Entenda de uma vez a Teoria dos Conjuntos - Matemática Rio
1 ano atrás • Conjuntos Numéricos • 0
Neste post, vamos dar uma olhada no conceito de Teoria dos Conjuntos, uma disciplina que, embora não seja tão difícil assim, acaba dando nó na cabeça de muitos alunos. Mas não precisa ser assim. Analisando a teoria da maneira correta e treinando bastante, é possível compreendê-la direitinho e arrasar nos exames e provas. E aí, preparado? Então, vem comigo!
A Teoria dos Conjuntos é uma teoria bastante utilizada na Matemática. Contudo, a noção básica de conjunto não é uma coisa definida; ela é aceita intuitivamente, o que é conhecido como noção primitiva.
Ela foi usada primeiramente pelo matemático Georg Cantor (1845-1918), que determinou o conjunto como uma coleção de objetos bem definidos e discerníveis, conhecidos como elementos do conjunto.
Mas, antes de irmos além, vamos dar uma olhada em alguns conceitos também considerados primitivos e que são importantes para a Teoria de Conjuntos:
Conjunto: geralmente designado por uma letra maiúscula (A, B… Y, Z);
Elemento: geralmente designado por uma letra minúscula (a, b… y, z);
Pertinência: relação entre elemento e conjunto, detonada pelo símbolo ∈, lido como "pertence a".
Pode-se representar um conjunto de várias formas. Vejamos como:
Listagem dos elementos
Apresentamos um conjunto por meio da listagem de seus elementos quando relacionamos todos os elementos que pertencem ao conjunto considerado e envolvemos essa lista em um par de chaves.
Os elementos de um conjunto, quando apresentados assim, ficam separados por vírgula ou por ponto-e-vírgula, no caso da existência de número decimais no conjunto. O tipo de representação abaixo é chamado de representação tabular:
Exemplo: Seja A o conjunto dos algarismos do sistema decimal de numeração, então:
A apresentação de um conjunto por meio de listagem de seus elementos tem um inconveniente: não tem uma notação prática para casos quando o conjunto tem uma infinidade de elementos. Assim, também é possível apresentá-lo por meio de uma propriedade que sirva a todos os elementos do conjunto e somente a esses elementos.
A = {x/x é algarismo do sistema decimal de numeração}
O Diagrama de Venn é um modo gráfico de apresentar um conjunto e, por isso, muito prático. Os elementos são mostrados por pontos interiores a uma linha fechada não entrelaçada. Assim, os pontos que ficam fora da linha representam elementos que não pertencem ao conjunto.
Exemplo: Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto.
Alguns símbolos matemáticos
Em se tratando de Teoria dos Conjuntos, existem alguns símbolos matemáticos aos quais precisamos ficar atentos. São eles:
≤ (é menor ou igual a)
≥ (é maior ou igual a)
{ } ou Ø (conjunto vazio)
Como um conjunto é formado por elementos, um objeto a qualquer pode ser elemento de um determinado conjunto A. E a forma de dizermos isso é:
a pertence a A e escrevemos a ∈ A
Se o objeto a não pertencer a A, dizemos:
que a não pertence a A e escrevemos a ∉ A.
Exemplo: Consideremos o conjunto: A = {1, 3, 5, 7}
O algarismo 5 pertence ao conjunto A, então: 5 ∈ A.
O algarismo 4 não pertence ao conjunto A, então: 4 ∉ A.
Subconjuntos – Relação de Inclusão
Dizemos que o conjunto A está contido no conjunto B se todo o elemento que pertencer a A também pertencer a B. Representamos assim:
A ⊂ B (lê-se: A contido em B)
Mas também há outra forma de apresentar essa relação de inclusão:
B ⊃ A (lê-se: B contém A)
Quando um elemento de A não pertencer a B, então o primeiro não estará contido no segundo. Neste caso, apresentamos assim:
A ⊄ B (lê-se: A não está contido em B)
Lembre que a relação de pertinência relaciona um elemento a um conjunto. Já a relação de inclusão se refere a dois conjuntos.
Errado: 2 ⊂ {0, 2, 4, 6, 8} | Correto: 2 ∈ {0, 2, 4, 6, 8}
Errado: {2} ∈ {0, 2, 4, 6, 8} | Correto: {2} ⊂ {0, 2, 4, 6, 8}
Exemplo: Se A é o conjunto dos retângulos e B é o conjunto dos quadriláteros, então A ⊂ B, pois todo retângulo é um quadrilátero.
Vamos ver a representação por diagrama.
No estudo da Teoria dos Conjuntos, um dos conteúdos mais comuns são os conjuntos numéricos. Vamos a eles:
É o conjunto dos números inteiros não negativos:
IN = {0, 1, 2, 3, 4,…}
IN* = {1, 2, 3, 4, 5,…} o zero foi excluído do conjunto IN.
É o conjunto de números que podem ser escritos sem um componente fracional.
O conjunto IN é subconjunto de Z, mas também temos outros subconjuntos de Z, como:
Z* = Z – {0}
Z+ = conjunto dos inteiros não negativos = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
Z_ = conjunto dos inteiros não positivos = {0, -1, -2, -3, -4, -5, …}
Perceba que Z+= IN.
Os números irracionais são decimais infinitos não periódicos. Em outras palavras, são números que não podem ser escritos na forma de fração (divisão de dois inteiros). Um número irracional bastante conhecido é o número π = 3,1415926535…
O conjunto dos números reais é formado pela união entre o conjunto dos números racionais (Q) com o conjunto dos números irracionais. Ou seja: