No toro...
[conhecer a superfície]
[o grupo fundamental
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[outras superfícies]
[estereoscopia]
Na figura está representado um toro com dois caminhos sobre a sua superfície. Junto ao toro há dois segmentos (um abaixo e outro à esquerda) onde pode controlar os pontos \(\mbox{rot }x\) e \(\mbox{rot }z\) que rodam o toro, possibilitando, assim, a visualização dos caminhos sob um outro ponto de vista.
Em baixo há uma grelha relativa à longitude e à latitude dos pontos que definem os caminhos sobre o toro.
No canto inferior direito está representado um quadrado (com os lados paralelos identificados) associado à "planificação" do toro em causa.
Junto à superfície estão dois pares ordenados (um para cada caminho), que identificam a classe de equivalência dos caminhos, indicando o "número líquido" de voltas que dão em cada uma das direcções. Estes números correspondem aos números de voltas de caminhos fechados correspondentes aos caminhos inicial e final obtidos por completamento com o segmento que une o ponto final ao ponto inicial.
Existe também um segmento vertical no qual é seleccionada a acção que deseja efectuar:
Mudar escala: Surge sobre a grelha um ponto vermelho que pode mover horizontalmente, de forma a alargar ou apertar a malha da grelha. A mudança de escala da grelha, permite, de forma mais cómoda, analisar curvas que dão várias voltas à superfície.
Mover pontos: Para modificar os caminhos clique e arraste os pontos assinalados na grelha, controlando, assim, a longitude e latitude dos pontos assinalados no toro.
Terminar caminhos: A cada caminho é acrescentado na grelha um (o menor) segmento que completa o caminho associado no toro até ao ponto final.
Ver deformação: Quando possível, permite vizualizar uma deformação contínua que leva um caminho no outro. Para controlar esta animação surgem dois segmentos do lado direito da superfície. O segmento de extremos mais claros (o da direita) possibilita a deformação directa de um caminho no outro. O segmento de extremos mais escuros (o da esquerda), com dois pontos de controlo, permite deformar cada um dos caminhos num outro - um representante mais simples da classe de caminhos em causa. Caso não seja possível deformar directamente um caminho no outro, surgem dois segmentos alinhados, nos quais pode controlar uma deformação de cada um dos caminhos num respectivo representante. Neste caso, surge a indicação (em cima) de que Os caminhos não são homotópicos!