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Probabilidade e Estatística Básica Prof. Sérgio Mário Lins Galdino
2 SÉRIES ESTATÍSTICAS Um dos objetivos da Estatística é sintetizar os valores que uma ou mais variáveis podem assumir, para que tenhamos uma visão global da variação dessa ou dessas variáveis. E isso ela consegue, inicialmente, apresentando esses valores em tabelas e gráficos, que irão nos fornecer informações rápidas e seguras a respeito das variáveis em estudo, permitindo-nos determinações administrativas e pedagógicas mais coerentes e científicas.
3 SÉRIES ESTATÍSTICAS Definições:
Tabela é um quadro que resume um conjunto de observações. Uma tabela compõe-se de: Corpo – conjunto de linhas e colunas que contém informações sobre a variável em estudo; Cabeçalho – parte superior da tabela que especifica o conteúdo das colunas; Coluna Indicadora – parte da tabela que especifica o conteúdo das linhas; Linhas – retas imaginárias que facilitam a leitura, no sentido horizontal, de dados que se inscrevem nos seus cruzamentos com as colunas; Casa ou Célula – espaço destinado a um só número; Título – conjunto de informações, as mais completas possíveis, respondendo às perguntas: O quê?, Quando?, Onde?, localizado no topo da tabela.
4 SALÁRIO-DE-CONTRIBUIÇÃO (R$)
SÉRIES ESTATÍSTICAS Há ainda a considerar elementos complementares da tabela, que são a fonte, as notas e as chamadas, colocadas, de preferência, no seu rodapé. TABELA DE CONTRIBUIÇÃO DOS SEGURADOS EMPREGADO, EMPREGADO DOMÉSTICO E TRABALHADOR AVULSO - Portaria Interministerial 350/2009 VIGENTE A PARTIR DE SALÁRIO-DE-CONTRIBUIÇÃO (R$) A L Í Q U O T A S % Até 1.024,97 8,00 de 1.024,98 até 1.708,27 9,00 de 1.708,28 até 3.416,54 11,00
5 SÉRIES ESTATÍSTICAS De acordo com a Resolução 886 da Fundação IBGE, nas casas ou células devemos colocar: um traço horizontal (¾) quando o valor é zero, não só quanto à natureza das coisas, como quanto ao resultado do inquérito; três pontos (...) quando não temos os dados; um ponto de interrogação (?) quando temos dúvida quanto à exatidão de determinado valor; zero (0) quando o valor é muito pequeno para ser expresso pela unidade utilizada. Se os valores são impressos em números decimais, precisamos acrescentar à parte decimal um número correspondente de zeros (0,0; 0,00; 0,000; ...). Obs: O lado direito e esquerdo de uma tabela oficial deve ser aberto.(Obsoleto ?)
6 TABAJARA VEÍCULOS LTDA.
SÉRIES ESTATÍSTICAS SÉRIE ESTATÍSTICA: É qualquer tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados estatísticos em função da época, do local ou da espécie. Séries Homógradas: São aquelas em que a variável descrita apresenta variação discreta ou descontínua. Podem ser do tipo temporal, geográfica ou específica. a) Série Temporal: Identifica-se pelo caráter variável do fator cronológico. O local e a espécie (fenômeno) são elementos fixos. Esta série também é chamada de histórica ou evolutiva. TABAJARA VEÍCULOS LTDA. Vendas no 1º bimestre de 2010 PERÍODO UNIDADES VENDIDAS JAN 1200 FEV 1000 TOTAL 2200
7 TABAJARA VEÍCULOS LTDA.
SÉRIES ESTATÍSTICAS b) Série Geográfica: Apresenta como elemento variável o fator geográfico. A época e o fato (espécie) são elementos fixos. Também é chamada de espacial, territorial ou de localização. TABAJARA VEÍCULOS LTDA. Vendas no 1º bimestre de 2010 FILIAIS UNIDADES VENDIDAS Recife 2000 João Pessoa 1000 TOTAL 3000
8 TABAJARA VEÍCULOS LTDA.
SÉRIES ESTATÍSTICAS c) Série Específica: O caráter variável é apenas o fato ou espécie. Também é chamada de série categórica. TABAJARA VEÍCULOS LTDA. Vendas no 1º bimestre de 2010 MARCA UNIDADES VENDIDAS FIAT 1800 GM 1200 TOTAL 3000
9 TABAJARA VEÍCULOS LTDA.
SÉRIES ESTATÍSTICAS SÉRIES CONJUGADAS: Também chamadas de tabelas de dupla entrada. São apropriadas à apresentação de duas ou mais séries de maneira conjugada, havendo duas ordens de classificação: uma horizontal e outra vertical. O exemplo abaixo é de uma série geográfica-temporal. TABAJARA VEÍCULOS LTDA. Vendas no 1º bimestre de 2010 FILIAIS Janeiro Fevereiro São Paulo 1000 300 Rio de Janeiro 1200 500 TOTAL 2200 800
São representações visuais dos dados estatísticos que devem corresponder, mas nunca substituir as tabelas estatísticas. Características: Uso de escalas, sistema de coordenadas, simplicidade, clareza e veracidade.
Gráficos de informação: São gráficos destinados principalmente ao público em geral, objetivando proporcionar uma visualização rápida e clara. São gráficos tipicamente expositivos, dispensando comentários explicativos adicionais. As legendas podem ser omitidas, desde que as informações desejadas estejam presentes. Gráficos de análise:	São gráficos que prestam-se melhor ao trabalho estatístico, fornecendo elementos úteis à fase de análise dos dados, sem deixar de ser também informativos. Os gráficos de análise freqüentemente vêm acompanhados de uma tabela estatística. Inclui-se, muitas vezes um texto explicativo, chamando a atenção do leitor para os pontos principais revelados pelo gráfico. Uso indevido de Gráficos: Podem trazer uma idéia falsa dos dados que estão sendo analisados, chegando mesmo a confundir o leitor. Trata-se, na realidade, de um problema de construção de escalas.
12 Classificação dos gráficos:
Diagramas, Estereogramas, Pictogramas e Cartogramas. 1 - Diagramas: São gráficos geométricos dispostos em duas dimensões. São os mais usados na representação de séries estatísticas. Eles podem ser : Gráficos em barras horizontais. Gráficos em barras verticais ( colunas ). Quando as legendas não são breves usa-se de preferência os gráficos em barras horizontais. Nesses gráficos os retângulos têm a mesma base e as alturas são proporcionais aos respectivos dados. A ordem a ser observada é a cronológica, se a série for histórica, e a decrescente, se for geográfica ou categórica.
13 Classificação dos gráficos:
3. Gráficos em barras compostas. 4. Gráficos em colunas superpostas. Eles diferem dos gráficos em barras ou colunas convencionais apenas pelo fato de apresentar cada barra ou coluna segmentada em partes componentes. Servem para representar comparativamente dois ou mais atributos. 5. Gráficos em linhas ou lineares. São freqüentemente usados para representação de séries cronológicas com um grande número de períodos de tempo. As linhas são mais eficientes do que as colunas, quando existem intensas flutuações nas séries ou quando há necessidade de se representarem várias séries em um mesmo gráfico. Quando representamos, em um mesmo sistema de coordenadas, a variação de dois fenômenos, a parte interna da figura formada pelos gráficos desses fenômenos é denominada de área de excesso.
14 Classificação dos gráficos:
Gráficos em setores. Este gráfico é construído com base em um círculo, e é empregado sempre que desejamos ressaltar a participação do dado no total. O total é representado pelo círculo, que fica dividido em tantos setores quantas são as partes. Os setores são tais que suas áreas são respectivamente proporcionais aos dados da série. O gráfico em setores só deve ser empregado quando há, no máximo, sete dados. Obs: As séries temporais geralmente não são representadas por este tipo de gráfico.
15 Classificação dos gráficos:
16 Classificação dos gráficos:
2 - Estereogramas: 	São gráficos geométricos dispostos em três dimensões, pois representam volume. São usados nas representações gráficas das tabelas de dupla entrada. Em alguns casos este tipo de gráfico fica difícil de ser interpretado dada a pequena precisão que oferecem. 3 - Pictogramas: São construídos a partir de figuras representativas da intensidade do fenômeno. Este tipo de gráfico tem a vantagem de despertar a atenção do público leigo, pois sua forma é atraente e sugestiva. Os símbolos devem ser auto-explicativos. A desvantagem dos pictogramas é que apenas mostram uma visão geral do fenômeno, e não de detalhes minuciosos. Veja o exemplo abaixo:
17 Classificação dos gráficos:
4- Cartogramas:  São ilustrações relativas a cartas geográficas (mapas). O objetivo desse gráfico é o de figurar os dados estatísticos diretamente relacionados com áreas geográficas ou políticas.
18 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIA
 É um tipo de tabela que condensa uma coleção de dados conforme as frequencias (repetições de seus valores). Tabela primitiva ou dados brutos: É uma tabela ou relação de elementos que não foram numericamente organizados. É difícil formarmos uma idéia exata do comportamento do grupo como um todo, a partir de dados não ordenados. Ex : 45, 41, 42, 41, 42 43, 44, 41 ,50, 46, 50, 46, 60, 54, 52, 58, 57, 58, 60, 51 ROL: É a tabela obtida após a ordenação dos dados (crescente ou decrescente). Ex : 41, 41, 41, 42, 42 43, 44, 45 ,46, 46, 50, 50, 51, 52, 54, 57, 58, 58, 60, 60
19 DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
Distribuição de freqüência sem intervalos de classe: É a simples condensação dos dados conforme as repetições de seu valores. Para um ROL de tamanho razoável esta distribuição de freqüência é inconveniente, já que exige muito espaço. Veja exemplo abaixo: Dados Freqüência 41 3 42 2 43 1 44 45 46 50 51 52 54 57 58 60 Total 20
20 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIA
Distribuição de frequencia com intervalos de classe:Quando o tamanho da amostra é elevado, é mais racional efetuar o agrupamento dos valores em vários intervalos de classe. Classes Freqüências 41 | 7 45 | 3 49 | 4 53 | 1 57 | 5 Total 20
21 ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIA (com intervalos de classe)
CLASSE: são os intervalos de variação da variável e é simbolizada por i e o número total de classes simbolizada por k. Ex: na tabela anterior k = 5 e 49 | é a 3ª classe, onde i = 3. LIMITES DE CLASSE: são os extremos de cada classe. O menor número é o limite inferior de classe ( li ) e o maior número, limite superior de classe ( Li ). Ex: em 49 | ,... l3 = 49 e L3 = 53. O símbolo | representa um intervalo fechado à esquerda e aberto à direita. O dado 53 do ROL não pertence a classe 3 e sim a classe 4 representada por 53 | AMPLITUDE DO INTERVALO DE CLASSE: é obtida através da diferença entre o limite superior e inferior da classe e é simbolizada por h = Li - li. Ex: na tabela anterior hi = = 4. Obs: Na distribuição de freqüência com classe o h será igual em todas as classes.
22 ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIA (com intervalos de classe)
AMPLITUDE TOTAL DA DISTRIBUIÇÃO:	é a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira classe. AT = Li(max) - li(min). Ex: na tabela anterior AT = = 20. AMPLITUDE TOTAL DA AMOSTRA (ROL): é a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra (ROL). Onde AA = Xmax - Xmin. Em nosso exemplo AA = = 19. Obs: AT sempre será maior que AA. PONTO MÉDIO DE CLASSE: é o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais Ex: em 49 | o ponto médio x3 = (53+49)/2 = 51, ou seja x3=( l3 + L3 )/2.
23 1º - Organize os dados brutos em um ROL.
Método prático para construção de uma Distribuição de Freqüências com Classe 1º -	Organize os dados brutos em um ROL. 2º -	Calcule a amplitude amostral AA. No nosso exmplo: AA = = 19 3º -	Calcule o número de classes através da: "Regra de Sturges" K = 1+ 3,3 log n, onde n é o número de itens que compõe a amostra; ou K = 5 para n ≤ 25 e K ≈ , para n > 25.
24 Método prático para construção de uma Distribuição de Freqüências com Classe
Exemplo: Considerando n=40 Pela formula de Sturges: K=1+3,3log 40 = 6,28  K=6 Adotando  K=6 Obs: A escolha do número de classes é arbitrária, a qual pode ser estabelecida de acordo com o bom senso do pesquisador ou obtido por alguma fórmula matemática construída para este fim. 4º -	Decidido o nº de classes, calcule então a amplitude do intervalo de classe h > AA / i. No nosso exemplo: AA/i = 19/5 = 3,8 . Obs: Como h > AA/i um valor ligeiramente superior para haver folga na última classe. Utilizaremos então h = 4.
25 Método prático para construção de uma Distribuição de Freqüências com Classe
5º - Temos então o menor nº da amostra, o nº de classes e a amplitude do intervalo. Podemos montar a tabela, com o cuidado para não aparecer classes com freqüência = 0 (zero). No nosso exemplo: o menor nº da amostra = 41 + h = 45, logo a primeira classe será representada por | As classes seguintes respeitarão o mesmo procedimento. O primeiro elemento das classes seguintes sempre serão formadas pelo último elemento da classe anterior.
26 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO
Histograma, Polígono de freqüência e Polígono de freqüência acumulada 	Em todos os gráficos acima utilizamos o primeiro quadrante do sistema de eixos coordenados cartesianos ortogonais. Na linha horizontal (eixo das abscissas) colocamos os valores da variável e na linha vertical (eixo das ordenadas), as freqüências. Histograma: é formado por um conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal, de tal modo que seus pontos médios coincidam com os pontos médios dos intervalos de classe. A área de um histograma é proporcional à soma das freqüências simples ou absolutas.
27 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO
Freqüências simples ou absoluta: são os valores que realmente representam o número de dados de cada classe. A soma das freqüências simples é igual ao número total dos dados da distribuição. Freqüências relativas: são os valores das razões entre as freqüência absolutas de cada classe e a freqüência total da distribuição. A soma das freqüências relativas é igual a 1 (100 %). Polígono de freqüência: é um gráfico em linha, sendo as freqüências marcadas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios dos intervalos de classe. Para realmente obtermos um polígono (linha fechada), devemos completar a figura, ligando os extremos da linha obtida aos pontos médios da classe anterior à primeira e da posterior à última, da distribuição.
28 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO
Polígono de freqüência acumulada: é traçado marcando-se as freqüências acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe. Freqüência simples acumulada de uma classe:	é o total das freqüências de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma determinada classe. Freqüência relativa acumulada de um classe:	é a freqüência acumulada da classe, dividida pela freqüência total da distribuição.
29 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO
CLASSE fi xi fri Fi Fri 50 | 4 52 0,100 54 | 9 56 0,225 13 0,325 58 | 11 60 0,275 24 0,600 62 | 8 64 0,200 32 0,800 66 | 5 68 0,125 37 0,925 70 | 3 72 0,075 40 1,000 Total fi = freqüência simples; xi = ponto médio de classe; fri = freqüência simples acumulada; Fi = freqüência relativa e Fri = freqüência relativa acumulada. Obs: uma distribuição de freqüência sem intervalos de classe é representada graficamente por um diagrama onde cada valor da variável é representado por um segmento de reta vertical e de comprimento proporcional à respectiva freqüência.
30 MEDIDAS DE POSIÇÃO Introdução São as estatísticas que representam uma série de dados orientando-nos quanto à posição da distribuição em relação ao eixo horizontal do gráfico da curva de freqüência. As medidas de posições mais importantes são as medidas de tendência central (verifica-se uma tendência dos dados observados a se agruparem em torno dos valores centrais). As medidas de tendência central mais utilizadas são: média aritmética, moda e mediana. Outras menos usadas são as médias: geométrica, harmônica, quadrática, cúbica e biquadrática. As outras medidas de posição são as separatrizes, que englobam: a própria mediana, os decis, os quartis e os percentis.
31 MÉDIA ARITMÉTICA É igual ao quociente entre a soma dos valores do conjunto e o número total dos valores. onde são os valores da variável e o número de valores.
32 MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA
É igual ao quociente entre a soma dos valores do conjunto vezes seu peso e soma dos pesos. onde são os valores da variável, são seus pesos correspondentes e o número de valores.
33 EXEMPLOS Dados não-agrupados: Quando desejamos conhecer a média dos dados não-agrupados em tabelas de freqüências, determinamos a média aritmética simples. Ex: Sabendo-se que a venda diária de arroz tipo A, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 kilos, temos, para venda média diária na semana de:
34 EXEMPLOS Dados agrupados:
1) Sem intervalos de classe : Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para variável o número de filhos do sexo masculino. Calcularemos a quantidade média de meninos por família: Como as freqüências são números indicadores da intensidade de cada valor da variável, elas funcionam como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a média aritmética ponderada, dada pela fórmula: Nº de meninos frequencia = fi 2 1 6 10 3 12 4 total 34
35 EXEMPLOS xi fi xi.fi 2 1 6 10 20 3 12 36 4 16 total 34 78
36 EXEMPLOS Dados agrupados:
2) Com intervalos de classe: Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e determinamos a média aritmética ponderada. Ex: Calcular a estatura média de bebês conforme a tabela abaixo. Aplicando a fórmula acima temos: / 40 = 61, logo = 61 cm. Estaturas (cm) freqüência = fi ponto médio = xi xi.fi 50| 4 52 208 54| 9 56 504 58| 11 60 660 62| 8 64 512 66| 5 68 340 70| 3 72 216 Total 40 2.440
37 Desvio em relação à média
É a diferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a média aritmética, ou seja: No exemplo anterior temos sete desvios: d1 = = - 4 , d2 = = 0 , d3 = = - 1 , ...d4 = = 1 ,... d5 = = 2 ,... d6 = = 4 e d7 = = - 2.
38 Propriedades da média aritmética
1ª propriedade: A soma algébrica dos desvios em relação à média é nula. No exemplo anterior : d1+d2+d3+d4+d5+d6+d7 = 0 2ª propriedade: Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (c) a todos os valores de uma variável, a média do conjunto fica aumentada ( ou diminuída) dessa constante. Se no exemplo original somarmos a constante 2 a cada um dos valores da variável temos: Y = / 7 = 16 kilos ou Y = = = 16 kilos Aplicando a fórmula acima temos: / 40 = 61, logo = 61 cm.
39 Propriedades da média aritmética
3ª propriedade: Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma constante (c), a média do conjunto fica multiplicada ( ou dividida) por essa constante. Se no exemplo original multiplicarmos a constante 3 a cada um dos valores da variável temos: Y = / 7 = 42 kilos ou Y = x 3 = 14 x 3 = 42 kilos Aplicando a fórmula acima temos: / 40 = 61, logo = 61 cm.
40 Média Geométrica É a raiz n-ésima do produto de todos valores.
Média Geométrica Simples: Ex.: - Calcular a média geométrica dos seguintes conjuntos de números: a) { 10, 60, 360 } = ( 10 * 60 * 36 0) ^ (1/3) R: 60 b) { 2, 2, 2 } = (2 * 2 * 2 ^ (1/3) R: 2 c) { 1, 4, 16, 64 } = (1 * 4 * 16 * 64 ) ^(1/4) R: 8
41 Média Geométrica Média Geométrica Ponderada :
Ex - Calcular a média geométrica dos valores da tabela abaixo: = (12 * 34 * 92 * 271) (1/9) R: 3,8296 xi fi 1 2 3 4 9 27 Total
42 MÉDIA HARMÔNICA É o inverso da média aritmética dos inversos :
Média Harmônica Simples: (para dados não agrupados) ou Média Harmônica Ponderada:
43 MÉDIA HARMÔNICA Ex.: Calcular a média harmônica dos valores da tabela abaixo: OBS: A média harmônica não aceita valores iguais a zero como dados de uma série. A igualdade só ocorrerá quando todos os valores da série forem iguais. OBS: Quando os valores da variável não forem muito diferentes, verifica-se aproximadamente a seguinte relação: Classes fi xi fi/xi 1 | 2 2/2 = 1,00 3 | 4 4/4 = 1,00 5 | 8 6 8/6 = 1,33 7 | 4/8 = 0,50 9 | 10 2/10 = 0,20 total 20 4,03
44 MÉDIA HARMÔNICA Demonstraremos a relação acima com os seguintes dados:
X = { 10.1 ; 10.1 ; 10.2 ; 104 ; 10.5 } Média aritmética = 51.3 / 5 = Média geométrica = Média harmônica = 5 / = Comprovando a relação: ( ) / 2 = 10,2587 = média geométrica