Números Complexos - um breve histórico de números complexos
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Edilton Lopes | comentários
Arquivado no curso de Física na UFAM
Capítulo 1 Números Complexos
1.1 Unidade Imaginária não ser satisfeita por nenhum número real levou à definição dos números complexos. Para solucionar (1.1) definimos a unidade imaginária, denotada1 por i, como sendo o número
Obviamente este não é um número real, uma vez que seu quadrado é negativo.
1.2 Números complexos Um número complexo z é um número da forma z = x + iy. (1.2)
Em (1.2) observamos que um número complexo é composto de duas partes: dizemos que x é a parte real de z, e escrevemos Re(z) = x. Por outro lado, y é a parte imaginária de z, e escrevemos Im(z) = y.
Ainda em (1.2), se x = 0, dizemos que z é um número imaginário puro; por outro lado, se y = 0 temos que z é um número real puro (ou simplesmente um número real).
1.3 O Plano Complexo
Os números complexos podem ser representados através de pontos em um plano cartesiano.
Este plano é denominado plano complexo, ou diagrama de Argand2 . No plano com- plexo grafamos a parte imaginária do número complexo sobre o eixo vertical (chamado eixo imaginário) e a parte real sobre o eixo horizontal (chamado eixo real). A Figura 1.1 ilustra tal representação.
1 Em textos de Eletricidade a unidade imaginária é normalmente denotada pela letra j, uma vez que a letra i é geralmente utilizada para representar correntes elétricas.
2 Jean Robert Argand (1768-1822), Matemático francês. Seu artigo sobre o plano complexo apareceu em
z = a + bi eixo real eixo imaginário a
Figura 1.1: O plano complexo.
Assim, cada número complexo z = a + bi está associado biunivocamente3 ao ponto
(a,b) do plano complexo. Por esta razão, uma outra maneira de se denotar um número complexo z = x+iy é através de um par ordenado (x,y), onde fica implícito que a primeira componente é a parte real real do número complexo e a segunda componente é sua parte imaginária. Também é comum associarmos cada número complexo a um vetor do R2 .
1.4 Conjugado de um Número Complexo
Dado z = x + iy, seu conjugado, denotado z, é dado por z = x − iy. Ou seja, conjuga-se um número complexo simplesmente mudando o sinal de sua parte imaginária. No plano complexo um número e seu conjugado são simétricos em relação ao eixo real (Figura 1.2).
b a a z = a − bi eixo real eixo imaginário
Figura 1.2: O conjugado de um número complexo.
3 A cada número complexo está associado um único ponto do plano, e a cada ponto do plano está associado um único número complexo. Lembre-se que em coordenadas polares tal associação não é biunívoca, uma vez que um dado ponto do plano possui infinitas coordenadas polares.
1.5 Operações com Números Complexos
• Igualdade4 : dizemos que z1 = z2 se suas respectivas partes real e imaginária são
• Adição: a soma z1 +z2 é obtida pelas somas das respectivas partes real e imaginária, ou seja
• Subtração: de modo análogo à adição, temos
• Multiplicação: aplicamos a distributividade e agrupamos as partes real e imaginária (lembrar que i2 = −1)
z é obtida multiplicando-se o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador5 , isto é
Evidentemente não é necessário memorizar a fórmula em (1.3); a razão deve ser obtida simplesmente multiplicando-se o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador e simplificando-se ao máximo o resultado.
4 Atenção: para números complexos não se define relações de ordem, ou seja, desigualdades do tipo z1 < z2 ou z1 ≥ z2 não possuem qualquer significado.
5 A prova deste resultado será deixada a cargo do leitor.
1.6 Propriedades
Estas leis seguem imediatamente das correspondentes leis para números reais e das operações algébricas definidas anteriormente para os números complexos.
(h) z
(10) Reduza cada expressão a seguir a forma a + ib
(4) Resolva as equações
(5) Prove que
(d) o conjugado da razão é a razão dos conjugados, isto é (z
(7) Calcule
(9) Prove o resultado em (1.3). Sugestão: faça z z = z, onde z = u+iv e resolva a equação resultante em termos de u e v.
1.8 Valor Absoluto ou Módulo
Dado o número complexo z = x + iy, seu valor absoluto (ou módulo), denotado |z| ou r, é dado por
Geometricamente o valor absoluto de um número complexo nos dá a distância do ponto que o representa à origem do plano complexo (Aplique o Teorema de Pitágoras na Figura 1.3). É interessante observar que:
• o módulo de um número complexo é igual ao módulo de seu conjugado:
• o produto de um número complexo pelo seu conjugado é igual ao quadrado de seu
As provas destes resultados são imediatas e ficam como exercício para o leitor.
chamada forma polar ou trigonométrica de um número complexo.
Em (1.12) o valor r é o valor absoluto de z, enquanto o ângulo θ é o argumento de z.
Denota-se arg(z) = θ. Geometricamente, o argumento é o ângulo formado pelo semi-eixo real positivo e pelo segmento de reta que representa r, e pode ser obtido pela expressão