Como simplificar raiz quadrada (radicais) |
Uma tarefa comum em álgebra é simplificar raízes quadradas, conhecidas também como radicais. Este artigo usará a notação rqd(x) para indicar ''raiz quadrada de um número x''. Algumas vezes a tarefa de simplificação é bem simples, mas em outras requer o uso de uma fórmula especial junto com seu conhecimento de quadrados perfeitos e fatores. Por exemplo, este seria o caso para um radical tal como em rqd(80). Isto é muito importante porque, se um radical não for simplificado, ele será considerado errado e você poderá receber ou não uma nota parcial por sua resposta em uma prova. Este artigo leva em conta que você está familiarizado com os conceitos básicos de potenciação e radiciação.
A simplificação de raízes quadradas é importante em matemática (Jupiterimages/Photos.com/Getty Images)
É simples simplificar um radical que é um quadrado perfeito, como rqd(81). Nós podemos usar uma calculadora ou então usar nosso conhecimento de quadrados perfeitos para conseguir o resultado 9, visto que 9² equivale a 81. Devemos lembrar que -9 é também um resultado para o problema, apesar de que seria descartado no contexto de um problema de geometria envolvendo comprimento, ou se nos fosse pedido para descobrir a raiz quadrada principal.
Simplificar um radical de um quadrado imperfeito como rqd(20) dá um pouco mais de trabalho. Nós poderíamos usar uma calculadora para conseguir a aproximação decimal prolongada da questão, mas isso não é simplificar o radical. O que nos está sendo pedido para fazer, em resumo, é separar o radical, assim que nós tivermos o produto do todo multiplicado pela raiz quadrada do primeiro número.
Para fazer isso, é primordial saber a propriedade particular dos radicais mostrada acima. Em outras palavras, a equação nos diz que podemos separar o radical de um produto dentro do produtos dos radicais. Para aplicar a fórmula ao exemplo acima da rqd(20), nós precisaríamos quebrar 20 em fatores 4 e 5. Nós então temos rqd(4x5), o que pode ser separado em rqd(4) x rqd(5). A rqd(4) nós sabemos que é 2, então nossa resposta simplificada é 2 x rqd(5). Esta é a resposta esperada em um exame. Repare como não podemos desmembrar a rqd(5), visto que 5 é um número primo que somente é divisível por 1 e por ele mesmo.
Às vezes os alunos perguntam se eles podem separar 20 em outros fatores, como o 2 e 10. A resposta é que nós poderíamos, mas então teríamos rqd (2x10), o que ficaria rqd (2) x rqd (10). Como nenhum dos dois é um quadrado perfeito, não teríamos um número inteiro em nossa resposta, que precisamos ter.
Vamos voltar ao exemplo da rqd (80) na introdução. O número 80 pode ser fatorado em muitos pares como 2 e 40, 4 e 20, 8 e 10, etc. O que nós precisamos buscar é o maior fator do quadrado perfeito de 80, e usá-lo. O número 4 é um fator do quadrado perfeito de 80, mas há um maior: 16. O que significa que nós devemos usar 16 e 5 em nosso para de fatoração. Nós agora temos rqd(16 x 5) = rqd(16) x rqd(5) = 4 x rqd(5), que é nossa resposta.
No exemplo acima, se tivéssemos usado 40 e 20 com um de nossos pares de fatores, teríamos um monte de trabalho extra para fazer, com rqd(4) x rqd(20), que é igual a 2 x rqd(20). Mas teríamos que descobrir a rqd(20) como fizemos antes. Usando o maior fator quadrado perfeito, 16, conseguimos responder um pouco tempo.
Outro exemplo: rqd(200). Existem vários fatores, muitos dos quais são quadrados perfeitos. Queremos o fator quadrado perfeito maior, que é 100. Isso nos dá rqd(100) x rqd(2), o mesmo que 10 x rqd(2).
Note que não temos como reduzir a raiz quadrada de um número que é primo ou que seja o produto de dois números primos. Por exemplo, não podemos simplificar rqd(13). É um número primo que não tem fatores quadrados perfeitos. Temos que deixar a resposta assim.
Outro exemplo seria rqd(6). O seis não é primo. Nós poderíamos separar em rqd(2) x rqd(3), mas nenhum desse é um quadrado perfeito, então não dá para simplificar. Nós deixaríamos a nossa resposta como rqd(6). Ele não tem qualquer fator quadrado perfeito. Um último exemplo é rqd(77). O número 77 não é primo, uma vez que ele tem fatores além de 1 e ele próprio, mas estes outros fatores são primos. Já que não tem qualquer fator quadrado perfeito, temos que deixar a resposta assim -- sendo o correto a se fazer.