relembrando o que é um ciclo
Na última teoria, a gente estudou sobre a primeira lei da termodinâmica para processos. Um processo é uma mudança de estado do sistema. Ou seja, a gente falou sobre como a energia se conserva, quando o sistema muda de estado. Quando a água é fervida ou quando um gás é comprimido, dizemos que a água e o gás passaram por processos! Eles mudaram!
Mas existem situações em que o sistema passa por vários processos e acaba voltando pro mesmo estado em que estava no início. Por exemplo: se a água for aquecida de 20 ° C até 10 0 ° C e depois for resfriada de 10 0 ° C até 20 ° C . Ela passou por dois processos. Um de aquecimento e outro de resfriamento. Mas no fim ela continuou com seus 20 ° C do início.
Chamamos essa sequência de processos que levam o sistema pro mesmo estado em que ele estava de ciclo! Já sabemos como é a primeira lei para processos que fazem o sistema mudar de estado. Qual seria a forma da primeira lei para uma sequencia de processos que fazem o sistema voltar de onde partiu? É isso que veremos agora!
Fórmula da primeira lei da termodinâmica para ciclos
Durante um processo, o sistema se transforma e, por isso, geralmente a sua energia total E muda. Por exemplo, quando a água é fervida, ela ganha energia para mudar de fase. Logo, a energia que ela tinha E 1 é menor que a energia que ela passou a ter E 2 . Resumindo, na maioria dos processos que vamos estudar, E 1 é diferente de E 2 .
Já em um ciclo, a energia total do sistema E 2 volta a ter o mesmo valor inicial E 1 , porque o sistema volta para o mesmo estado do início. Em outras palavras, toda a energia que o sistema ganhou, ele vai ter que perder para poder completar um ciclo!
A fórmula da primeira lei para processos é:
onde Q é a quantidade de energia trocada por calor e W é a quantidade de energia trocada por trabalho. Tanto o trabalho quanto o calor são medidos em joule J no Sistema Internacional de Unidades (S.I.).
Sabendo que a energia total do sistema E não muda no final de um ciclo, descobrimos que:
Reorganizando essa fórmula, chegamos na fórmula da primeira lei da termodinâmica para ciclos!
Agora vamos aprender a usar essa equação!
Como usar a fórmula da primeira lei da termodinâmica para ciclos
Para exercitar a aplicação da fórmula, vamos resolver um problema. Um conjunto cilindro-pistão cheio de vapor d´água é comprimido. O vapor ganha 6 J de energia nesse processo. Quanta energia a água deverá trocar com o ambiente, através de calor, para conseguir completar um ciclo?
O enunciado do problema pede duas informações: a quantidade de energia que deve ser trocada entre a água e o ambiente e o sentido dessa troca de energia. Ou seja, ele também quer saber se a água deve receber ou liberar energia por calor.
Então vamos começar a resolver, lembrando da regra de sinal para o trabalho W .
Vemos pela figura que, quando o vapor é comprimido, a vizinhança realiza trabalho sobre o sistema. Isso significa que o trabalho é negativo!
W = - 6 J
Substituindo esse valor na fórmula, descobrimos o valor e o sinal do calor.
Q = W ⟹ Q = - 6 J
Chegamos no resultado. Mas qual é o significado do calor negativo? Esse sinal negativo serve para mostrar que o sistema deve liberar calor para completar um ciclo! Ou seja, o vapor tem que liberar 6 J ao ambiente para completar um ciclo e voltar pro seu estado inicial!
Erro comum na aplicação da fórmula
Na questão que a gente acabou de resolver, o vapor de água trocou energia com sua vizinhança duas vezes: uma vez por trabalho e uma vez por calor. Por isso, substituímos diretamente o valor do trabalho 6 J . Mas e se o sistema trocar energia por trabalho mais de uma vez? Qual valor devemos colocar na fórmula?
Por exemplo, e se o vapor d'água for comprimido, ganhando 6 J e depois for expandido, trocando 2 J com o ambiente? Como usamos a fórmula de conservação de energia, nesse caso? Somamos 2 J com 6 J e substituímos o resultado 8 J na equação?
Não! Devemos somar 2 J com - 6 J ! Ou seja, devemos levar em conta os sinais para somar!
W = 2 + - 6 = - 4 J
Nessa soma, o trabalho de expansão de 2 J é positivo, mas o trabalho de compressão é negativo!
Substituindo esse valor na fórmula, descobrimos que a água tem que liberar 4 J de energia por calor pro ambiente para completar um ciclo.
Q = - 4 J
Esse exercício mostrou que devemos sempre substituir o valor líquido de trabalho ou calor na fórmula! Resumindo, devemos colocar a soma total dos trabalhos realizados em W e dos calores trocados em Q . No entanto, essa soma deve seguir a regra dos sinais!
Qual é a variação de energia total de um sistema fechado após ele completar um ciclo, no qual ele libera 100 J de calor?
O enunciado quer saber quanto vale a diferença entre a energia total E 2 - E 1 do sistema antes e depois de ele passar por processos que fazem ele completar um ciclo! Além disso, ele informa que em um desses processos o sistema perde 100 J de calor! No entanto, o problema não informa o quanto de energia o sistema trocou nos outros processos!
Um bom primeiro passo para resolver essa questão é fazer um desenho, colocando nele os dados que temos!
Como vamos descobrir a variação da energia total E 2 - E 1 , se o problema só nos diz a quantidade de calor que o sistema troca Q ?
Nós precisamos de uma fórmula que ligue Q com E 2 - E 1 . Essa fórmula existe! Ela se chama primeira lei da termodinâmica!
Como nós podemos resolver essa questão, se ela não fala mais nada sobre os outros processos? Se nós não sabemos nada sobre trocas de energia por trabalho W , como podemos dizer quanto a energia total variou?
Apesar de parecer que a questão não disse nada sobre os outros processos, ela fala sobre isso de uma forma mais escondida! Como essa informação está escondida, fica difícil de perceber que ela existe!
Então em que parte do texto ela está?
A parte do texto que têm a informação que precisamos é: "após ele completar um ciclo".
Nesse trecho, a questão diz que o sistema completa um ciclo!
E o como isso pode ajudar a gente?
É o que veremos no próximo passo!
Para entender como essa informação resolve a nossa vida, precisamos entender o que é um ciclo termodinâmico!
Pra ficar melhor de entender o que é um ciclo, vamos usar um exemplo!
Existem situações em que o sistema passa por vários processos e acaba voltando pro mesmo estado em que estava no início. Por exemplo: se a água for aquecida de 20 ° C até 100 ° C e depois for resfriada de 100 ° C até 20 ° C . Ela passou por dois processos. Um de aquecimento e outro de resfriamento. Mas no fim ela continuou com seus 20 ° C do início.
Chamamos essa sequência de processos que levam o sistema pro mesmo estado em que ele estava de ciclo!
Como o sistema volta para o mesma estado que ele tinha, a energia total do sistema também volta para o mesmo valor que ela tinha!
E 2 - E 1 = 0
Isso quer dizer que, quando qualquer sistema completa um ciclo termodinâmico, sua energia não varia!
Em outras palavras, os outros processos pelos quais o sistema passa fazem ele receber de volta toda a energia que ele perdeu, quando liberou calor! Essa era a informação escondida no enunciado, quando ele disse que o sistema completava um ciclo.
Um sistema fechado recebe 50 J de energia por trabalho. Quanto calor ele precisa trocar com o ambiente para completar um ciclo?
O enunciado pede a quantidade de calor Q que o sistema fechado tem que trocar com o ambiente, mas só falou que ele recebe 50 J de energia por trabalho W .
Como podemos descobrir a quantidade de calor trocado, se ele só falou sobre a quantidade de energia trocada por calor? Existe alguma fórmula que liga essas duas variáveis?
Sim! A primeira lei da termodinâmica! Mas existem duas formas da primeira lei para sistemas fechados! Uma é usada quando o sistema fechado passa por um processo. Ou seja, ela é usada, quando um processo tira o sistema de um estado inicial 1 e o coloca em um estado final 2 que tem que ser diferente do estado 1!
A outra forma é usada, quando o sistema passa por um ciclo termodinâmico! Ou seja, nesse caso, alguns processos levam o sistema para o mesmo estado 1 que ele tinha no início! Isso significa que a energia total final do sistema E 2 é igual à energia total inicial do sistema E 1 . Logo:
Como a questão disse que o sistema fechado completa um ciclo, usaremos a segunda forma da primeira lei para resolver o exercício!
Ótimo, porque já sabemos a quantidade de energia que o sistema troca através do trabalho! Agora, para substituir o valor de W na fórmula só precisamos descobrir o seu sinal!
Descobriremos o sinal no próximo passo!
Para descobrir o sinal de W , precisamos lembrar da regra de sinal que criamos pro trabalho!
Definimos que o trabalho positivo é o trabalho realizado pelo sistema sobre sua vizinhança. Ou seja, o sistema perde energia, quando o trabalho é positivo!
O trabalho é negativo, quando ele é realizado sobre o sistema. Nesse caso, o sistema está recebendo energia do ambiente ao redor. Nesse cenário, consideramos que:
Como foi dito pelo exercício que o sistema recebe energia do ambiente, seu valor é negativo!
W = - 50 J
Substituindo esse resultado na primeira lei, conseguimos encontrar o valor de Q !
Q = W ⟹ Q = - 50 J
A regra de sinal do calor Q é o contrário da regra de sinal do trabalho W . O calor é positivo, quando o sistema recebe energia e negativo, quando o sistema perde energia. Logo, a resposta final mostra que o sistema precisa perder 50 J de energia por calor para completar um ciclo termodinâmico!
Q = - 50 J
Um gás contido em um conjunto cilindro-pistão ocupa inicialmente 1 m 3 de volume. Ele realiza um processo isobárico a 100 k P a . Ao final desse processo, ele passa a ocupar 0,5 m 3 de volume. Quanto calor ele precisa trocar com o ambiente para completar um ciclo?
O enunciado diz que o sistema realizou um processo a pressão constante de 100 k P a , no qual o volume foi diminuído. Quando o problema diz isso, ele quer dizer que a vizinhança realiza trabalho no sistema! Mas não é qualquer tipo de trabalho! A fronteira do sistema muda de posição, quando o trabalho é realizado. Logo, ele é o trabalho de movimento de fronteira!
Existe uma fórmula para calcular esse trabalho de movimento de fronteira a pressão constante W ! Ela vai ser muito importante na resolução dessa questão!
P é a pressão do gás durante o processo. Ela vale 100 k P a segundo o enunciado;
V 1 é o volume inicial do gás antes do processo. Ele vale 1 m 3 segundo o enunciado;
V 2 é o volume final do gás depois do processo. Ele vale 0,5 m 3 segundo o enunciado.
Mas do que vale saber calcular o trabalho W , se nós queremos calcular o calor trocado Q ?
Responderemos isso no próximo passo!
Essa etapa é importante, porque existe uma fórmula para ciclos que calcula o calor em função do trabalho. Ela se chama primeira lei da termodinâmica e se encontra abaixo!
Substituindo a equação do trabalho de movimento de fronteira na fórmula acima chegamos na seguinte expressão matemática.
Q = P ⋅ V 2 - V 1
Agora é só substituir os dados da questão para achar Q .
Isso será feito no passo a seguir!
P = 100 k P a
V 1 = 1 m 3
V 2 = 0,5 m 3
Antes de substituir esses números na fórmula que criamos, vale fazer uma pergunta: qual será a unidade do calor Q , se fizermos as contas, usando a unidade da pressão em quilopascal k P a ?
Como a pressão estará em quilopascal k P a a unidade do calor será o quilojoule k J !
Q = 100 ⋅ 0,5 - 1
Q = - 50 k J
Pronto! Chegamos na resposta final!
Um gás contido em um conjunto cilindro-pistão a 150 k P a ocupa 2 m 3 de volume. Ele realiza um processo politrópico de expoente igual a 1,5 até alcançar uma pressão de 20 0 k P a . Após esse processo, ele libera 100 k J de calor. Considerando que o gás realiza um ciclo termodinâmico, determine o volume que o gás ocupa logo após passar pelo processo politrópico.
O enunciado diz que o gás contido no conjunto cilindro-pistão passa por dois processos que formam um ciclo: o processo politrópico (processo A) e o processo de liberação de calor (processo B).
Como os dois processos formam um ciclo, o trabalho realizado sobre o sistema durante o processo politrópico W é igual ao calor liberado pelo gás durante o processo B. Isso ocorre, porque a primeira lei para um ciclo tem a seguinte forma.
É justamente essa ligação entre os valores de calor e trabalho que nos levará ao valor do volume final V 2 .
Sabemos que o gás perde 100 k J de energia por calor. Logo, Q vale:
Q = - 100 k J
Já o trabalho do processo politrópico pode ser calculado com a fórmula abaixo:
P 1 = 150 k P a
P 2 = 200 k P a
V 1 = 2 m 3
Substituindo essa fórmula na primeira lei encontramos que:
Q = P 2 ⋅ V 2 - P 1 ⋅ V 1 1 - n
Reorganizando essa equação, conseguimos criar uma equação para V 2 .
V 2 = Q ⋅ 1 - n + P 1 ⋅ V 1 P 2
Agora só falta substituir os valores que temos nessa fórmula! Vamos deixar isso para o próximo passo!
Colocando os números no lugar certo, vemos que:
V 2 = - 100 ⋅ 1 - 1,5 + 150 ⋅ 2 200
V 2 = 1,75 m 3
Eba! Encontramos o que a gente procurava!
Um vapor d'água saturado contido em um conjunto cilindro-pistão a 100 ° C ocupa 3 m 3 de volume. O vapor sofre trabalho e, após esse processo adiabático, ele libera 150 k J de calor. Considerando que o vapor realiza um ciclo termodinâmico, determine o valor da sua energia interna específica da água logo após ela sofrer trabalho. Utilize a tabela termodinâmica abaixo.
O enunciado diz que o vapor contido no conjunto cilindro-pistão passa por dois processos que formam um ciclo: o processo de sofrer trabalho (processo A) e o processo de liberação de calor (processo B).
Como os dois processos formam um ciclo, o trabalho realizado sobre o sistema durante o processo A W A é igual ao calor liberado pelo gás durante o processo B Q B . Isso ocorre, porque a primeira lei para um ciclo tem a seguinte forma.
Q B = W A
É justamente essa ligação entre os valores de calor e trabalho que nos levará ao valor da energia interna específica do estado 2 u 2 .
Sabemos que o vapor perde 150 k J de energia por calor. Logo, Q B vale:
Q B = - 150 k J
Já o trabalho só pode ser calculado com a ajuda da primeira lei da termodinâmica aplicada ao processo A.
Q A - W A = m ⋅ u 2 - u 1
Q A é a troca de calor entre sistema e vizinhança durante o processo A. Como o enunciado diz que esse é um processo adiabático:
m é a massa do vapor em quilograma k g ;
u 1 é a energia interna específica do vapor antes dele sofre trabalho;
u 2 é a energia interna específica do vapor depois dele sofre trabalho. Ela é a incógnita do problema!
A equação da primeira lei aplicada ao processo A mostra que falta encontrar os valores de m e u 1 para calcular u 2 !
A gente vai aprender a fazer isso no próximo passo.
A massa m da água pode ser calculada reorganizando a fórmula e volume específico:
v 1 = V 1 m ⟹ m = V 1 v 1
V 1 é o volume que a água ocupa antes de sofrer trabalho. Segundo enunciado:
V 1 = 3 m 3
v 1 é o volume específico que a água tem antes de sofrer trabalho. Ele é o v v da tabela de propriedades para 100 ° C de temperatura.
u 1 pode ser obtida através da tabela termodinâmica. Ela é a u v da tabela para 100 ° C .
Se a gente reorganizar a primeira lei para o processo A, conseguimos criar uma fórmula para u 2 .
Q A - W A = m ⋅ u 2 - u 1 ⟹ u 2 = Q A - W A m + u 1
Usando a primeira lei para ciclos, descobrimos que:
u 2 = Q A - W A m + u 1 ⟹ u 2 = Q A - Q B m + u 1
Agora podemos substituir os valores que temos nessa fórmula para achar o resultado final.
Iniciamos as contas pelo cálculo da massa m . A primeira etapa para isso é achar v 1 na tabela de propriedades.