Aula 11- Analise Combinatoria Parte II - Material para concursos sobre Raciocínio...
São as mesmas pessoas? Sim. Mas são as mesmas filas? Não! São filas diversas! Logo, como os resultados acima são diferente, trabalharemos com o Arranjo!
Arranjo de quantos em quantos? De 8 (total do conjunto universo) em subgrupos também de 8. Daí, lembraremos que estamos diante de um caso particular do Arranjo, chamado de Permutação!
Ora, para cumprir a exigência de que homens e mulheres estejam sempre alternados, haverá duas possíveis formações. As seguintes:
1ª Situação) com um homem na ponta da esquerda!
Ou, então: 2ª Situação) com uma mulher na ponta da esquerda!
Já sabemos que a questão sai por Permutação! Daí, percebemos que, quer estejamos trabalhando na primeira situação, quer na segunda, teremos que os quatro homens permutarão de lugar entre si, o mesmo ocorrendo com as quatro mulheres. Daí, teremos:
Multiplicando-se estas duas permutações (a dos homens e a das mulheres), chegaremos ao resultado para esta primeira situação (homem na ponta da esquerda)!. Teremos:
Æ 24x24=576
Seguindo o mesmíssimo raciocínio, percebemos que haverá também 576 possíveis maneiras de alocar as oito pessoas, alternando-se homens e mulheres, caso tenhamos uma mulher na ponta da esquerda.
Finalmente, somando-se os resultados das duas situações que respondem à questão, teremos:
Æ 576 + 576 = 1052 Æ Resposta!
Mas a questão na acaba aí! Agora o enunciado quer que coloquemos as oito pessoas nas cadeiras, de sorte que os homens permaneçam juntos, o mesmo se dando com as mulheres!
Vimos, na aula passada, que quando o enunciado amarra que tais elementos devem estar sempre juntos, passaremos a tratá-los como sendo um único elemento! Lembrados disso? Daí, teremos:
P4=4!=24 P4=4!=24
P2=2!=2
Multiplicando-se essas permutações parciais, teremos: Æ 24x24x2=1052 Æ Reposta! Resposta) Letra C!
A pergunta que fica no ar é a seguinte: foi coincidência esses dois resultados iguais (1052)? Absolutamente não! Essas duas situações requeridas pelo enunciado (1ª: homens e mulheres alternados; e 2ª: homens juntos e mulheres juntas) produzirão sempre os mesmos resultados! Caso já soubéssemos disso antes de começar a questão, nem precisaríamos resolvê-la, haja vista que somente uma opção de resposta traz dois resultados iguais! Marcaríamos prontamente a opção C.
Você pode (e deve!) tentar fazer esses mesmos dois exercícios ("homens e mulheres alternados" e "homens juntos e mulheres juntas") para seis pessoas (três rapazes e três moças) e para dez pessoas (cinco rapazes e cinco moças), e comparar os resultados encontrados!
05. (Oficial de Chancelaria 2002 ESAF) Chico, Caio e Caco vão ao teatro com suas amigas Biba e Beti, e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que Chico e Beti fiquem sempre juntos, um ao lado do outro, é igual a: a) 16 b) 24 c) 32 d) 46 e) 48
Aqui não tem mais segredo! A questão especifica que dois elementos têm que estar sempre juntos! Daí, consideraremos como se fossem um só elemento!
Já aprendemos, pelos exemplos da aula anterior, que iremos resolver essa questão por Permutação. E teremos:
Daí, multiplicando-se as permutações parciais, teremos: Æ 2 x 24 = 48 Æ Resposta! (Letra E)
Esse dever de casa foi muito fácil, vocês não acharam? Realmente!
Daremos, agora, continuidade ao estudo da Análise Combinatória, passando a conhecer alguns aspectos específicos do assunto, os quais, embora não sejam nada complicados, merecem uma atenção especial da nossa parte.
Praticamente, o que nos falta conhecer são dois tópicos referentes à Permutação –
Permutação Circular e Permutação com Repetição – e um tipo específico de questão de Combinação que já foi muito e muito explorado em provas recentes!
Comecemos com a Permutação Circular.
# Permutação Circular: Comparemos os dois exemplos abaixo:
Exemplo 1) De quantas formas podemos colocar quatro pessoas – João, José, Pedro e Paulo – em uma fila indiana?
Até já trabalhamos esse exemplo, mas vale aqui a reprise. Fila indiana, vocês sabem, é aquela em que as pessoas ficam uma após a outra.
O conjunto universo é formado pelas quatro pessoas. E o subgrupo também!
Para formar o subgrupo, poderemos usar elementos iguais? Obviamente que não, uma vez que estamos trabalhando com pessoas. Daí, constatamos que a solução virá pelo caminho do Arranjo ou da Combinação. Mas qual dos dois?
Æ Criando um resultado possível, teremos: {João, José, Pedro, Paulo} Eis a nossa fila indiana! Æ Agora, invertendo a ordem acima, teremos: {Paulo, Pedro, José, João}
São filas iguais? Não! Apesar de serem as mesmas pessoas, as filas são distintas! Logo, o caminho de resolução é o Arranjo.
Arranjo de quantos em quantos? De quatro em quatro. Ou seja, Permutação de 4.
Æ P4=4!=4x3x2x1=24 Æ Resposta!
Exemplo 2) De quantas maneiras podemos colocar quatro pessoas em quatro posições ao redor de uma mesa redonda?
Vamos desenvolver todo o raciocínio.
O conjunto universo é formado por quatro pessoas. E o subgrupo também!
Os elementos do subgrupo têm que ser distintos, uma vez que são pessoas! Criemos um resultado possível:
Mudando a ordem dos elementos do resultado acima, teremos: As mesas são iguais? Não! São diferentes!
Paulo João José
Daí, trabalharemos com Arranjo! De quantos em quantos? De quatro em quatro. Ou seja, Permutação de 4. Paremos um pouco! Até aqui, tudo foi igual ao exemplo anterior!
A única diferença entre esses dois enunciados consiste no fato de que agora pretendemos dispor os elementos do conjunto universo em um formato circular! No caso, uma mesa redonda!
Apenas por esta disposição circular dos elementos, inserida em um enunciado que será resolvido por Permutação, diremos que estamos diante de uma chamada Permutação Circular!
Daí, concluímos, Permutação Circular é um caminho de resolução que será utilizado quando estivermos em um problema que sai por Permutação, e em que os elementos do subgrupo estarão dispostos em uma forma circular!
Além da mesa redonda, são outros formatos circulares, que podem estar presentes numa questão de Permutação Circular, um colar de pérolas, uma roda de crianças etc.
É fácil identificar esse formato circular!
Pois bem! Quando estivermos diante de um enunciado de Permutação Circular, saberemos que a fórmula tradicional da Permutação sofrerá uma pequena variação. Teremos:
P CIRCULAR n = (n-1)!
Só isso! Nada mais que isso! Daí, voltando ao nosso exemplo, teremos:
Entendido? Passemos a um novo conceito.
# Permutação com Repetição:
Passemos a mais dois exemplos:
Exemplo 1) Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra SAPO? Sol.:
Aprendemos na aula passada o que é um anagrama! E vimos também que (e aqui podemos generalizar!) questões de anagrama se resolvem por permutação! Lembrados?