Então o sistema não vai ficar oscilando pra sempre? Não! Ele vai parar com o tempo, porque a força resistente vai tirando energia do sistema até ele parar. Nesse caso, a energia não se conserva!
Dentre muitos MHA que existem na natureza, vamos falar do que cai na prova: Massa-Mola com amortecimento. Vamos ver o exemplo do sistema massa-mola imerso em um fluido viscoso:
A primeira coisa a se fazer é aplicar a Lei que descreve o movimento (Lei de Newton): pelo diagrama de Forças Livres...
Observe que, nesse caso, além da mola com constante elástica k , temos também uma força resistente, com constante de proporcionalidade c . Pela Lei de Newton, a força resultante é a soma das forças:
Imagine que o bloco está à direita do ponto de equilíbrio, se movimentando para a esquerda como na figura.
onde v é a velocidade e c é uma constante de proporcionalidade. O sinal de menos é porque a força resistente aponta sempre no sentido contrário ao movimento.
Como de acordo com Newton sempre temos que a força resultante é dada pela massa vezes a aceleração...
Até o momento só falamos de movimentos realizados por forças do sistema, seja o sistema sem forças resistivas, como o MHS, ou com essas forças como MHA. Mas o que acontece se a gente, fora do sistema, tiver forças que influenciam no movimento? Por exemplo:
Nesse caso, devido ao fato de termos a força externa f ( t ) puxando a massa no sistema, podemos considera-lo como um Movimento Forçado. O movimento forçado ainda pode ser amortecido, quando a gente leva em consideração as forças de amortecimento, ou não amortecido.
Quando nós falamos em movimento forçado é quando possui uma força externa f ( t ) ao movimento. Assim, basta acrescentarmos essa força a equação. No caso do com amortecimento, temos:
Mas calma, o lado esquerdo continua o mesmo do movimento amortecido e o lado direito possui uma função em t . Isso nós já vimos como resolver, essa é uma equação não homogênea. Assim, a solução é da forma:
Veja que essa equação também é não homogênea ela deve ser resolvida de forma que você encontre uma solução homogênea e a solução da equação particular.
Mas antes vamos dar nome aos bois, mas relaxa com isso, é só para você entender o que tá acontecendo, esse tipo de nomenclatura não é cobrado na sua prova!
E o gráfico do amortecimento crítico tem mais ou menos a mesma cara do amortecimento supercrítico(Isso é só por curiosidade!):
Para o pêndulo mostrado na Figura 2.20 que modela um tipo de sismógrafo: determinar a frequência natural.
Primeiro vamos começar o problema, entendendo o que estamos buscando e como vamos chegar à solução. Ok?
Pois bem, estamos buscando a frequência natural do sistema harmônico com amortecimento C . De acordo com a Teoria, se chegarmos a uma modelagem envolvendo uma EDO de 2º ordem como essa genérica aqui:
Então a frequência natural ω 0 pode ser encontrada a partir do termo que multiplica x . Então, no problema, basicamente devemos modelar o nosso problema e ver se a gente encontra algo parecido. Vamos nessa?
Para a modelagem, vamos começar partindo do modelo físico que rege o nosso sismógrafo: as Leis de Newton para pêndulos!
Basicamente, no problema temos três forças criando torques nesse pêndulo, o fazendo balançar com esse θ :
De acordo com Newton, a soma desses torques é um torque resultante τ R e que é diferente 0 , já que o pêndulo não está estático:
Onde L é à distância da força ao ponto de rotação, enquanto F é a força perpendicular ao movimento. Pelo diagrama a seguir, podemos ver quem é essa força:
O movimento é sempre dado pela trajetória em azul. Como a trajetória S em azul é um arco, então, podemos encontrar tal arco de acordo com a equação:
Veja que a única força que de fato importa não é nem o Peso em si, e sim a componente dela perpendicular ao movimento P p e n . Essa força pode ser obtida da seguinte forma:
Não desista, pois estamos indo bem, faltam ainda dois torques para analisarmos e vamos começar aqui com o τ e :
Onde h 2 é a distância de aplicação da força ao ponto de rotação. Enquanto que a força elástica é dada por:
A velocidade v , entretanto, é a derivada primeira da trajetória circular em rosa dada por t = h 1 ⋅ θ (assim como calculamos qualquer trajetória circular anteriormente é o produto do raio h 1 pelo arco θ )...
Finalmente, depois de todos os torques calculados, podemos retornar para a igualdade do nosso querido passo 2 onde deixamos o problema...