ACED — 2019/20 — 1º Semestre — MEQ, MEAmbi | DM — IST
Análise Complexa e Equações Diferenciais — 1º Semestre de 2019/2020
Engª Química, Engª do Ambiente
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Semana 1 (16 a 20 de Setembro)
Aula 1 Apresentação. Funcionamento da disciplina. Corpo dos números complexos; representação geométrica. Números complexos na forma polar. Fórmula de Euler.
Aula 2 Produto e quociente de números complexos na forma polar. Fórmula de Moivre. Raiz índice n de um número complexo.
Aula 3 Funções complexas de variável complexa: definições e notação. Funções complexas elementares. Exponencial complexa. Funções polinomiais, funções racionais. Funções trigonométricas. Funções hiperbólicas.
Aula 4 Logaritmo complexo. Ramos da função logaritmo e valor principal. Potência de expoente complexo; ramos da função potência e valor principal. Limites e continuidade de funções complexas de variável complexa. Exemplos; continuidade dos ramos do logaritmo.
Semana 2 (23 a 27 de Setembro)
Aula 5 Definição da derivada de uma função complexa de variável complexa. Equações de Cauchy-Riemann.
Aula 6 Relação entre derivada (complexa) e derivada no sentido dos campos de R² para R²: teorema de Cauchy-Riemann-Goursat (condição necessária e suficiente para a existência de derivada).
Aula 7 Definição de função analítica (ou holomorfa). Exemplos de funções analíticas. Propriedades elementares da derivada complexa: derivada da soma, diferença, produto, quociente e composta. Algumas funções analíticas elementares. Derivada da função inversa. Analiticidade dos ramos do logaritmo.
Aula 8 Conclusão da matéria anterior.
Semana 3 (30 de Setembro a 4 de Outubro)
Aula 8 Funções harmónicas e harmónicas conjugadas. Exemplo de determinação de funções harmónicas conjugadas. Definição de caminho e de curva seccionalmente regular. Curva de Jordan. Teorema da curva de Jordan.
Aula 9 Definição do integral complexo. Propriedades elementares do integral: linearidade, aditividade, simetria. Estimação de integrais. Invariância por reparametrização.
Aula 10 Independência do caminho de integração e existência de primitivas. Teorema fundamental do cálculo. Teorema de Cauchy. Teorema fundamental do cálculo para funções holomorfas em conjuntos simplesmente conexos. Teorema de Cauchy generalizado (para regiões multiplamente conexas).
Aula 11 Fórmula integral de Cauchy e fórmula integral de Cauchy generalizada. As funções analíticas são indefinidamente diferenciáveis. Teorema de Morera. Teorema de Liouville. Teorema Fundamental da Álgebra.
Semana 4 (7 a 11 de Outubro)
Aula 12 Sucessões de termos complexos. Limites de sucessões de termos complexos e suas propriedades elementares. Séries numéricas: reais ou complexas. Sucessão das somas parciais de uma série. Convergência; natureza de uma série.
Aula 13 Série geométrica. Séries de potências. Exemplos. Teorema de Abel. Raio de convergência e disco de convergência de uma série de potências.
Aula 14 Derivação e integração termo a termo de uma série de potências no seu disco de convergência. Discussão dos conceitos (usuais) de analiticidade e holomorfia.
Aula 15 Integrais de Cauchy. Série de Taylor. Teorema de Taylor. Séries de Taylor de algumas funções elementares.
Semana 5 (14 a 18 de Outubro)
Aula 16 Séries de Laurent. Teorema de Laurent. Exemplos.
Aula 17 Singularidades. Singularidades isoladas. Classificação das singularidades isoladas: singularidades removíveis, polos e singularidades essenciais.
Aula 18 Teorema dos resíduos. Cálculo do resíduo para singularidades não essenciais. Séries de Taylor e o cálculo de limites. Exemplos: regra de Cauchy para indeterminações 0/0.
Aula 19 Aplicações do teorema dos resíduos ao cálculo de integrais trigonométricos. Integrais impróprios (reais) de tipo I e tipo II.
Semana 6 (21 a 25 de Outubro)
Aula 20 Aplicações do teorema dos resíduos ao cálculo de integrais impróprios.
Aula 21 Lema de Jordan. Exemplos de cálculo de integrais impróprios com o lema de Jordan.
Aula 22 Conclusão da matéria anterior.
Aula 23 Conclusão da matéria anterior.
Semana 7 (28 de Outubro a 1 de Novembro)
Aula 24 Exemplos e resolução de problemas.
Aula 25 Exemplos e resolução de problemas.
Aula 26 Exemplos e resolução de problemas.
1/11/2019, 6ª feira Feriado.
2/11/2019 (Sábado) 1º Teste
Semana 8 (5 a 9 de Novembro)
Aula 27 Classificação das equações diferenciais. Equações escalares de 1ª ordem. Equações lineares: caso homogéneo e caso geral. Exemplo.
Aula 28 Equações separáveis. Intervalo máximo de solução; soluções que explodem em tempo finito. Alguns exemplos.
Aula 29 Mais exemplos de equações separáveis. Equações exactas. Exemplos.
Aula 30 Equações redutíveis a exactas. Exemplos.
Semana 9 (11 a 15 de Novembro)
Aula 31 Equações vectoriais lineares de 1ª ordem. Funções matriciais. Equação homogénea e matriz solução fundamental.
Aula 32 Soluções da equação homogénea. Equação não homogénea. Fórmula de variação das constantes. Equações vectoriais lineares de coeficientes constantes. Caso homogéneo.
Aula 33 Definição da exponencial de uma matriz. Soluções da equação homogénea e vectores próprios de A. Soluções reais. Série de potências da exponencial de uma matriz. Algumas propriedades de exp(At). Solução geral da equação homogénea e solução do problema de valor inicial correspondente.
Aula 34 Cálculo de exp(At). Casos especiais: A diagonal; A diagonalizável. Forma canónica de Jordan de uma matriz.
Semana 10 (18 a 22 de Novembro)
Aula 35 Cálculo de exp(At) no caso geral. Exemplo.
Aula 36 Cálculo de exp(At) no caso geral (conclusão). Resolução da equação não homogénea através da fórmula de variação das constantes. Exemplo.
Aula 37 Equações escalares lineares de ordem n. Caso n=2: solução do sistema de 2 equações de 1ª ordem equivalente, matriz companheira, matriz wronskiana, solução de um PVI para a equação homogénea. Exemplo: oscilações amortecidas livres.
Aula 38 Equação linear de ordem n e equação vectorial de ordem 1 equivalente. Matriz companheira. Caso homogéneo. Matriz wronskiana. Equação de ordem n de coeficientes constantes. Polinómio característico, solução geral da equação homogénea e exemplo.
Semana 11 (25 a 29 de Novembro)
Aula 39 Equação não homogénea. Fórmula de variação das constantes. Método dos coeficientes indeterminados; polinómio aniquilador. Exemplos.
Aula 40 Exemplos de aplicação da fórmula de variação das constantes. Métodos de redução de ordem e exemplos.
Aula 41 Problema de existência e unicidade de solução para um problema de Cauchy de uma equação diferencial ordinária. Funções lipshitzianas e localmente lipshitzianas. Exemplos. Teorema de Picard.
Aula 42 Teorema de Picard (continuação). Problema integral equivalente ao problema de Cauchy. Iteradas de Picard. Unicidade de solução.
Semana 12 (2 a 6 de Dezembro)
Aula 43 Prolongamento de soluções a intervalos máximos de definição. Comparação de soluções. Exemplo.
Aula 44 Equações diferenciais parciais. Equações do calor, de Laplace e das ondas. Método de separação de variáveis para a equação do calor com condições de Dirichlet homogéneas.
Aula 45 Série de Fourier: definição e exemplos. Convergência em média quadrática das séries de Fourier. Convergência pontual das séries de Fourier. Séries de senos e séries de cosenos. Exemplos.
Aula 46 Resolução da equação do calor com condições de Dirichlet e de Neumann.
Semana 13 (9 a 13 de Dezembro)
Aula 47 Resolução da equação das ondas pelo método de separação de variáveis. Solução de d'Alembert da equação das ondas.
Aula 48 Resolução da equação de Laplace pelo método de separação de variáveis.
Aula 49 Exemplos e resolução de problemas.
Aula 50 Exemplos e resolução de problemas.
14/12/2019 (Sábado) 2º Teste
Semana 14 (16 a 20 de Dezembro)
Aula 51 Definição da transformada de Laplace. Propriedades elementares da transformada de Laplace. Transformada de Laplace de algumas funções.
Aula 52 Aplicações da transformada de Laplace à resolução de problemas de valor inicial para as equações diferenciais ordinárias escalares de ordem n. Distribuição Delta de Dirac e aplicações.