Como você encontra a área da região delimitada pela curva polar # r ^ 2 = 4cos (2theta) #? – CorujaSabia
Como você encontra a área da região delimitada pela curva polar # r ^ 2 = 4cos (2theta) #?
A primeira coisa a lembrar que uma integral é uma maneira de adicionar um número infinito de áreas. Para coordenadas retangulares (#y=f(x)#), essas áreas são sempre retângulos.
literalmente significa "vamos encontrar a área de um número infinito de retângulos entre #x=a# e #x=b#, Onde #f(x)# é igual à altura de cada retângulo.
As coordenadas polares, embora pareçam mais complicadas, seguem o mesmo padrão geral. A grande diferença é que não estamos lidando com retângulos. Estamos lidando com setores de um círculo. Também conhecida como fatias de pizza.
A área de uma única fatia de pizza de um círculo é #A=1/2r^2theta#
(lembre-se de que esta fórmula de área específica só funciona se #theta# está em radianos!)
Portanto, a área de um número infinito de "fatias de pizza" é
que literalmente significa "vamos encontrar a área de um número infinito de fatias de pizza entre #theta=#ângulo #a# e #theta=# ângulo #b# onde r é igual ao raio de cada fatia de pizza.
Agora, para o seu problema específico, substituímos #4cos(2theta)# para #r^2#.
Agora temos que determinar uma adequada #a# e #b#.
Primeiro, lembramos como é um lemniscato.
O #2theta# torna isso um pouco complicado. Basicamente, este gráfico polar passa por seu ciclo duas vezes mais rápido. Isso significa quando #theta=pi/4#, #cos(2theta)# está se comportando como se #theta=pi/2#. É por isso que o raio diminui para zero em #theta=pi/4#. Porque #cos(2pi/4)=cos(pi/2)=0#.
Parece que a coisa mais simples a fazer é ter o nosso ângulo de #theta=-pi/4# para #theta = pi/4#, o que nos dará a metade direita do lemniscato. Então, precisamos apenas duplicar nossa resposta para encontrar toda a área vinculada ao lemniscato.