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NÚMERO DE OURO SUA INCIDÊNCIA NA NATUREZA
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Cármen Barreiro Vilalobos
1 NÚMERO DE OURO SUA INCIDÊNCIA NA NATUREZA Eixo Temático: Formação do Professor GUSMÃO, Lucimar Donizete i Resumo: Este artigo discorre sobre um curso na Formação Continuada de professores de Matemática da Rede Pública Estadual de Ensino, do Estado do Paraná. Visando essa formação, alguns cursos foram elaborados a fim de atender as solicitações de professores que sugeriam atividades de cunho prático. Entre eles, foi organizado um curso intitulado Número de Ouro Sua Incidência na Natureza, que promovia discussões sobre padrões de beleza e tratava de conceitos de Razão, Proporção, Polinômios, Equações, Geometria Plana, Sequências, entre outros conteúdos pertinentes ao currículo de Matemática de nossas escolas Por meio de atividades práticas, esses conceitos são construídos gradativamente, podendo ser abordados tanto no Ensino Fundamental, quanto no Ensino Médio. Palavras-chave: Formação. Matemática. Arte. Interdisciplinaridade Abstract: The present article is about a course that is part of the Ongoing Professional Development of Math teachers of Paraná State System of Education. At this Program, some courses were elaborated in order to consider the teachers' request that suggested practical activities. So, a course entitled Golden Ratio Its incidence on Nature was created and promoted discussions about beauty pattern and dealt with its concepts of Ratio, Proportion Polynomials, Equations, Plane Geometry, Sequences and other relevant Math subjects. Through practical activities, these concepts are built gradually and can be taught as in Elementary School as in High School. Key Words: Professional Development. Math. Art. Interdisciplinarity Introdução: O início de 2003, no Estado do Paraná, ocorreu a retomada das discussões coletivas sobre o currículo, pois entende-se que o mesmo é uma produção social, construído por pessoas que vivem em determinados contextos históricos, temporais e sociais. Sendo assim, os professores de salas de aula, nos diferentes níveis e modalidades de ensino, com técnicos pedagógicos dos Núcleos Regionais e das equipes pedagógicas da Secretaria de Estado da Educação iniciaram uma discussão para pensar, construir e resgatar importantes considerações teórico-metodológicas para o ensino e a aprendizagem da Matemática. Sendo assim, após diversos momentos de discussão que aconteceram em reuniões
2 pedagógicas com professores representantes de seus pares, reuniões e grupos de estudos descentralizados nos municípios, envolvendo os professores das várias instâncias, inclusive de instituições de ensino superior, o texto das Diretrizes Curriculares 2 Estaduais (DCE), para todas as disciplinas foi sistematizado. Porém, à medida que se avançava nas discussões, era necessário modificar as versões preliminares desse texto, a fim de contemplar e explicitar de forma mais coerente o trabalho do professor, afinal, uma diretriz só tem sentido se, na escola, houver alterações nas práticas que elevem o compromisso de toda a comunidade escolar com a educação e especialmente aqui, com o ensino da Matemática. Uma das grandes preocupações dos professores durante as discussões era em relação aos conteúdos básicos, pois não havia unidade no Paraná e, muitas vezes, nem dentro da própria escola. Diante disso, as Diretrizes Curriculares de Matemática, pensando na organização da disciplina, apresenta os Conteúdos Estruturantes a serem trabalhados em âmbito estadual, conteúdos estes, que são resultados das práticas pedagógicas dos professores e da análise histórica da Matemática, tanto como campo de conhecimento e como disciplina. Segundo as DCE de Matemática (2008, p. 49), Conteúdos Estruturantes são conhecimentos de grande amplitude, os conceitos e as práticas que identificam e organizam os campos de estudos de uma disciplina escolar considerado fundamental para a sua compreensão. Constituem-se historicamente e são legitimados nas relações sociais. Os conteúdos estruturantes propostos para as séries finais do Ensino Fundamental e Ensino Médio são Números e Álgebra, Grandezas e Medidas, Geometrias, Funções e Tratamento da Informação. Estes conteúdos se desdobram em Conteúdos Básicos e Específicos. Entretanto, eles não devem ser trabalhados de forma isolada, mas sim articulados entre si, pois é na articulação e no trabalho contextualizado que as ideias matemáticas adquirem sentido ao aluno. Machado (1993, p. 28) reforça, afirmando que o significado curricular de cada disciplina não pode resultar de apreciação isolada de seus conteúdos, mas sim do modo como se articulam. A partir de 2007, deu-se início, também, a um trabalho de formação continuada promovido pela Secretaria de Estado da Educação, chamado DEB Itinerante (Departamento de Educação Básica Itinerante), o qual, o DEB, através de seus técnicos-pedagógicos, percorria todo o Estado, discutindo as políticas públicas em cursos para os professores. A 2 O processo de construção das diretrizes curriculares vem se consolidando desde o ano de 2003, através de discussões coletivas com todos os professores da rede pública, que opinaram sobre metodologias, práticas e conteúdos para a disciplina, com o objetivo nortear a prática docente.
3 equipe de Matemática do DEB, sabendo da angústia dos professores, no que tange a metodologia, propôs nos encontros de formação continuada, abordagens diretas para serem utilizadas em sala de aula. Possibilitar a formação continuada, rompendo com os modelos únicos de formação, centrados na reprodução/transmissão de conhecimentos ou pela prática pedagógica já instaurada que desconsidera as reflexões e o diálogo é papel das Secretarias de Educação, das Universidades, entre outros órgãos e cabe-lhes buscar alternativas de ensino que privilegie a formação do professor, fornecendo subsídios para sua prática. Ainda há um descompasso entre os processos de formação continuada e a prática da sala de aula, visto que os professores não conseguem realizar mudanças significativas e muitos continuam a viver sua profissão de forma solitária, buscando individualmente resolver os problemas oriundos do calor da prática pedagógica. Logo, os cursos de formação continuada precisam caracterizar um espaço privilegiado para a aquisição de conhecimentos, onde os professores são preparados para a difusão dos conhecimentos historicamente construídos, como também um lugar de reflexão sobre as práticas, o que permite vislumbrar uma perspectiva dos professores como profissionais produtores de saber e de saber fazer (NÓVOA, 1995, p. 16). Em outro trecho da mesma obra o autor afirma: A formação do professor não se constrói por acumulação de conhecimentos ou técnicas, mas sim através de um trabalho de reflexão crítica sobre as práticas de construção e reconstrução permanente de uma identidade pessoal. Por isso é tão importante investir na pessoa e dar um estatuto ao saber da experiência (p. 25). Mudar essa realidade é a proposta da Secretaria de Estado da Educação do Paraná. Nesse sentido, visando à formação continuada dos professores, a discussão de conteúdos, reflexão sobre a prática docente através de metodologias diferenciadas, troca de experiências, entre outros objetivos, que os cursos foram organizados pela equipe de Matemática do Departamento da Educação Básica - DEB. Afinal, só quando o trabalho é desenvolvido de forma colaborativa, entre professores da Rede, Núcleos Regionais da Educação, Secretarias de Estado da Educação e Instituições de Ensino Superior é que se pode levar a uma reflexão do currículo e da prática pedagógica. Trabalhar de forma colaborativa, pensar juntos em uma formação continuada que venha a atender os anseios dos professores que estão lá no chão da escola, na sala de aula, é uma maneira de vencer os desafios que a sociedade coloca todos os dias aos professores e à escola. O ensino da Matemática precisa estar inserida nesse contexto de diversos desafios e vencê-los, ou pelo menos amenizá-los, são os objetivos dos cursos. E foi nesse contexto que alguns cursos foram elaborados a fim de atender as
4 solicitações dos professores por atividades de cunho prático. O objeto desse artigo, o curso Número de Ouro e sua Incidência na Natureza, promoveu discussões sobre padrões de beleza e tratava de conceitos de Razão, Proporção, Polinômios, Equações, Geometria Plana, Sequências, entre outros. Por meio de atividades práticas, esses conceitos são construídos gradativamente, podendo ser abordados tanto no Ensino Fundamental, quanto no Ensino Médio. E os professores puderam discutir a relação Arte e Matemática, ou seja, se a Matemática está presente na Arte, será que o oposto também acontece, ou seja, há Arte na Matemática? (SERENATO, 2008, p.16). Mas, por que Arte e Matemática? Segundo Cifuentes (2003, p. 59, grifo do autor), a matemática e a arte caracterizamse, principalmente pela busca da verdade, no primeiro caso, e a busca da beleza, no segundo. Isso nos instiga a refletir sobre a diferença entre ensinar matemática e ensinar a apreciar a matemática (ibidem p. 60, grifo do autor). Ainda defende que, a matemática é uma forma de arte, sendo os fatos e métodos matemáticos obras de arte aos olhos do pensamento (CIFUENTES; NEGRELLI; ESTEPHAN, 2000 apud SERENATO, 2008, p. 65). Dessa forma, entende-se que, propiciando ao aluno momentos de reflexão e apreciação diante de produções das diferentes linguagens artísticas, das descobertas científicas, das invenções matemáticas, suave será o caminho que ele terá a percorrer para sensibilizar-se diante da própria estética da matemática, compreendendo sua gênese. Ao estabelecer uma relação próxima com a disciplina de Arte, as noções matemáticas adquirem outros significados relacionados ao contexto em que são utilizadas, gerando uma aprendizagem situada na Matemática, conforme defendem Tomaz & David (2008). Quando atividades envolvendo duas ou mais disciplinas tornam-se práticas recorrentes em sala de aula, pode-se desenvolver nos alunos uma cultura interdisciplinar. A aproximação entre Matemática e Arte nas suas dimensões criativa, estética e culturais pode favorecer a compreensão de conceitos matemáticos. Mas, para que isso aconteça, é preciso que cada professor, especialista em uma determinada área de conhecimento, rompa com a barreira da disciplinarização. Segundo Souza (2005, p.135), somos aquilo que fazemos porque aquilo é que nos fez, dessa forma, a grande maioria dos professores que saiu recentemente das universidades e outros que estão há tempos atuando em sala reproduzem o modelo do ensino fragmentado, pois foi recebido dessa forma na sua formação. A relação Matemática e Arte é muita antiga e remonta a pré-história. Segundo Serenato (2008, p ) a matemática está presente na arte desde a pré-história até os dias
5 de hoje, sendo utilizada por muitos artistas e como característica de vários movimentos artísticos. Mas, foi a partir do Renascimento que essa relação se fortaleceu, impulsionada por trabalhos de Leonardo da Vinci que utilizava a seção áurea nas suas obras, seguido por Frei Luca Pacioli, um religioso matemático, que escreveu o livro De Divina Proporcione, contribuindo de forma efetiva nessa relação matemática e arte. A descoberta da perspectiva também contribuiu para efetivar essa relação: num esforço em produzir quadros mais realistas, muitos artistas e arquitetos do Renascimento vieram a se interessar profundamente por descobrir as leis formais que regem a construção de projeções de objetos sobre uma tela (EVES, 1992, p. 15). Logo, procurando dar aos quadros que pintavam uma forma realista aos objetos representados, de modo que as pessoas, ao olharem a pintura, os identificassem sem dificuldades, no século XV, esses artistas criaram os elementos de uma teoria geométrica subjacente à perspectiva (ibidem, p. 15). Assim, a relação entre Matemática e Arte se constituiu e está presente no nosso dia a dia. Então, essa relação deve ocorrer também no contexto escolar, pois na medida em que a escola é compreendida socialmente como tendo por principal função ensinar, transmitir conhecimentos e cultura (LOPES, 1999, p.18), torna-se imprescindível integrar conhecimentos a fim de possibilitar um ensino mais significativo aos educandos. Para que ocorra a interdisciplinaridade é necessário estabelecer um diálogo constante entre as disciplinas e os envolvidos no processo de ensino e de aprendizagem. O diálogo deve colocar o universo das pessoas em pauta e fazer dele seu universo temático; dessa forma pode-se ter uma educação que leve à emancipação. Aos educadores cabe a tarefa de romper com a barreira da disciplinarização, a partir de uma reflexão sobre sua prática. A metodologia interdisciplinar irá exigir de nós uma reflexão mais profunda e mais inovadora sobre o próprio conceito de ciência e de filosofia, obrigando-nos a desinstalar-nos de nossas posições acadêmicas tradicionais, das situações adquiridas, e a abrir-nos para perspectivas e caminhos novos. Exigirá de nós que reformulemos nossas estruturas mentais, que desaprendamos muitas coisas, que desconfiemos das cabeças bem arrumadas, pois, em geral, são bastante desarrumadas, tendo necessidade de nova rearrumação (JAPIASSU, 1976, p. 42). Como o modelo vigente nos cursos de formação de professores ainda é segmentado e o mesmo ocorre com o Currículo Escolar, resta-nos propor e oportunizar a formação continuada que trate da interdisciplinaridade e incentivar o interesse dos professores em articular esses conhecimentos em sala de aula. Nesse contexto foi criado o curso em questão, articulando Matemática e Arte. Desenvolvimento: Iniciamos o curso questionando o conceito de Beleza, gerando muita discussão e
6 impasse, afinal é um tema polêmico, subjetivo e é uma questão pessoal, conforme defende Biembengut & Hein (2005). Como era previsto, não chegamos a um consenso, então, sugerimos aos professores que formassem grupos de até três pessoas e realizassem a medição de algumas partes do corpo e anotassem os dados em uma tabela, calculando a razão entre as duas mediadas, conforme tabela abaixo: Tabela 1: Medidas cm Razão entre as medidas cm Medidas A altura do seu corpo e medida do umbigo até o chão O tamanho de um dedo e a medida da ponta desse dedo até a dobra central. A medida do seu quadril ao chão e a medida do seu joelho até o chão. A medida do cotovelo até a ponta do dedo médio e a medida do seu pé Largura da boca e a largura do nariz Altura do seu rosto, desde a ponta do queixo até à raiz dos cabelos e a altura que vai do arco supraciliar (sobre as sobrancelhas) até à ponta do queixo. Após o preenchimento da tabela, identificamos, na história, personalidades que desenvolveram e utilizaram essas proporções, contextualizando a atividade proposta. Um dos primeiros estudiosos sobre as proporções humanas foi Marcus Vitruvius Pollio, arquiteto e escritor romano do século I a.c., que escreveu uma obra com dez volumes, chamada De Architectura, na qual apresentava questões técnicas e estéticas ligadas à arquitetura e à astronomia. No volume III dessa obra, ele descreve as proporções no corpo humano. Vitruvius alegava que um corpo bem formado devia apresentar proporções harmoniosas (SMOLE & DINIZ, 2005). Baseado nesse estudo, Leonardo da Vinci ilustra o Homem Vitruviano, no qual coloca a figura humana com braços e pernas abertas, inserida em um círculo e um quadrado, simultaneamente (formas geométricas consideradas perfeitas). Marcus Vitruvius já havia tentado essa representação, mas suas tentativas ficaram imperfeitas. Foi apenas com Leonardo que o encaixe saiu perfeito dentro dos padrões matemáticos esperados.
7 Figura 1: DA VINCI, Leonardo. Homem Vitruviano, Lápis e tinta, 34x34 cm. Gallerie dell'accademia Veneza. Em seguida, sugerimos outras medições. Verifique algumas das proporções do corpo humano estabelecidas por Da Vinci, baseadas nos estudos de Marcus Vitruvius: - O comprimento dos braços abertos de um homem é igual à sua altura; - Um palmo é a largura de quatro dedos; - Um pé é a largura de quatro palmos; A distância entre o nascimento do cabelo e o queixo é um décimo da altura de um homem; - O pé é um sétimo da altura do homem. Nesse momento uma grande discussão sobre o padrão de beleza dos dias atuais surgiu entre os professores. Era preciso deixar claro que, ao trabalharem com os alunos, levassem em consideração que o padrão de beleza é determinado por épocas e que a beleza é subjetiva (Biembengut & Hein, 2005), ou seja, o que é belo para uma pessoa não é para outra e viceversa. Em seguida, houve um momento de discussão no qual os professores elencaram quais conteúdos matemáticos poderiam ser explorados com essa atividade: surgindo as seguintes sugestões: Números Naturais, Racionais, Irracionais e Reais. Operações com frações, Números Decimais, entre outros. Seguindo com o curso, outra questão foi lançada: dê uma olhada nos valores encontrados na sua tabela: quais as razões encontradas? - Provavelmente, o número encontrado é próximo de 1, Esse número é conhecido como Número de Ouro. Mas, o que é o número de ouro?
8 O número de ouro é um número irracional considerado por muitos como símbolo de harmonia e da beleza. É representado pela letra grega Ö (Fi maiúscula, pronuncia-se fi ) que é a inicial do nome de Fídias, um famoso escultor e arquiteto grego, encarregado pela construção do Parthenon, em Atenas, e por ter usado a proporção de ouro em muitos dos seus trabalhos. Ensinamos a representar, algebricamente, o número de ouro, partindo de um segmento qualquer: Se dividirmos um segmento qualquer em duas partes, há uma infinidade de maneiras de fazê-lo. Há uma, porém, que parece ser a mais agradável como se representasse uma operação harmoniosa para os nossos sentidos é a divisão em média e extrema razão, a seção divina de Luca Pacioli, também denominada secção áurea por Leonardo da Vinci. Apesar de muitos estudiosos pesquisarem sobre isso, até hoje não se descobriu a razão e o por quê dessa beleza representada pela divisão de um segmento qualquer em duas partes desiguais. Veja: - Dado um segmento AB de comprimento igual a x unidades (ou seja, medida qualquer), podemos dividi-lo em dois segmentos delimitado pelo ponto C, de tal forma que: AB AC = AC CB, ou seja, o segmento todo (AB) dividido pelo segmento maior (AC) é igual ao segmento maior (AC) dividido pelo segmento menor (CB). Neste caso, podemos dizer que o ponto C representa a posição áurea desse segmento. Seja o segmento AB, de medida x. Chamemos de a o comprimento AC e de x a o comprimento CB. Veja: Se o número de ouro é dado pela relação: AB AC = AC CB e substituindo a medida de AB por x, AC por a e CB por x a, temos:
9 x a = Aplicando a propriedade da proporção temos que: a x a x( x a) = a.a x 2 xa = a 2 x 2 xa - a 2 = 0 Temos, então, uma equação de 2º grau. Resolvendo essa equação utilizando a Fórmula de Báskara, obteremos: x = a ± a + 4a 2 2 a ± a = 2 5 = a 2 ± ( 1 5) 2 Como estamos trabalhando com medida de comprimento, ignoramos o valor por resultar num valor negativo Dessa forma, teremos o valor 2 que é igual, aproximadamente, a 1,618. Novamente encontramos o valor 1, , ou seja, o Número de Ouro. Ao elaborar esse esquema, os professores relataram quais conteúdos matemáticos poderiam ser explorados, partindo dessa atividade: Geometria Plana, Razão, Proporção, Polinômios, Equações, entre outros. Depois, sugerimos a construção geométrica do Número de Ouro (ou o segmento relativo a ele, o segmento áureo): 1) - Desenhe um segmento AB sobre uma reta (r) qualquer; 2) - Encontre o ponto médio M desse segmento; 3) - Trace uma perpendicular (d) sobre o ponto B; 4) - Com o compasso, ponta seca em B e abertura BM, trace um arco que intercepta (d) em C. Una os pontos AC, formando um triângulo retângulo ABC; 5) - Com o compasso ponta seca em C, abertura CB, trace um arco que intercepta a hipotenusa em D; 6) - Com a ponta seca em A, abertura AD trace um arco que intercepte AB no ponto E. Assim é possível perceber que AB AE = AE AB é ~ 1, Dando prosseguimento ao curso, apresentamos aos professores outra forma de explorar o Número de Ouro, através de um retângulo, cujos lados tenham uma razão entre si que resulta nesse valor. Esse retângulo é denominado de Retângulo Áureo. O Número de Ouro e o Retângulo Áureo são muito utilizados na arquitetura, nas artes e em muitos outros objetos por representar um padrão de beleza, de proporção, de harmonia e
10 equilíbrio aos nossos olhos. O Parthernon, o templo grego construído no século I a.c, é um exemplo disso, pois apresenta, na sua fachada principal, um retângulo, muito próximo do retângulo áureo. Nesse momento foram apresentadas as imagens do Parthernon, da Monalisa e de outros monumentos e obras de artes que apresentam na sua construção a relação com o Numero de Ouro 3. Figura 2: Parthenon, GOMBRICH (2006) Figura 3: DA VINCI, Leonardo. Mona Lisa, Óleo sobre madeira de álamo, 77 x 53. Louvre, Paris. O retângulo áureo, como já foi dito, pode ser encontrado em muitos monumentos arquitetônicos, obras de arte e objetos. É um retângulo cuja razão entre os lados é igual ao número Ö (Fi). Então, de que forma podemos obter essa razão? Já conhecida a relação da medida áurea, os professores sistematizaram a idéia: - Ao dividir a medida do lado maior pela medida do lado menor, obtém-se o número de ouro. Com régua e compasso, os professores construíram um retângulo áureo, partindo das orientações: 1) Desenhar um quadrado (ABCD) (o lado do quadrado será a largura do retângulo de ouro); 2) Marcar os pontos médios (EF) dos lados de cima e de baixo do quadrado; 3) Traçar a reta que passa pelos pontos médios (EF) (verificar que o quadrado fico dividido 3 Todas as salas de aula da rede pública estadual do Paraná possuem uma TV que proporciona a exibição de imagens e vídeos através da inserção de pendrives e cartão de memória de máquinas fotográficas digitais. Esse recurso nos possibilita dinamizar e enriquecer as aulas com imagens e sons.
11 em dois retângulos congruentes); 4) No retângulo (EBCF) traçar uma diagonal (BF); 5) Com o compasso, ponta seca no ponto F e abertura até o ponto B, traçar um arco até o prolongamento da reta CD encontrando o ponto G. O segmento DG é a medida do comprimento do retângulo de ouro; 6) Prolongue o segmento AB, encontrando o ponto H. O segmento AH é a medida do comprimento do retângulo de ouro. Figura 4: slide do curso Número de Ouro Sua Incidência na Natureza Fonte da autora Com o objetivo de enriquecer ainda mais o curso, abordamos a construção da Espiral de Ouro, completando a atividade anterior: - Já delimitamos no retângulo áureo o quadrado ABCD, desenhamos em seguida um quadrado no retângulo BHGC. Na sequência, construir um quadrado de medida de lado IG e assim sucessivamente até chegar no quadrado de medida de lado 1 cm. Com os quadrados obtidos no retângulo áureo, construa 1 4 de arco de circunferência nos quadrados e una esses arcos numa sequência lógica (inicie traçando um arco no quadrado maior, partindo do vértice inferior esquerdo até o vértice superior direito. Continue a linha nesse sentido até chegar ao quadrado de medida de lado 1). Você irá obter a Espiral de Ouro, conforme figura a seguir:
12 Figura 5: slide do curso Número de Ouro Sua Incidência na Natureza Fonte da autora Podemos encontrar esse formato em numerosos fenômenos da Natureza, como por exemplo, na concha do Nautilus, que se forma seguindo uma espiral, na qual o raio da curva aumenta sempre na mesma proporção, determinada pelo número de ouro; nas sementes da flor do girassol e tantos outros. Neste momento foi pedido aos professores que citassem outros exemplos na natureza onde era possível identificar a espiral de ouro. Dentre vários exemplos, um professor citou o célebre problema que caracterizou a série de Fibonacci 4. Como na sequência do curso trabalharíamos esse problema, passamos então a discutilo: Quantos casais de coelhos podem ser produzidos a partir de um único casal, durante um ano se: a) cada casal originar um novo casal e cada mês, o qual se torna fértil a partir do segundo mês; b) não ocorrem mortes? (STRUIK, 1997, p. 139). Tentando resolver o problema, os professores citaram a sequência: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, e assim por diante. Em seguida, foi lançada uma questão: mas onde está o número de ouro nessa sequência de números? No primeiro momento os professores não responderam. Então, passamos a discuti-lo: a comparação agora se dá entre os números desse sequência, qualquer número, ao ser dividido pelo seu antecessor (menor), resultará aproximadamente 1,618..., ou seja, novamente o número de ouro. Foram exibidas algumas imagens onde o número e o retângulo de ouro são encontrados: as Pirâmides de Gizé, Catedral de Notre-Dame de Paris, Mona Lisa Leonardo da Vinci, Nascimento de Vênus - Sandro Botticelli, entre outros. Nesse momento, dois vídeos foram exibidos aos professores: Aula de Matemática: Número áureo, disponível em acesso em 10/03/ Leonardo de Pisa ( ), conhecido como Leonardo Fobonacci (filho de Bonacci), o matemático mais talentoso da Idade Média. Em 1202, publicou sua obra famosa intitulada Líber abaci (EVES, 2004).
13 Número de Ouro, disponível em acesso em 10/03/2009. Os vídeos tiveram como objetivo fortalecer a idéia do Número de Ouro e visualizar com mais clareza as idéias que até aqui havíamos trabalhado. Para encerrar o curso, foi pedido aos professores que selecionassem uma imagem qualquer em uma revista. Nessa imagem eles deveriam identificar os elementos que mais se destacam e dividir os lados da imagem em três partes iguais, traçando linhas verticais e horizontais para unir esses pontos. A intersecção dessas linhas nos indica os pontos aonde os objetos irão se destacar harmonicamente. Esse procedimento chama-se Regra dos Terços e é muito utilizado por fotógrafos e decoradores. Qualquer elemento situado em um dos pontos ganha peso visual, dando destaque ao assunto e ajudando a definir a imagem. Foi feito um questionamento aos professores: Os elementos que você havia indicado como principais estão situados nas intersecções das linhas horizontais e verticais? O enquadramento dessa imagem apresenta o número de ouro? Verifique, encontrando a razão entre a medida do lado maior pelo menor. Lembrando que, o retângulo apresentará o número se ouro se a medida maior (comprimento) dividido pela menor (largura) for um número próximo a 1, Outras imagens foram trabalhadas para os professores perceberem que a matemática está em todo lugar, até na arte de fotografar. Atividades como esta permite encontrar um padrão de beleza nas nossas fotografias. Então, quando for fotografar alguém ou um objeto, use as regra dos terços para dar destaque ao seu elemento principal. Sua imagem ficará mais harmônica e, consequentemente, mais bela. E desenvolva o seu olhar: explore as proporções, a harmonia de um prédio arquitetônico, de uma escultura, de uma pintura e comprove que até na arte há matemática. Considerações finais: O enfoque desse curso e de outros ministrados pela equipe de Matemática do DEB SEED/PR trouxe novos e diferentes caminhos para o trabalho em sala de aula com o intuito de tentar vencer os desafios do ensino e da aprendizagem dessa disciplina. Sabemos que os desafios são grandes e que estamos buscando a cada dia, por meio
14 desses encontros, melhorar a prática pedagógica, pois o nosso foco é a formação integral dos alunos. Nesse sentido, a partir desse trabalho, propõe-se criar condições para que o professor saiba recontextualizar o aprendizado e a experiência vivida durante a sua formação para a sua realidade de sala de aula compatibilizando as necessidades de seus alunos e os objetivos pedagógicos que se dispõe a atingir (VALENTE, 1997). Dessa forma, através desses cursos buscou-se estratégias, partindo de discussões e indagações que contribuam para melhorar o trabalho em sala de aula, através da (re)construção de conceitos matemáticos. Só iremos alcançar esse objetivo se buscarmos novas estratégias de ensino, fazer diferente. Ao ter e ser consciente, nos tornamos seres de práxis, de ação e reflexão, pois constatando, refletimos para mudar, não para nos adaptarmos. A mudança implica rupturas, lentas ou bruscas do que parece acabado e pronto (SCHERER, 2005). Referências BIEMBENGUT, M. S.; HEIN, N. Modelagem matemática no ensino. São Paulo: Contexto, CIFUENTES, J. C. Fundamentos estéticos da Matemática: da habilidade à sensibilidade. In: BICUDO, M. A. Filosofia da Educação Matemática: concepções & Movimento. Brasília: Plano Editora, EVES, H. Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula: Geometria. Tradução: Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, GOMBRICH, E. H. A História da Arte. Trad. Álvaro Cabral. Rio de Janeiro: LCT, LOPES, A. R. C. Conhecimento escolar: ciência e cotidiano. Rio de janeiro: EdUERJ, JAPIASSU, H. Interdisciplinaridade e patologia do saber. Rio de Janeiro: Imago, MACHADO, N. J. Interdisciplinaridade e matemática. Revista quadrimestral da Faculdade de educação Unicamp Proposições. Campinas, n. 1 [10], p , mar NÓVOA, Antônio (Coord.). Os professores e a sua formação. Lisboa: Publicações Dom Quixote, PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Diretriz Curricular de Matemática para a Educação Básica do Estado do Paraná. Curitiba: SEED, Disponível em: a.pdf. Acesso em: 22 mar SERENATO, L. J. Aproximações Interdisciplinares entre Matemática e Arte: Resgatando o lado humano da Matemática f. Dissertação (Mestrado em Educação: Educação
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