Simpósio Internacional do Adolescente - Resumo: o papel psicológico da História da Matemática no processo de ensino-aprendizagem
Resumo: o papel psicológico da História da Matemática no processo de ensino-aprendizagem
Mestranda FEUSP – Linha de pesquisa: Ensino de Ciências e de Matemática - End: Av. Antonio Diogo, 684 03669-040 – São Paulo - SP - E-mail: crisberghem@ig.com.br - Fone: (11) 6957 – 8548
A História da Matemática pode exercer um importante papel psicológico no processo de ensino-aprendizagem tanto em relação ao professor quanto em relação ao aluno. Ao estudante pode propiciar condições de perceber as diversas etapas da construção do pensamento Matemático, entender as diferentes práticas sociais que geraram as necessidades de sua produção e trabalhar as diversas linguagens e formas simbólicas que o constituem e o condicionam. Ao professor, permite problematizar a ação pedagógica no sentido de se criar uma consciência das vivências e recursos cognitivos e interpretativos necessários para uma apropriação significativa das idéias matemáticas. Assim, a História da Matemática apresenta um papel psicológico importante no processo de ensino-aprendizagem ao estimular o envolvimento e a participação ativa do estudante, ao apresentar as dificuldades superadas na busca de solução para os problemas historicamente constituídos de acordo com as diferentes necessidades de diversas sociedades e ao liberar os recursos cognitivos e afetivos do aluno para o re-criar da Matemática. O adolescente, ao tomar contato com as produções de diferentes épocas e culturas, pode ressignificá-las com base em suas próprias experiências e estabelecer uma atividade dialógica com as diferentes características da linguagem matemática (natureza teórica e sistemática, coerência interna, procedimentos lógicos e lingüísticos ligados a uma axiomática própria, entre outras), que não se manifestam no conhecimento construído espontaneamente fora da escola. Além disso, a percepção da dialética dos processos criativos desmistifica a idéia de que a Matemática é algo pronto e acabado, distante das capacidades pessoais, e colabora para diminuir os bloqueios dos alunos em relação ao aprendizado da Matemática.
A Matemática, sabidamente, provoca diversas emoções em alunos e professores: é motivo de paixão e de desespero, de encanto e de desilusão, de euforia e de nihilismo. As crenças, os valores, a aceitação social e outros fatores não menos importantes condicionam todo processo de ensino-aprendizagem escolar dessa disciplina e podem favorecer ou dificultar as diversas etapas percorridas pelo aluno e pelo professor durante o encaminhamento dos trabalhos.
A Educação relaciona-se com a Psicologia ao buscar como e quando ensinar e na comunidade internacional de pesquisadores em Educação Matemática encontramos uma forte pressão da perspectiva psicológica no estudo dos processos de ensino e aprendizagem da Matemática (Godino, 2003, p. 12).
Na busca por melhores opções pedagógicas de abordagem de conteúdos, grupos de pesquisa em Educação Matemática discutem as diversas maneiras de problematização de situações que tornem o ensino mais significativo para o aluno e a História da Matemática fornece uma riqueza de opções que a torna um campo de estudo e de pesquisas cada vez mais profícuo.
A História da Matemática pode exercer um importante papel psicológico no processo de ensino-aprendizagem tanto em relação ao professor quanto em relação ao aluno. Ao estudante pode propiciar condições de perceber as diversas etapas da construção do pensamento Matemático, entender as diferentes práticas sociais que geraram as necessidades de sua produção e trabalhar as diversas linguagens e formas simbólicas que o constituem e o condicionam. Ao professor, permite problematizar a ação pedagógica no sentido de se criar uma consciência das vivências e recursos cognitivos e interpretativos necessários para uma apropriação significativa das idéias matemáticas.
As diversas contribuições da História da Matemática na Educação Matemática podem ser assim resumidas: apresentar a importância das muitas formas de atividade intelectual, negar o pressuposto de uma Matemática pronta e acabada e apresentá-la com uma ciência em construção, mostrar os caminhos percorridos na criação da Matemática que temos hoje e as outras possibilidades de sua construção, apresentar o erro como uma tentativa de resolução e não como uma falha, etc.
Nesse trabalho, procuraremos qual o papel psicológico que a História da Matemática pode exercer na Educação Matemática e quais são suas implicações na prática pedagógica. Para tanto, apresentaremos a dimensão emocional em Educação Matemática, alguns aspectos da História da Matemática na Educação Matemática e as ligações que encontramos entre essas diferentes perspectivas.
A Dimensão Afetiva em Educação Matemática:
Através da interação entre a cognição e o afeto, a dimensão afetiva em matemática tem um lado racional tanto na cultura em sala de aula quanto na cultura em geral. Assim, para estudarmos como as pessoas aprendem, é necessário que se perceba a ligação entre cognição e afeto: as crenças, atitudes e emoções influenciam a maneira como as pessoas trabalham vários processos cognitivos, como por exemplo os processos metacognitivos, que indicam novas estratégias de resolução ou simplesmente desistem da busca de soluções, os processos de armazenagem e de recuperação de informações e outros. É reconhecido o fato de que quando uma emoção é fortemente negativa, a pessoa entra em pânico e sua capacidade de processamento fica ligada somente na avaliação de seu estado emocional, bloqueando qualquer outro processo.
Para pesquisar o afeto em Educação Matemática, definiremos "domínio afetivo" a partir de três descritores: crenças, atitudes e emoções. Dentre eles, as emoções ganham maior relevo quando analisamos o fato de que são nas respostas emocionais às resoluções de problemas matemáticos que surgem a maioria dos fatores afetivos. O estado emocional possui várias dimensões: a extensão e a direção da emoção, a duração e o nível de consciência e controle do aluno. Quando o professor consegue trabalhar com essas dimensões pode interferir de maneira a conduzir positivamente as reações emocionais, favorecendo a formação e a solidificação de atitudes favoráveis à aprendizagem.
Entretanto, existe uma dificuldade de se estabelecer uma diferenciação entre crenças, afeto e conhecimento. Ao nosso ver, o modelo mais apropriado seria o que apresenta as crenças como um conjunto com parte comum nos conjuntos de afetos e de conhecimentos, sendo esses disjuntos. Assim, quanto mais impregnado de afeto algo estiver, mais próximo estará de uma crença e, ao contrário, quanto menos, mais se aproximará de um conhecimento. Nesse contexto, é preciso também se levar em conta os conhecimentos tácitos, ainda não objetivados e que não se tratam de crenças.
Para entender a importância da relação que se estabelece entre afetos – emoções, atitudes, crenças – e aprendizagem matemática, basta verificar que:
"Ao aprender matemática, o estudante recebe estímulos contínuos associados a ela – problemas, atuações do professor, mensagens sociais, etc. – que geram nele uma certa tensão. Diante desse estímulos reage emocionalmente de forma positiva ou negativa. Essa reação está condicionada por suas crenças sobre si mesmo e sobre a matemática. Se o indivíduo depara-se com situações similares repetidamente, produzindo o mesmo tipo de reações afetivas, então a ativação da reação emocional (satisfação, frustração, etc.) pode ser automatizada e se "solidificar" em atitudes. Essas atitudes e emoções influem nas crenças e colaboram para sua formação." (Chacón, 2003, p.23)
Esse caráter cíclico de ligação entre a aprendizagem e os afetos, ainda de acordo com Chacón (2003) deve ser entendido em seus vários aspectos:
1.Tomar consciência da atividade emocional durante a aprendizagem pode servir com um elemento de auto-regulação para o aprendiz: serve para aumentar a responsabilidade do aluno no planejamento, no controle da aprendizagem e na avaliação;
2.Observar as emoções, atitudes e crenças do aluno em relação à Matemática oferece indícios das experiências que teve como estudante, da perspectiva profissional do professor e da sensibilidade social do contexto em que o ensino se desenvolve;
3.Os conhecimentos subjetivos pertencentes às crenças dos professores se traduzem em sua maneira de ensinar, do mesmo modo que os pertencentes às crenças dos alunos se traduzem em bloqueios e resistências a alguns tipos de aprendizagem;
4. As exigências afetivas para a aprendizagem devem ser tão estudadas quanto as exigências cognitivas, pois a imagem que os alunos e os professores têm da matemática podem servir como referência para novas estratégias de ensino e como crítica para certos métodos.
Como exemplo para essa argumentação, citaremos Paulus Gerdes, um historiador holandês naturalizado moçambicano, que propõe estratégias históricas para estimular a autoconfiança do povo moçambicano em sua capacidade de produzir Matemática e modificar as crenças inculcadas pelos colonizadores.
Para ele, a imagem da Matemática criada e capaz de ser compreendida somente pelos homens brancos negava as tradições dos povos colonizados e reduzia a capacidade matemática destes povos a uma memorização mecânica por causa dos bloqueios psicológicos e culturais provocados. A reversão de tais crenças se daria através de estratégias culturais, sociais e individuais-coletivas. A estratégia cultural teria como objetivos mostrar a capacidade que cada povo tem de desenvolver matemática e seria desenvolvida através de atividades relacionadas à história cultural da Matemática de Moçambique, como por exemplo:
"Nas zonas litorais de Moçambique, seca-se o peixe para ser vendido no interior. Como secar o peixe? Através de sua experiência, os pescadores descobriram que é necessário colocar todo o peixe à mesma distância do fogo. Eles descobriram um conceito de circunferência na areia, utilizando uma corda e dois paus. Esse exemplo mostra, mais uma vez, que conceitos matemáticos importantes refletem relações importantes no mundo objetivo." (Gerdes, apud Miguel, 2004, p.27).
Como estratégia social, Gerdes sugere que a escola trabalhe com os exemplos históricos que neguem os preconceitos relacionados com as capacidades matemáticas das classes sociais menos favorecidas. Por último, ele propõe uma estratégia que denomina de individual–coletiva, que se baseia na discussão sobre os diversos aspectos da Matemática, como erros e construção de conceitos, que possibilitem a compreensão do processo criativo da Matemática e da dialética neles envolvida.
Como podemos perceber, todo o questionamento gerado em torno das relações sociais, históricas e políticas através das estratégias propostas por Gerdes tem como objetivo a modificação das crenças à respeito da história de uma matemática única, de característica eurocentrista e a valorização de histórias sociais e culturais da Matemática. (Esse tipo de trabalho é inserido no campo da Etnomatemática).
A importância das crenças no processo de ensino e aprendizagem de Matemática:
O nível de consciência das próprias crenças e da influência do contexto social são fatores decisivos nas práticas de ensino e indicam o modo de proceder do professor. Em relação ao aluno, as crenças sobre a aprendizagem matemática são influenciadas pelo que consideram como prioridades: dominar procedimentos básicos, memorizar algoritmos, consciência da utilidade da Matemática, valorização do aprendizado como habilidade para progredir na vida, obter confiança em si mesmo e reforçar sua imagem em relação ao grupo, etc.
É no entrelaçar da cognição e do afeto que pretendemos focar nossa atenção. As crenças trazidas para o contexto da sala de aula irão interferir na atribuição de significados para as diferentes tarefas e colaborar ou não para a compreensão das atividades desenvolvidas. Assim, após definir contexto interativo como aquele no qual se evocam percepções individuais das exigências da tarefa (por exemplo, o contexto escolar, o contexto da vida cotidiana, etc.) e contexto figurativo como o que está descrito na tarefa, Chacón acrescenta:
"Todas as tarefas estão socialmente situadas, mas o contexto da tarefa é conseqüência da construção e da resposta do indivíduo. O contexto pessoal da tarefa como resultado da inter-relação entre o contexto "interativo" e o "figurativo" toma a forma de uma representação cognitiva, por meio da qual o indivíduo atribui significado pessoal para a tarefa e compreende o processo de resolução de problemas." (Chacón, 2003, p.85).
Dentro da perspectiva da psicologia cultural, também consideramos esclarecedora a apresentação de Galvão (2003, p. 90):
"Em suma, a posição aqui exposta, acerca do que define um indivíduo como um ser cultural, é a de que a cultura provê um sistema simbólico para interpretação e organização da experiência, assim como para conferir significado à vida. O indivíduo, por ser ativo nessa interpretação e organização de sua experiência, se diferencia dos demais em vários aspectos de seu funcionamento psíquico, não sendo assim determinado pela cultura. Esta, por sua vez, como resultado de uma história de criação coletiva, não se reduz à soma das contribuições individuais."
Com isso, esperamos que fique clara a importância da "construção do contexto" para facilitar a compreensão dos conceitos em Matemática. Também podemos verificar que as diferentes fases da resolução de uma tarefa mostram como a dimensão emocional interage com a cognição: as idas e vindas, as rotas alternativas de resolução e as alterações de ânimo encontradas nas diversas etapas do trabalho são alguns exemplos. Assim, quando as tarefas são significativas para o aluno favorecem o acesso ao conhecimento matemático, permitem a apropriação dos conceitos e motivam o aprender. Tendo tais pressupostos em vista, e, além disso, considerando a importância de se caminhar na construção dos conceitos matemáticos com saltos qualitativos em compreensão acessíveis ao aluno, procuraremos explicitar alguns dos valores didáticos da História da Matemática na Educação Matemática em termos individuais e culturais.
A História da Matemática na Educação Matemática:
De acordo com Miguel (2004), o recurso à História como uma tentativa de dar significado ao ensino da Matemática aparece nos livros didáticos brasileiros de Matemática do final do século XIX e começo do XX, a exemplo do que já ocorria na Europa um século antes, com a publicação da obra Elements de géométrie, de Aléxis Claude Clairaut, em 1741. Era manifestado pela apresentação de métodos produzidos historicamente ou de observações sobre temas e personagens da história da matemática e sofreu forte influência positivista, ao mesmo tempo em que utilizavam uma versão do "princípio genético" para o ensino da Matemática.
O "princípio genético" tem origem em uma lei biogenética defendida por Ernst Haeckel (1834-1919), que faz a seguinte afirmação: "a ontogenia recapitula a filogenia", ou seja, o desenvolvimento do embrião humano retraça os estágios pelos quais seus ancestrais adultos haviam passado. Em pedagogia, tal princípio é ligado à idéia de que o aluno percorre em seu aprendizado as mesmas etapas historicamente percorridas para a construção de um conceito. Vários matemáticos famosos se apresentaram partidários do uso pedagógico desse princípio, como Henri Poincaré (1854-1912) e Félix Klein (1849-1925) e concebiam a Matemática como uma acumulação linear e hierárquica de conhecimentos que deveriam ser recapitulados na escola nos processos de ensino-aprendizagem.
Piaget também adotou o princípio genético em seus trabalhos e escreveu, juntamente com Rolando Garcia, o livro Psicogênese e História das Ciências (1982). Nesse livro, os autores defendem a tese de que a construção do conhecimento se dá da mesma maneira nos planos psicogenéticos e filogenéticos, através de mecanismos que denominam abstração reflexiva e generalização completiva. Com tais mecanismos de passagem, o aprendiz adaptaria o saber constituído aos seus conhecimentos prévios para construir conhecimentos novos usando os processos de assimilação, acomodação e equilibração. Assim, para aprender Matemática o sujeito teria que reconstruir as mesmas operações cognitivas que marcaram a construção histórica dos objetos matemáticos, que abstraídos de suas situações concretas se tornariam exclusivamente objetos formais. O recurso à História da Matemática se apresentava como uma opção para a busca de conflitos cognitivos que possibilitassem a passagem de uma etapa da construção do conhecimento para outra de nível superior. Sob esta perspectiva teórica, a produção cultural das idéias da Matemática é tratada de uma forma internalista e estruturada, desligada de qualquer contexto, da mesma forma que se desconsidera o condicionamento sócio-cultural no desenvolvimento cognitivo do indivíduo.
Em busca de um enfoque mais sistêmico da didática da Matemática, Brousseau parte da noção de obstáculo epistemológico criada por Bachelard e constrói a Teoria das Situações Didáticas. Nela são consideradas as relações criadas em uma situação didática entre o aluno (ou os alunos), o entorno e o professor por um problema estabelecido para a reconstrução de um conhecimento. Nesse sentido, a aprendizagem por adaptação ao meio implica em rupturas cognitivas, acomodações e mudanças nos sistemas cognitivos, no uso da linguagem e nas concepções prévias. Apesar de adotar uma perspectiva piagetiana ao admitir a construção do conhecimento pela interação entre o sujeito e o objeto, a teoria da situação didática dá importância à gestão do professor da interação entre o subsistema aluno-saber e a situação-problema apresentada, o que acrescenta uma dimensão situacional ao processo de ensino-aprendizagem. A História da Matemática, nessa perspectiva, permitiria identificar os obstáculos epistemológicos superados na construção histórica de um conceito e os transformar em situações-problemas que permitissem a reconstrução do conhecimento matemático, ou seja, seria uma fonte de busca de problemas.
Para Miguel (2004), as novas perspectivas teóricas em construção no campo de investigação História na Educação Matemática defendem uma abordagem sociocultural que considere os significados em seus contextos específicos. A maior crítica é dirigida ao princípio recapitulacionista, que provoca um reducionismo de natureza sociológica ao identificar a cultura como algo externo, fonte de estímulos para desenvolvimentos conceituais e a cognição como algo interno, mero reflexo da cultura. O recurso à História da Matemática deve ser, então, baseado em um diálogo do passado com o presente e interpretado dentro das práticas sociais em que tal passado se achava envolvido. Desse modo, se deixaria de subordinar o presente ao passado e ao mesmo tempo de se fazer uma leitura da evolução dos conceitos da maneira que se acredita que eles tenham acontecido, derrubando a visão internalista do desenvolvimento da Matemática que essa leitura pressupõe.
Concordando com as proposições de Miguel (2004), procuramos definir o papel psicológico da História da Matemática na Educação Matemática. Ao ponderarmos sobre a importância das crenças, dos valores e da emoção nos aspectos cognitivos envolvidos no ensino e na aprendizagem da Matemática, não podemos nos furtar a esse exame das práticas sociais nas quais ocorreu o desenvolvimento da Matemática que hoje conhecemos. Sob essa perspectiva, as problematizações permitidas pelo conhecimento histórico da construção do conhecimento matemático são muito amplas e podem enfocar diversos aspectos, entre os quais:
1. procurar reproduzir em sala de aula o processo de criação da Matemática, apresentando as informações fundamentais para se entender a lógica de um determinado desenvolvimento;
2. conseguir apresentar uma significação para o tópico a ser apresentado e ao mesmo tempo justificar o simbolismo necessário ao formalismo da Matemática, para motivar o aluno a prosseguir seus estudos;
3. oferecer uma visão de conjunto da Matemática, ao favorecer as ligações entre as diversas temáticas sem o rigor característico da Matemática do presente, através das aplicações práticas que ocorreram na evolução histórica da Matemática;
4. atribuir a produção cultural da sociedade não exclusivamente a quem finalmente resolveu um problema, mas ao esforço e à criatividade de conjuntos de toda comunidade;
5. apresentar a Matemática como uma ciência em construção, mostrando os equívocos ocorridos durante o seu desenvolvimento como parte da natureza da atividade Matemática;
6. resgatar a identidade cultural da sociedade, através de uma compreensão externalista da História da Matemática;
7. revelar os fundamentos da Matemática;
8. contribuir para a formação de um pensamento independente e crítico sobre a construção histórica da Matemática.
Assim, a História da Matemática apresenta um potencial pedagógico muito grande e, mais especificamente, apresenta a possibilidade de trabalharmos os afetos envolvidos no processo de ensino aprendizagem de uma maneira positiva, podendo colaborar para quebrar o ciclo de exclusão em relação à matemática escolar que encontramos hoje. . O aluno, ao tomar contato com as produções de diferentes épocas e culturas, pode ressignificá-las com base em suas próprias experiências e estabelecer uma atividade dialógica com as diferentes características da linguagem matemática (natureza teórica e sistemática, coerência interna, procedimentos lógicos e lingüísticos ligados a uma axiomática própria, entre outras), que não se manifestam no conhecimento construído na escola.
Acreditamos que é através dessa visão de uma Matemática socialmente construída que poderemos desmistificar as diversas dificuldades atribuídas ao seu estudo e, indo além, apresentá-la como uma ciência em construção, dependente das diversas capacidades criadoras. O maior ganho nessa forma de se enxergar a História da Matemática na Educação Matemática é a possibilidade que se abre de discutirmos não só os aspectos cognitivos envolvidos na criação da Matemática, mas também apresentarmos as crenças, as emoções e os afetos envolvidos nas práticas sociais em que tal criação ocorreu. Dessa maneira, podemos favorecer uma reelaboração mental do aluno similar à que historicamente ocorreu na abstração dos conceitos matemáticos e gerar uma aprendizagem mais rica em significados.
Por outro lado, a apresentação da construção histórica do conhecimento mostra como a Matemática desenvolvida por matemáticos, a Matemática escolar e a Matemática do cotidiano estão ligadas, possuem a mesma origem de prática social e se diferenciam pelo formalismo e rigor gradualmente acrescentados ao seu estudo para conseguir uma maior abstração e generalização. Com isso, podemos facilitar a aceitação do progressivo distanciamento que a Matemática vai sofrendo em relação às suas aplicações no dia-a-dia e apresentar esse distanciamento como uma forma mais elaborada intelectualmente para o desenvolvimento do corpo dos conhecimentos matemáticos.
Finalmente, gostaríamos de ressaltar a importância de se conseguir, através do conhecimento histórico, que o aluno relacione cada saber construído com as necessidades históricas e sociais nele existentes e, ao mesmo tempo, perceba as dificuldades envolvidas em seu desenvolvimento. Acreditamos que se alcançarmos tal objetivo conseguiremos traduzir a importância que atribuímos ao papel psicológico da História da Matemática no processo de ensino-aprendizagem, ou seja, a transformação das dimensões afetivas e cognitivas positivamente em relação à Matemática.
ANGLIN, W.S. Matemática e História. Tradução: Carlos Roberto Vianna. Revisão: Maria Laura M. Gomes. In: História & Educação Matemática, v. 1 , nº 1, p. 12-21, 2001- Revista da Sociedade Brasileira de História da Matemática.
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