1.1 Conjuntos, Relacoes e Funcoes 21
1.1.1 Relacoes e Funcoes 2
1.1.1.1 Produtos Cartesianos Gerais 27
1.1.1.2 Relacoes de Compatibilidade e de Incompatibilidade 28
1.1.1.3 Relacoes de Equivalencia 29
1.1.1.4 Relacoes de Ordem 30
1.1.2 Cardinalidade 36
1.1.3 Infimos e Supremos de Famılias de Conjuntos 41
1.2 Sistemas de Conjuntos 43
1.2.1 Semi-Aneis de Conjuntos 4
1.2.2 Aneis de Conjuntos 4
1.2.3 Algebras de Conjuntos 46
1.2.4 σ-Aneis de Conjuntos 47
1.2.5 σ-Algebras de Conjuntos 47
1.2.6 Topologias 48
1.2.7 Filtros e Ultra-Filtros 49
APENDICES 52
1.A A Formula de Inversao de Mobius 52
Conteudo ste capıtulo introdutorio pretende (re)apresentar ao leitor uma serie de nocoes matematicas basicas abrangendo rudimentos da teoria ("ingenua") dos conjuntos. O objetivo nao e um tratamento extensivo dos diversos assuntos. Trata-se quase de um guia de consulta onde sao apresentadas, junto com exemplos simples, varias nocoes e definicoes basicas que utilizaremos. O estudante nao deve necessariamente ler este capıtulo de forma sistematica e sequencial, mas deve retornar a ele sempre que necessario.
1.1 Conjuntos, Relacoes e Funcoes
Partiremos do pressuposto de serem familiares as nocoes basicas envolvendo conjuntos, como a nocao de conjunto vazio ∅, a nocao de pertinencia x ∈ C, de uniao de dois conjuntos A ∪ B e de interseccao de dois conjuntos A ∩ B.
Para A, B ⊂ X denotamos por A \ B a chamada diferenca entre os conjuntos A e B, a saber
Por vezes usa-se a notacao A−B para A\B. Para A ⊂ X denota-se por Ac o chamado complemento de A em relacao a X: Ac := X \A. Note-se que ao usar-se o sımbolo Ac deve estar subentendido qual o conjunto X ao qual o complemento se refere. E facil ver que se A, B ⊂ X entao A\ B = Bc ∩A. Vale tambem (Ac)c = A e A ∩B = A \Bc = B \ Ac para todos A, B ⊂ X.
Dizemos que um conjunto B e um subconjunto proprio de A se B ⊂ A e se A\B 6= ∅, ou seja, se todo elemento de B for elemento de A mas houver elementos em A que nao pertencem a B. Se B e um subconjunto proprio de A dizemos que B esta contido propriamente em A, ou que A contem B propriamente. Por vezes denota-se o fato de B ser um subconjunto proprio de A por B $ A ou por A % B.
Se A e B sao conjuntos e A ∩ B = ∅ entao A ∪ B e dita ser uma uniao disjunta de A e B.
Se X e um conjunto denota-se por (X) a colecao de todos os subconjuntos de X. (X) e por vezes chamado de conjunto das partes de X. Por convencao adota-se sempre que ∅ ∈ (X). Assim, dizer que A ⊂ X equivale a dizer A ∈ (X).
JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 1 2/1507
Por A△B denota-se a chamada diferenca simetrica entre A e B: A△B := (A ∪ B) \(A ∩B) . (1.2)
E. 1.2 Exercıcio. Se A e B sao conjuntos, mostre que A△B = B△A ("comutatividade") e que (A△B)△C = A△(B△C) ("associatividade"). 6
• Pares ordenados
Um conceito basico importante em Matematica e o de par ordenado. O conceito de par ordenado (a, b) formado por dois elementos genericos a, b ∈ X e intuitivo. Pela intuicao, entende-se como par ordenado uma lista de dois elementos sendo que um deles assume a posicao de "primeiro" elemento da lista (no caso, a) e o outro a de "segundo" (no caso, b). Formalmente define-se (a, b) como sendo o conjunto {a,{b}}. Esta definicao formal corresponde a intuicao pois, no conjunto C = {a,{b}}, ha uma distincao entre o papel de a e de b, dado que a e um elemento do conjunto C, enquanto que b e um elemento de um elemento de C, a saber, do conjunto {b} ∈ C. Apesar de existir a definicao formal acima, recomenda-se ao estudante fiar-se inicialmente na intuicao por tras do conceito.
Dados dois conjuntos A e B definimos por A×B o conjunto de todos os pares ordenados (a, b) sendo a ∈ A e b ∈ B. O conjunto A × B e chamado de produto Cartesiano1 de A e B. Note que, em geral, A × B 6= B × A (por que?).
Mais adiante apresentaremos generalizacoes das nocoes de acima.
O conceito de relacao e de importancia fundamental na Matematica e nesta secao descreveremos algumas relacoes de maior importancia, como as funcoes, as relacoes de equivalencia e as relacoes de ordem.
• Relacoes
Sejam A e B conjuntos e seja o produto Cartesiano A×B. Um subconjunto de A×B e dito ser uma relacao binaria, ou simplesmente relacao entre A e B.
Exemplo. Seja A o conjunto de homens vivos e B o conjunto de mulheres vivas e seja R ⊂ A × B o conjunto R := {(a, b), a e irmao de b}. R representa uma relacao (de irmandade) entre homens e mulheres.
Outros exemplos virao abaixo.
Dada uma relacao G ⊂ A×B entre conjuntos A e B ha duas nocoes importantes associadas: a de domınio da relacao e a de imagem da relacao. Define-se por domınio de G o conjunto
Define-se por imagem de G o conjunto
1Assim chamado em honra a Rene Descartes (1596–1650). O adjetivo Cartesiano provem da latinizacao de seu nome como Cartesius.
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Note-se que Dom(G) ⊂ A e que Im(G) ⊂ B.
• Funcoes
Este e talvez o mais importante exemplo de relacao. Sejam A e B conjuntos e F uma relacao entre A e B. Entao, a relacao F e dita ser uma funcao de A em B se Dom(F) = A e se (a, b) ∈ F e (a, b′) ∈ F so for possıvel caso b = b′. Em outras palavras, a cada elemento a de A a funcao associa um e apenas um elemento b de B que faz o papel de segundo elemento do par ordenado (a, b). Este segundo elemento associado pela funcao F ao elemento a, e mais conveniente denota-lo por F(a). Assim, uma funcao e o conjunto de pares {(a, F(a)) ∈ A × B, a ∈ A}. Frequentemente denotamos uma funcao F de A em B por F : A → B.
• Aplicacoes, mapeamentos, mapas, funcionais, operadores, operacoes, produtos etc.
Muito frequentemente usam-se as palavras aplicacao, mapeamento, mapa, funcional, operador, operacao, produto, transformacao, forma, e talvez ainda outras, para designar certos tipos de funcoes entre conjuntos. Essa abundancia de palavras causa frequentemente confusao e mesmo perplexidade em estudantes recem-iniciados mas, em essencia, todos esses objetos sao funcoes, no sentido abstrato que definimos acima.
O que difere seu uso e por vezes a tradicao de certas areas e os tipos de conjuntos que as funcoes tem como domınio e imagem. A palavra "funcao", propriamente, e mais frequentemente empregada quando se trata de funcoes numericas, por exemplo de R em R ou de C em C. A palavra "funcional"2 e frequentemente empregada quando se trata de funcoes que levam vetores ou funcoes numericas em numeros. Um exemplo de funcional e a funcao que leva funcoes reais contınuas f nas suas integrais no intervalo [0, 1]: f 7→ ∫ 1 0 f(x)dx. A palavra "operador" tipicamente designa funcoes lineares entre espacos vetoriais (como, por exemplo, as matrizes, que sao funcoes lineares entre espacos vetoriais de dimensao finita).
"Produtos" ou "operacoes" frequentemente designam funcoes de C × C em C, para um conjunto C nao-vazio qualquer, ou seja, funcoes de duas variaveis em um conjunto C, assumindo valores no proprio conjunto C. A palavra "forma" por vezes designa certas funcoes bi-lineares de V × V em R ou C, sendo V um espaco vetorial. As palavras "aplicacao", "mapa" e "mapeamento" sao frequentemente empregadas para designar funcoes em areas como Topologia, Geometria Diferencial ou Sistemas Dinamicos.
Certas palavras sao empregadas para designar certas funcoes com propriedades especiais. Um "homeomorfismo", por exemplo, e uma funcao bijetora entre dois espacos topologicos que seja contınua e cuja inversa seja tambem contınua. Um "difeomorfismo" e um homeomorfismo entre duas variedades diferenciaveis que seja infinitamente diferenciavel. Ha ainda varios outros "morfismos", como discutido na Secao 2.1.10, a pagina 84.
Em verdade, e conveniente dispormos por vezes de uma certa variedade de palavras diferentes simplesmente para evitarmos o emprego monotono e descolorido da palavra "funcao". Com um pouco de ironia, lembremos por fim a definicao circular de Edward Teller: "An intelectual is someone who thinks the same things and uses the same words as other intelectuals".
• Funcoes sobrejetoras, injetoras e bijetoras
Uma funcao F : A → B e dita ser uma funcao sobrejetora se Im(F) = B. Uma funcao F : A → B e dita ser funcao injetora ou uma funcao injetiva se a cada b ∈ Im(F) existir um e somente um elemento a ∈ Dom(F) tal que (a, b) ∈ F. Uma funcao que for sobrejetora e injetora e dita ser uma funcao bijetora, ou uma funcao bijetiva.
Seja uma funcao bijetora F ⊂ A × B. Entao, a relacao F−1 ⊂ B × A dada por
e, em verdade, uma funcao, denominada funcao inversa de F. E claro que (F−1)−1 = F.
• Imagens e pre-imagens de funcoes Seja f : X → Y uma funcao. Se A ⊂ X, definimos
Se B ⊂ Y , definimos
2A palavra "funcional" foi empregada pela primeira vez na Matematica por Jacques Salomon Hadamard (1865–1963).
JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 1 24/1507 f(A) e dita ser a imagem de A por f e f−1(B) e dita ser a pre-imagem de B por f.
O uso do sımbolo f−1 para designar pre-imagem f−1(B) de um conjunto B e uma escolha muito infeliz (mas universalmente aceita), pois pode causar confusao com a nocao de funcao inversa de f (que pode nem mesmo estar definida). O estudante deve estar atento.