Depois dessa dica maravilhosa, nada melhor do que entendermos direitinho essa história de um logaritmo existir ou não. Nós vimos no texto Introdução aos Logaritmos, que os termos dos logaritmos possuem a seguinte nomenclatura:
Além disso, nós também vimos por lá duas retas reais muito interessantes, que nos mostravam a região de valores que a base a e o logaritmando b poderiam assumir para que sua existência fosse garantida:
Pois bem, pessoal, a ideia é simples: se a base a de um logaritmo for maior que zero e diferente de 1 (0 < a ≠ 1), e se o logaritmando b também for um valor maior que zero ou positivo, então o logaritmo terá sua existência garantida. Caso vocês queiram entender mais a fundo porque essas restrições existem, é só estudar a definição de função exponencial, afinal, foi ela que deu origem ao conceito de logaritmo. Nosso objetivo aqui, no entanto, é simplesmente adotar essas restrições como verdade, e garantir que logaritmos como esses, apresentados na imagem abaixo, possam existir!
Observem que os logaritmos que acabaram de ser apresentados possuem expressões algébricas ocupando o lugar dos seus logaritmandos, e o lugar de suas bases em alguns casos também. Como tanto a base, quanto o logaritmando de um logaritmo devem ser valores maiores do que zero, nosso trabalho será obter os valores de x que tornem essas expressões maiores do que zero ou positivas. Aí, quando se tratar de uma expressão que esteja localizada no valor da base do logaritmo, nós também deveremos tomar cuidado para que os valores de x encontrados sejam diferentes de 1.
Tranquilo, não é mesmo? Como as expressões de que estamos falando são do 1º e do 2º grau, é muito importante que vocês saibam tudo sobre as inequações do 1º grau, e claro, sobre as inequações do 2º grau também! Mas não se preocupem, a ideia ficará muito mais clara a partir de agora, pois vamos resolver uma série de exemplos que envolvem o assunto! Sigam comigo aqui!
O primeiro detalhe em que devemos prestar atenção aqui, é no valor que a base do logaritmo está assumindo. Vejam que está tudo dentro dos conformes, afinal, 2 é um valor maior que zero e diferente de 1(0 < 2 ≠ 1). Já em relação ao logaritmando, nós ainda não podemos dizer a mesma coisa. Isso porque ele é formado por uma expressão algébrica do 1º grau, e para que o logaritmo exista, esta deve resultar em um valor maior que zero. Portanto, para descobrirmos os valores de x que tornam a expressão maior do que zero, nós iremos resolver a seguinte inequação do 1º grau: