Gi² - Generalização do Teorema de Pitágoras
Euclides (em "Elementos") generalizou o Teorema de Pitágoras:
Se construirmos figuras semelhantes sobre os catetos e sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo, a soma das áreas das figuras construídas sobre os catetos é igual à área da figura construída sobre a hipotenusa.
A aplicação ilustra esta generalização no caso em que as figuras construídas sobre os lados do triângulo retângulo são polígonos regulares, uma vez que polígonos regulares com o mesmo número de lados são figuras semelhantes.
Designando por \(A\), \(B\) e \(C\) as áreas dos polígonos e por \(a\), \(b\) e \(c\) as medidas dos lados do triângulo, temos que
\(C = \left(\frac{c}{a}\right)^2 \times A\) e \(B = \left(\frac{b}{a}\right)^2 \times A\)
Então, \(A + B = \left(1 + \left(\frac{b}{a}\right)^2\right) \times A = \frac{a^2 + b^2}{a^2} \times A = \left(\frac{c}{a}\right)^2 \times A = C\)
Atendendo a que todo o polígono se pode decompor num número finito de triângulos, se o polígono P é tranformado em P' por uma razão de semelhança r, o perímetro de P' é igual ao produto do perímetro de P por r e a área de P' é o produto da área de P por r2.
Assim, a situação anterior verifica-se se colocarmos sobre os catetos e hipotenusa do triângulo três polígonos semelhantes.
Mais geralmente, se tivermos uma figura plana F com fronteiras curvas, ela pode ser aproximada interiormente e exteriormente por polígonos. Se os polígonos aproximantes tiverem um número crescente de lados, os seus perímetros podem tornar-se arbitrariamente próximos entre si e, consequentemente, arbitrariamente próximos do perímetro de F.
Analogamente, as suas áreas podem tornar-se arbitrariamente próximas entre si e, consequentemente, arbitrariamente próximas da área de F.
Assim, se F sofre uma ampliação ou contração através de uma constante r, transformando-se numa figura semelhante F', os polígonos aproximantes sofrem a mesma ampliação ou contração. Consequentemente, o perímetro de F' é igual ao produto da área de F por r e as suas áreas são multiplicadas por r2.
Suponhamos então que temos figuras semelhantes com áreas A, B e C sobre os lados de um triângulo retângulo, como se indica na figura.