Método clássico para Fibonacci | Teoria de Lie e Aplicações
Método clássico para Fibonacci
Eu perdi o livro de álgebra linear do Elon Lages. =(
Acho que foi a primeira vez que perdi um livro… o pior é que os fatos não se encaixam: não lembro onde eu possa ter deixado: para mim, ele estava comigo até determinado momento (e, depois, ele desapareceu).
Mas eu planejava escrever esse post sobre o método clássico de se encontrar a fórmula geral da seqüência de Fibonacci (usando álgebra linear). Se não me engano, ele está exposto (como exercício) no livro do Elon (por isso, o comentário sobre o livro: não pude conferir onde havia essa exposição).
Parece que o Henrique "aprendeu" esse método com o professor dele no colégio. Mas creio que o professor não deve ter apresentado de forma clara (e com detalhes).
Bom, no post sobre polinômios característicos, eu esqueci de comentar que, a cada operador, existe um único polinômio característico associado (não depende da base escolhida para a matriz). Isso é conseqüência dos fatos expostos lá (afinal, as raízes do polinômio são os autovalores (e o polinômio sempre é mônico)).
Eu não me lembro exatamente como é o método que pretendia expor aqui (nem estou com o livro aqui para dar uma olhada =( ), mas lembro da idéia. E, assim, vou fazer algo que se aproxima da técnica (usando a mesma idéia).
Já definimos seqüência de Fibonacci anteriormente. Mas vou recolocar aqui:
Uma seqüência de fibonacci é uma seqüência real tal que . O objetivo aqui é econtrar uma fórmula explícita para o n-ésimo termo da seqüência fibonacci padrão/clássica:
Uma forma explícita quer dizer uma coisa do tipo (o n-ésimo termo é dado em função de )
Bom, acho que vocês já viram um resultado que diz que, se e operador linear com autovalores, então a matriz de na base dos autovetores é uma matriz diagonal (cujas entradas não-nulas são exatamente os autovalores) . =)
Seja o operador linear tal que . Isso, de fato, é um operador linear (a verificação é rápida).
Note que o que queremos descobrir é uma "forma explícita" (em função de ) para , pois
(onde é o i-ésimo termo da seqüência de Fibonacci "padrão")
e, por indução, vê-se que
Bom, calculemos a matriz do operador na base canônica. Isso ficaria , , , .
Logo o polinômio característico é
Logo os autovalores são
e ( e ).
Os autovetores são:
E a matriz de em relação à base dos autovetores é
diagonal, onde e .
Logo tem a matriz diagonal acima elevado a . Ou seja,
, onde e são as coordenadas do vetor na base dos autovetores… =) Essas coordenadas, na verdade, são:
Em particular, segue que
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2 Responses to Método clássico para Fibonacci
agosto 20, 2009 às 8:35 pm
Eu comentando de novo! =) =) =)
Faltou uma coisinha nisso tudo que eu escrevi… 🙂
Na verdade, não faltou nada, mas faltou comentar uma coisinha (importante).
E tem uma outra coisa mais legal ainda que eu queria comentar (que eu percebi depois)! Mas que vai ficar especialmente como curiosidade.
Depois, eu comento essas duas coisas! 🙂 🙂 🙂 🙂 🙂
agosto 21, 2009 às 7:50 pm
Tinha faltado provar que:
Se e são matrizes dos operadores lineares e , respectivamente; então é a matriz do produto .
A "recíproca" é verdadeira! 😀
Depois eu vou colocar alguns comentários sobre isso (só como curiosidade) em forma de post (apenas na subcategoria Álgebra linear)