Enviado por Ton Lupes
Na matemática ocidental antiga são poucas as aparições de sistemas de equações lineares. No Oriente, contudo, o assunto mereceu atenção bem maior. Com seu gosto especial por diagramas, os chineses representavam os sistemas lineares por meio de seus coeficientes escritos com barras de bambu sobre os quadrados de um tabuleiro. Assim acabaram descobrindo o método de resolução por eliminação ² que consiste em anular coeficientes por meio de operações elementares. Exemplos desse procedimento encontram-se nos Nove capítulos sobre a arte da matemática, um texto que data provavelmente do século 111 a.C. Mas foi só em 1683, num trabalho do japonês Seki Kowa, que a idéia de determinante (como polinômio que se associa a um quadrado de números) veio à luz. Kowa, considerado o maior matemático japonês do século XVII, chegou a essa noção através do estudo de sistemas lineares, sistematizando o velho procedimento chinês (para o caso de duas equações apenas). O uso de determinantes no Ocidente começou dez anos depois num trabalho de Leibniz, ligado também a sistemas lineares. Em resumo, Leibniz estabeleceu a condição de compatibilidade de um sistema de três equações a duas incógnitas em termos do determinante de ordem 3 formado pelos coeficientes e pelos termos independentes (este determinante deve ser nulo). Para tanto criou até uma notação com índices para os coeficientes: o que hoje, por exemplo, escreveríamos como a12, Leibniz indicava por 12. A conhecida regra de Cramer para resolver sistemas de n equações a n incógnitas, por meio de determinantes, é na verdade uma descoberta do escocês Colin Maclaurin (1698-1746), datando provavelmente de 1729, embora só publicada postumamente em 1748 no seu Treatise of algebra. Mas o nome do suíço Gabriel Cramer (1704-1752) não aparece nesse episódio de maneira totalmente gratuita. Cramer também chegou à regra (independentemente), mas depois, na sua Introdução à análise das curvas planas (1750), em conexão com o problema de determinar os coeficientes da cônica geral A + By + Cx + Dy 2 + Exy + x2 = 0. O francês Étienne Bézout (1730-1783), autor de textos matemáticos de sucesso em seu tempo, sistematizou em 1764 o processo de estabelecimento dos sinais dos termos de um determinante. E coube a outro francês, Alexandre Vandermonde (1735-1796), em 1771, empreender a primeira abordagem da teoria dos determinantes independente do estudo dos sistemas lineares ² embora também os usasse na resolução destes sistemas. O importante teorema de Laplace, que permite a expansão de um determinante através dos menores de r filas escolhidas e seus respectivos complementos algébricos, foi demonstrado no ano seguinte pelo próprio Laplace num artigo que, a julgar pelo título, nada tinha a ver com o assunto: "Pesquisas sobre o cálculo integral e o sistema do mundo". O termo determinante, com o sentido atual, surgiu em 1812 num trabalho de Cauchy sobre o assunto. Neste artigo, apresentado à Academia de Ciências, Cauchy sumariou e simplificou o que era conhecido até então sobre determinantes, melhorou a notação (mas a atual com duas barras verticais ladeando o quadrado de números só surgiria em 1841 com Arthur Cayley) e deu uma demonstração do teorema da multiplicação de determinantes ² meses antes J. F. M. Binet (1786-1856) dera a primeira demonstração deste teorema, mas a de Cauchy era superior. Além de Cauehy, quem mais contribuiu para consolidar a teoria dos determinantes foi o alemão Carl G. J. Jacobi (1804-1851), cognominado às vezes "o grande algorista". Deve-se a ele a forma simples como essa teoria se apresenta hoje elementarmente. Como algorista, Jacobi era um entusiasta da notação de determinante, com suas potencialidades. Assim, o importante conceito de jacobiano de uma função, salientando um dos pontos mais característicos de sua obra, é uma homenagem das mais justas.
O pai do nome matriz Foi só há pouco mais de 150 anos que as matrizes tiveram sua importância detectada e sairam da sombra dos determinantes. O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Cauchy, 1826 : tableau ( = tabela ). O nome matriz só veio com James Joseph Sylvester, 1850. Seu amigo Cayley,
Hoje. 1858. tanto via notação escalar como com a mais moderna notação matricial: q( x . 1790 reduziu a caracterização dos máximos e mínimos. o que não representa um determinante. ele chegou à uma conclusão que hoje expressamos em termos de matriz positiva definida. Sempre trabalhando escalarmente. y ) = a x 2 + 2b x y + c y 2 = x y . de uma função real de várias variáveis. Com efeito. 2. qual seja: local onde algo se gera ou cria. mas é como se fosse uma MATRIZ a partir da qual podemos formar varios sistemas de determinantes. Após Lagrange... . a b .. x b c y O primeiro uso implícito da noção de matriz ocorreu quando Lagrange c. pag 363-370 ). bem como a maioria dos resultados básicos da Teoria da Matrizes. Por que Sylvester deu o nome matriz às matrizes ? Usou o significado coloquial da palavra matriz. É só com Cayley que elas passam a ter vida própria e gradativamente começam a suplantar os determinantes em importância. a Algebra Linear .deve ir no mínimo até o Teorema Espectral. via-as como ".com sua famosa Memoir on the Theory of Matrices." ( artigo publicado na Philosophical Magazine de 1850..Surgimento dos primeiros resultados da Teoria das Matrizes Costuma-se dizer que um primeiro curso de Teoria das Matrizes ... ao estudo do sinal da forma quadrática associada à matriz das segundas derivadas dessa função.um bloco retangular de termos. já no século XIX. ao fixar um número p e escolhar à vontade p linhas e p colunas. Como se explica isso? Esses resultados.. consideramos imprescindível estudar essas formas através da notacão e metodologia matricial. Mostremos aqui a representação de uma forma quadrática de duas variáveis. divulgou esse nome e iniciou a demonstrar sua utilidade. Observe que Sylvester ainda via as matrizes como mero ingrediente dos determinantes. a Teoria das Formas Quadráticas chegou a ser um dos assuntos mais importantes em termos de pesquisas. mas naquela época elas eram tratadas escalarmente. Pois bem. foram descobertos quando os matemáticos dos séculos XVIII e XIX passaram a investigar a Teoria das Formas Quadráticas.ou de sua versão mais abstrata. esse teorema e toda uma série de resultados auxiliares já eram conhecidos antes de Cayley iniciar a estudar as matrizes como uma classe notável de objetos matemáticos.
pois os tensores (grandeza) só são fornecidos em forma de matriz. A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante. Observemos. para se resolver sistemas de equações. mais fácil. qu ando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices. Trabalhar com uma malha de linha de transmissão e passar esse circuito para forma matricial. o estudo das formas quadráticas é um mero capítulo da Teoria das Matrizes. utilizava varetas para resolver sistemas lineares de um modo semelhante ao processo usado hoje para o cálculo de determinantes. Essas investigações tiveram como subproduto a descoberta de uma grande quantidade de resultados e conceitos básicos de matrizes. . Hoje. contudo. Na mecânica também é muito importante. y 1683: no Japão.principalmente no que toca ao estudo de seus invariantes. etc.Os determinantes simplificam e sistematizam a resolução de sistemas de equações lineares. temos: -resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares. pois que seus métodos e resultados básicos foram lá gerados.Na engenharia elétrica. -cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano. é do tipo mxn). ademais. As matrizes são muito utilizadas na computação para representarmos translação. escala de objetos em computação gráfica. o matemático Seki Shinsuke Kowa. Aplicações de matrizes e determinantes. Matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja. baseando -se em ensinamentos chineses. Assim que podemos dizer que a Teoria das Matrizes teve como mãe a Teoria das Formas Quadráticas. Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática. História e curiosidades: Determinantes A primeira ideia de determinante. rotação. é muito difícil resolver problemas de circuitos elétricos e linhas de transmissão de energia elétrica sem matrizes. já existia na China antiga onde os coeficientes de equações lineares eram representados com varetas de bambu. que os determinantes em nada contribuiram para o desenvolvimento da Teoria das Matrizes. presume -se.
a teoria dos determinantes tornou-se um ramo da Álgebra. y y CURIOSIDADE: do ponto de vista histórico. Vindo de uma família de comerciantes. sistemas lineares. ele desistiu da docência. portanto. Embora muito hábil nessa carreira. depois determinantes e. passando. a partir daí. Em 1843 trabalhou fundamentalmente em álgebra. A ordem histórica. invariantes Arthur Cayley nasceu em 16 de agosto de 1821 em Richmond na Inglaterra. a maioria sobre a teoria dos invariantes algébricos. que leva seu nome. teoria dos grupos. determinantes e matrizes. Durante esses catorze anos publicou aproximadamente 250 trabalhos matemáticos. 1812: Cauchy escreveu 84 páginas sobre determinantes e. mas. A partir de 1849 trabalhou catorze anos como advogado. . Arthur Cayley Período: 1821 a 1895 d. a ser largamente utilizada. seu pai desejava que continuasse os negócios da família. Assuntos matemáticos envolvidos: y Álgebra: matrizes. porém em 1835 ingressou no King´s College School onde sua aptidão para a matemática se tornou mais aparente. assim seu pai resolveu envia-lo para Cambridge. então. Em 1838 começou seus estudos no Trinity College em Cambridge onde se graduou em 1842. estudamos primeiro matrizes. a considerava apenas como uma forma de sustento para prosseguir com a matemática. 1750: o matemático suíço Gabriel Cramer. também resolvendo sistemas lineares. porém. para resolver o s sistemas lineares. usando determinantes como elemento essencial.C. criou a teoria dos determinantes. reinventou os determinantes ao estabelecer e publicar uma regra. desconhecendo os trabalhos já feitos. pois continuar nela implicaria em tomar hábitos religiosos.y 1693: o matemático alemão Göttfried Wilhelm Leibniz. foi: sistemas lineares. em seguida. também trabalhou em geometrias não-euclideanas e geometria n-dimensional. a ideia de determinante aparece em soluções de sistemas lineares pelo menos um século antes do matemático inglês Arthur Cayley criar as teorias das matrizes.
Assim Cayley aceitou regê-la abandonando a carreira da lei. teoria das transformações. um advogado com quem trabalhava junto e durante os dias de trabalho conversavam sobre matemática. b. está lhe foi oferecida. Tornando-se professor de matemática pura em Cambridge. As matrizes surgiram para Cayley ligadas as transformações lineares do tipo: Onde a.Y) . Foi neste que Cayley deu construções pioneiras à geometria analítica. com quem trocou idéias matemáticas por muitos anos. c. na Johns Hopkins University nos EUA. d são números reais. reforçando por uma capacidade incomparável de trabalho. Outro amigo era Sylvester. onde seu amigo Sylvester era professor. definindo a idéia de operarmos as matrizes como na álgebra. junto com Sylvester. em 1863 a cadeira sadleriana. o estudo de formas binárias e ternárias. conheceu Salmon. Foi um dos primeiros matemáticos a estudar matrizes. Quando se criou em Cambridge. . o fundador da teoria dos invariantes. Cayley ocupa o terceiro lugar entre os escritores de matemática mais prolíferos em toda história desta ciência. Ele é considerado. teoria das curvas e superfícies. Em 1881 foi convidado a dar um curso sobre funções abelianas e funções teta.y) no ponto (X. abordando todas as áreas da matemática. perdendo apenas para Euler e Cauchy..Durante a conferencia de Hamilton sobre os Quatérnios que foi assistir em Dublin. num total de treze volumes com cerca de 600 páginas cada um. Em Collected Mathematical Papers de Cayley há 966 artigos.. Charles Hermite registrou as seguintes palavras ³talento de Cayley se caracterizou pela clareza e extrama elegância da forma analítica. Descobriu a álgebra das matrizes em 1857. e que podem ser imaginados como aplicações que levam o ponto (x.