Aula07 - Construção de Gráficos I - Papel Milimetrado - Ver B | Ensino de Matemática | Science
Aula07 - Construção de Gráficos I - Papel Milimetrado - Ver B
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CADERNO DO PROFESSOR MATEMÁTICA - E.M. - 2º BIM. VOLUME ÚNICO
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CONSTRUO DE GRFICOS I: Papel Milimetrado
Objetivos: Construo de tabelas e grficos, escalas especiais para construo de grficos e ajuste de curvas dados experimentais.
7.1 Introduo 7.1.1 Construo de Tabelas e Grficos A apresentao de dados experimentais em forma de grficos uma tcnica usada em todas as reas do conhecimento. A anlise grfica muito til, pois permite, em muitos casos, descobrir a lei que rege o fenmeno atravs de uma visualizao imediata do comportamento de suas variveis. Aps a realizao de um experimento, geralmente temos em mos um conjunto de dados que podem ser apresentados em tabelas e/ou grficos. As tabelas e os grficos devem ser construdos na forma mais clara possvel para quem l o trabalho de forma que se tenha uma interpretao correta dos dados. Na construo de grficos devemos obedecer s seguintes regras gerais: a) Escolha a rea do papel com tamanho adequado; b) Os eixos devem ser desenhados claramente. A varivel dependente geralmente estar no eixo vertical, eixo y, e a varivel independente no eixo horizontal, eixo x; c) Marque nos eixos as escalas, escolhendo divises que resultem em fcil leitura de valores intermedirios (por exemplo, divida de 2 em 2 e no de 7,7 em 7,7 ). Se possvel, cada um dos eixos deve comear em zero; d) Escolher as escalas de maneira a no obter um grfico mal dimensionado; e) Colocar ttulo e comentrios conveniente que uma pessoa observando o grfico, possa entender do que se trata este grfico, sem recorrer ao texto. f) Colocar a grandeza a ser representada e sua unidade, em cada eixo coordenado. g) Marque cada ponto do grfico cuidadosamente e claramente, escolhendo para isto um smbolo adequado e de tamanho facilmente visvel (por exemplo, um crculo ou um quadrinho com um ponto no centro).
7.1.2 Construo de uma Escala Linear Para construir uma escala linear em um certo segmento de reta (chamado de eixo), deve-se conhecer, inicialmente o tamanho deste segmento (L). Deve-se conhecer a diferena entre os valores mximo e mnimo da grandeza medida. Essa diferena ser representada por D. Dividindo-se L por D, obtm-se uma certa constante denominada de mdulo da escala (Mod). Por exemplo, considere a tabela a seguir para ser marcada em uma escala linear de 18 cm de comprimento. Fora (N) 4 9 20 26 32
O intervalo das medidas D = 32 4 = 28 N e o comprimento do eixo L = 18 cm. Portanto, o modulo da escala, dado por: Mod = 18/28 = 0,6428 cm/N. Este resultado indica que cada unidade da fora ser representada por um comprimento igual a 0,6428 cm. A escala deve ser construda, ento, com espaamentos iguais de 0,6428 cm. Como se percebe, o mdulo da escala acima inconveniente para se trabalhar e, portanto, adota-se um nmero melhor que facilite as marcaes. Na escolha deste melhor nmero para representar o mdulo Mod, o arredondamento dever ser sempre para menos e deve ser tal que seja utilizado pelo menos 2/3 do comprimento L ( por razes estticas). No exemplo acima, um nmero conveniente para representar o mdulo da escala seria 0,5 cm/N. Escalas do tipo 1:3, 1:7 e 1:9 devem ser evitadas, pois dificultam a marcao de submltiplos dos valores da escala. Em tabelas onde o valor mnimo prximo de zero, como no exemplo acima, aconselhvel incluir o zero para efeito de clculo do mdulo Mod. Isto pode ser feito quando for necessria a apresentao da origem da escala. Nestes casos, divide-se comprimento disponvel L pelo valor mximo de grandeza: Mod = 18/32 = 0,5625 cm/N. Com d determinao do mdulo, obtm-se os comprimentos que representaro cada uma das medidas da tabela. No exemplo anterior considerando-se o mdulo como 0,5cm/N, tem-se a correlao dada pela tabela 7.1.
Fora (N) Distncia (cm)
32 16,0
Tabela 7.1 Comprimento em cm que representa cada valor de Fora.
Note que para obter o ponto correspondente fora, basta multiplicar o Mod pelo valor da fora. tecnicamente errado, ao se montar o eixo da escala, representar nela as medidas da tabela. O que se usa fazer representar no eixo da escala pontos igualmente espaados, marcando e destacando cada um deles. Indicase, abaixo de cada ponto, o valor respectivo da grandeza, sem, no entanto, sobrecarregar a escala com excesso de nmeros. Em suma, deve-se sempre observar o aspecto da escala, procurando constru-la de modo a se ter uma boa visualizao de seus valores.
7.3.1 Escalas Especiais Em alguns casos a escolha de uma escala inadequada na construo de um grfico, pode indicar, visualmente, uma informao confusa sobre o experimento. Veja o exerccio 1. 7.3.2 Ajuste de curvas a dados experimentais Mtodo dos Mnimos Quadrados. Consideremos duas grandezas que podem ser relacionadas, teoricamente, por uma funo do 1 o grau, cuja representao grfica uma reta. Quando determinamos experimentalmente os dados (os quais esto sujeitos a erros de medidas) e representamos as coordenadas cartesianas (x,y) no grfico, verificamos que geralmente, os pontos no esto perfeitamente alinhados, ento, o nosso problema passa a ser o de determinar a equao, isto , os coeficientes angular e linear da melhor reta que se ajusta ao conjunto de dados experimentais. Uma das maneiras de encontrar esta reta pode ser a olho. Neste mtodo o observador dever ajustar a reta aos pontos a partir da observao visual. Este procedimento tem a desvantagem de observadores distintos obterem retas com coeficientes angulares e lineares diferentes, j que a escolha subjetiva devida a interpretao de cada um. Para evitar o critrio individual na determinao da reta, torna-se necessrio encontrar matematicamente a melhor reta ajustada. Isto pode ser feito com o Mtodo dos Mnim os Quadrados, no qual podemos encontrar os coeficientes a e b de uma reta (y = ax +b) que se ajusta a N pontos experimentais. Os coeficientes desta reta so:
N ( xi yi ) ( xi ) ( yi ) N ( xi2 ) ( xi ) 2
( yi ) ( xi2 ) ( xi yi ) ( xi ) N ( xi2 ) ( xi ) 2
Para exemplificar o uso do Mtodo dos Mnimos Quadrados, resolva o exerccio 3. 7.2 Material Utilizado a) Rgua milimetrada; b) Lpis ou lapiseira; c) Borracha; d) Calculadora; e) Papel milimetrado 7.3 Exerccios 1. Considere um carro inicialmente em repouso, partindo da posio inicial S 0 = 500m, com uma acelerao constante de 2 m/s2 (MRUV). Neste caso, sua equao horria ser:
1 S S0 at 2 2
S 500 t 2
Obtendo o valor da posio para cada valor do tempo indicado tem-se a seguinte tabela: Tempo t(s) Posio S(cm) 0 500 1 501 2 504 3 509 4 516 5 525 6 536 7 549 8 564 9 581 10 600
Tabela 7.2 Tempo x Posio.
Com os dados da tabela 7.2 foi construdo o grfico S x t, em duas escalas diferentes, indicados na figura 7.1.
Figura 7.1 Grficos S x t Escolha de uma escala adequada.
a) Em qual dos dois grficos (os dois esto corretos) se observa melhor o resultado esperado? Justifique sua resposta. 2. Considere que a populao de uma regio varie linearmente conforme a funo P(t) = 200t, onde t dado em anos. Construa, num mesmo papel milimetrado, dois grficos Pxt em escalas diferentes, de maneira que em um deles a populao aparentemente aumente rapidamente e no outro ela aumente lentamente. 3. Represente no grfico y x x os pontos da tabela 7.3. X(m) Y(m) 1 10 2 14 3 17 4 18 5 19 6 20 7 25 8 26 9 27 10 31
Tabela 7.3 Y versus X
a) Ajuste uma reta a olho aos pontos do grfico e determine os coeficientes a e b desta. Compare os valores encontrados com os de outros alunos. b) Aplicando o Mtodo dos Mnimos quadrados, determine a equao da reta que melhor se ajusta aos pontos do grfico. Represente esta reta no grfico e compare com a reta ajustada a olho.