Pirâmides | Geometria Espacial | Realize - Tutoria Educacional
Um grande filosofo e geômetra que amava e estudava os tetraedros e octaedros foi Platão, que ao longo da sua vida deu grande significância científica e mística a eles, de maneira que o tetraedro foi denominado como fogo pela sua natureza penetrante e o octaedro como ar que representava a perfeição estática da matéria.
Para definir uma pirâmide é necessário um polígono convexo qualquer contido em um plano α e um ponto V fora dele. Ligando os vértices do polígono ao ponto V temos uma pirâmide, de modo que a menor distância entre o plano α e o vértice V será a altura h da pirâmide.
Definindo uma pirâmide
Para definir uma pirâmide regular é necessário que o polígono que define a base da pirâmide seja regular, de modo que a altura da pirâmide seja o segmento de reta que une o vértice V a sua projeção ortogonal na base.
Definindo uma pirâmide regular
Apótema da pirâmide regular
Em uma pirâmide regular definimos como apótema a altura dos triângulos das faces laterais.
Para encontrar as semelhanças entre pirâmides utilizamos de uma secção reta da pirâmide paralela à base, de modo que criamos uma nova pirâmide menor a partir da pirâmide geratriz.
De modo análogo à semelhança entre triângulos da geometria plana, podemos dizer que o coeficiente de proporção q pode ser dado pela razão dos segmentos das pirâmides, como mostrado abaixo.
Podemos dizer também que o coeficiente ao quadrado é proporcional à razão entre as áreas das bases.
De modo análogo, a razão dos volumes é igual o coeficiente ao cubo.
Para calcular o volume de uma pirâmide multiplicamos a área da base pela altura dividindo por três.
Temos o tetraedro regular como um dos sólidos de Platão, sendo definido por uma pirâmide regular de base triangular, se somente se, suas faces e arestas são todas iguais.
Área total de um tetraedro regular
Para calcular a área total de um tetraedro multiplicamos aresta ao quadrado pela raiz quadrada de três.
Altura de um tetraedro regular
Para calcular a altura de um tetraedro regular, multiplicamos a aresta por raiz de seis e dividimos por três.
Volume de um tetraedro regular
Para calcular o volume de um tetraedro regular multiplicamos a aresta ao cubo por raiz de dois e dividimos por doze.
Temos que o octaedro regular é um dos sólidos de Platão, sendo definido por oito triângulos equiláteros que, juntos, formam duas pirâmides de base quadradas acopladas.
Área total de um octaedro regular
A área de uma face do octaedro regular é dada pela área de um triângulo equilátero, . Portanto basta multiplicar esse valor por oito, chegando na seguinte expressão depois de simplificada: