Cap08[1] CONSERVAÇAO ENERGIA
LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, as 10:52
Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fısica teorica,
Instituto de Fısica, Universidade Federal do Rio Grande do Sul 91501-970 Porto Alegre, BRASIL
8.1 Problemas e Exercıcios 2
8 Conservacao da Energia 2
tencial 2
8.1.1 Determinacao da Energia Po-
tencial 9
8.1.3 Conservacao da Energia 9
de Atrito 9
8.1.5 Massa e Energia 12
8.1.2 Usando a Curva de Energia Po- 8.1.4 Trabalho Executado por Forcas
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8 Conservacao da Energia
8.1 Problemas e Exercıcios 8.1.1 Determinacao da Energia Potencial
Uma determinada mola armazena J de energia po- tencial quando sofre uma compressao de cm. Qual a constante da mola?Como sabemos que a energia potencial elastica armazenada numa mola e , obtemos facilmen- te que N/m
Um pedacinho de gelo se desprende da borda de uma taca hemisferica sem atrito com cm de raio (Fig. 8- 2). Com que velocidade o gelo esta se movendo ao chegar ao fundo da taca?A unica forca que faz trabalho sobre o pedacinho de gelo e a forca da gravidade, que e uma forca conservativa. Chamando de a energia cinetica do pedacinho de ge- lo na borda da taca, de a sua energia cinetica no fundo da taca, de sua energia potencial da borda e de sua energia potencial no fundo da taca, temos entao
Consideremos a energia potencial no fundo da taca como sendo zero. Neste caso a energia potencial no topo vale , onde representa o raio da taca e representa a massa do pedacinho de gelo. Sabemos que pois o pedacinho de gelo parte do repouso. Cha- mando de a velocidade do pedacinho de gelo ao atin- gir o fundo, temos entao, da equacao da conservacao da energia acima que , o que nos fornecem/s
Um caminhao que perdeu os freios esta descendo uma estrada em declive a km/h. Felizmente a estrada dispoe de uma rampa de escape, com uma inclinacao de
(Fig. 8-24). Qual o menor comprimento da rampa para que a velocidade do caminhao chegue a zero antes do final da rampa? As rampas de escape sao quase sempre cobertas com uma grossa camada de areia ou cascalho. Por que?
Nota: uso o valor km/h da sexta edicao do livro, em vez dos km/h da quarta, ja que na quarta edicao nao e fornecida nenhuma resposta.Despreze o trabalho feito por qualquer forca de friccao. Neste caso a unica forca a realizar trabalho e a forca da gravidade, uma forca conservativa. Seja a energia cinetica do caminhao no inıcio da rampa de escape e sua energia cinetica no topo da rampa. Sejae os respectivos valores da energia potencial no inıcio e no topo da rampa. Entao
Se tomarmos a energia potencial como sendo zero no inıcio da rampa, entao , onde e a altura final do caminhao em relacao a sua posicao inicial. Te- mos que , onde e a velocidade inicial do caminhao, e ja que o caminhao para. Portanto, donde tiramos que m
Se chamarmos de o comprimento da rampa, entao te- remos que sen , donde tiramos finalmente que sen sen m
Areia ou cascalho, que se comportam neste caso como um "fluido", tem mais atrito que uma pista solida, ajudando a diminuir mais a distancia necessaria para parar o veıculo.
Um projetil com uma massa de kg e disparado para cima do alto de uma colina de m de altura, com uma velocidade de m/s e numa direcao que faz um angulo de com a horizontal. (a) Qual a energia cinetica do projetil no momento em que e disparado? (b) Qual a energia potencial do projetil no mesmo momento? Suponha que a energia potencial e nula na ba- se da colina ( ). (c) Determine a velocidade do projetil no momento em que atinge o solo. Supondo que a resistencia do ar possa ser ignorada, as respostas acima dependem da massa do projetil? http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Pagina 2 de 12
LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, as 10:52(a) Se for a massa do projetil e sua velocidade apos o lancamento, entao sua energia cinetica imediata- mente apos o lancamento e J
(b) Se a energia potencial e tomada como zero quando o projetil atinge o solo e sua altura inicial acima do solo for chamada de , entao sua energia potencial inicial e
(c) Imediatamente antes de atingir o solo a energia potencial e zero e a energia cinetica pode ser escrita co- mo sendo , onde e a velocidade do projetil. A energia mecanica e conservada durante o voo do projetil de modo que donde tiramos facilmente que m/s
Os valores de e dependem todos da mas- sa do projetil, porem a velocidade final nao depende da massa se a resistencia do ar puder ser considerada desprezıvel.
Observe que o tal angulo de nao foi usado para na- da! Talvez seja por isto que este exercıcio ja nao mais apareca nas edicoes subsequentes do livro...
Uma bola de gude de g e disparada verticalmente pa- ra cima por uma espingarda de mola. A mola deve ser comprimida de cm para que a bola de gude apenas alcance um alvo situado a m de distancia. (a) Qual a variacao da energia potencial gravitacional da bola de gude durante a subida? (b) Qual a constante da mola?(a) Neste problema a energia potencial possui dois termos: energia potencial elastica da mola e energia potencial gravitacional. Considere o zero da energia potencial gravitacional como sendo a posicao da bola de gude quando a mola esta comprimida. Entao, a energia potencial gravitacional da bola de gude quando ela esta no topo da orbita (i.e. no ponto mais alto) e , onde e a altura do pon- to mais elevado. Tal altura e m.
Portanto J
(b) Como a energia mecanica e conservada, a energia da mola comprimida deve ser a mesma que a energia potencial gravitacional no topo do voo. Ou seja,
, onde e a constante da mola.
Portanto, N/m
Observe queN/m N/m N/cm que e a resposta oferecida pelo livro-texto.
Uma bola de massa esta presa a extremidade de uma barra de comprimento e massa desprezıvel. A outra extremidade da barra e articulada, de modo que a bola pode descrever um cırculo plano vertical. A barra e mantida na posicao horizontal, como na Fig. 8-26, ate receber um impulso para baixo suficiente para chegar ao ponto mais alto do cırculo com velocidade zero. (a) Qual a variacao da energia potencial da bola? (b) Qual a velocidade inicial da bola?(a) Tome o zero da energia potencial como sendo o ponto mais baixo atingido pela bola. Como a bola esta inicialmente a uma distancia vertical acima do pon- to mais baixo, a energia potencial inicial e , sendo a energia potencial final dada por .
A variacao da energia potencial e, portanto,
(b) A energia cinetica final e zero. Chamemos dea energia cinetica inicial, onde e a velocidade inicial procurada. A barra nao faz trabalho algum e a forca da gravidade e conservativa, de modo que a energia mecanica e conservada. Isto sig- nifica que ou, em outras palavras, que de modo que temos
Umblocode kg e encostado numa mola num plano in- clinado sem atrito e com uma inclinacao de graus. A mola em questao, cuja constante vale N/cm, e com- primida cm sendo depois liberada. A que distancia ao longo do plano inclinado e arremessado o bloco? http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Pagina 3 de 12
LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, as 10:52Quando o bloco e liberado, toda energia potencial elastica armazenada na mola transforma-se em energia potencial gravitacional, que e usada para levantar o cor- po verticalmente de uma altura . A conservacao de energia nos diz que
Portanto, m
Chamando de a distancia percorrida ao longo do pla- no, temos que sen , donde tiramos a resposta procurada:
Uma mola pode ser comprimida cm por uma forca de
N. Um bloco de kg de massa e liberado a par- tir do repouso do alto de um plano inclinado sem atrito cuja inclinacao e . (Fig. 8-30). O bloco comprime a mola cm antes de parar. (a) Qual a distancia total percorrida pelo bloco ate parar? (b) Qual a velocidade do bloco no momento em que se choca com a mola?A informacao dada na primeira frase nos permite cal- cular a constante da mola: N/m
(a) Considere agora o bloco deslizando para baixo. Se ele parte do repouso a uma altura acima do ponto onde ele para momentaneamente, sua energia cinetica e zero e sua energia potencial gravitacional inicial e, onde e a massa do bloco. Tomamos o zero da energia potencial gravitacional como sendo o ponto onde o bloco para. Tomamos tambem a energia potencial inicial armazenada na mola como sendo zero. Suponha que o bloco comprima a mola uma distancia antes de parar momentaneamente. Neste caso a energia cinetica final e zero, a energia potencial gravitacional final e zero, e a energia potencial final da mola e
. O plano inclinado nao tem atrito e a forca normal que ele exerce sobre o bloco nao efetua trabalho
(pois e perpendicular a direcao do movimento), de modo que a energia mecanica e conservada. Isto significa que