Como calcular um triângulo 30-60-90 |
Por Paul Dohrman Atualizado em 23 março, 2017 Traduzido por Carlos Nascimento
Um triângulo escaleno com os ângulos em 30, 60 e 90 graus é, por definição, um triângulo, porque um dos ângulos possui 90 graus, ou seja, é um ângulo reto. Tais triângulos são muito comuns nas instruções de trigonometria, então é interessante saber tanto o comprimentos dos lados desse tipo de triângulo quanto como ele pode ser derivado.
Dois triângulos escalenos de 30-60-90 graus um nas costas do outro formam um triângulo equilátero (triangle sépia phospho image by Unclesam from Fotolia.com)
Oriente o triângulo escaleno para que o lado de tamanho médio fique horizontal por baixo e o lado menor fique à direita. Então o ângulo de 30 graus estará para a esquerda e o de 60 no topo. Encontre o comprimento da hipotenusa com a letra H.
Determine o comprimento do lado mais curto dividindo H por 2. Determine o comprimento do lado de baixo multiplicando H por √3/2. Alternativamente, encontre o comprimento do lado de baixo multiplicando o lado mais curto por √3, que pode ser mais fácil de lembrar do que o número √3/2.
Determine H se um dos outros lados é encontrado ao multiplicar o lado mais curto por 2 ou ao multiplicar o lado de comprimento médio por 2/√3. Com certeza, se você já sabe dois lados, é possível usar o teorema de Pitágoras para encontrar o terceiro, por se tratar de um triângulo reto.
Derive de onde os números anteriores vieram como se segue: coloque dois triângulos de 30-60-90 graus do mesmo tamanho lado a lado, com o comprimento mediano tocando no meio e os lados mais curtos formando uma linha reta até a parte de baixo. Note que esses dois triângulos agora formam triângulo com todos os ângulos iguais a 60 graus. O triângulo é agora equilátero. Como todos os ângulos são iguais, os comprimentos também o são. Logo, os três lados são de comprimento H. Perceba especificamente que o lado de baixo é de comprimento H. Devido ao lado de baixo ser composto de dois lados mais curtos, o lado mais curto de um triângulos de ângulos 30-60-90 é H/2. Pelo teorema de Pitágoras, o lado mediano deve ter comprimento de H√3/2.
Os lados de um triângulo escaleno com comprimento de hipotenusa em 1 frequentemente aparecem nos exercícios de trigonometria. Se você colocar o triângulo dentro de um círculo para que o lado mais curto encoste no eixo x positivo e a hipotenusa de comprimento 1 se estenda da origem ao círculo, o ponto de intersecção no círculo tem uma coordenada-x de 1/2 e y de √3/2. Esses são o seno e cosseno de 30 graus. Se o triângulo está virado de tal forma que o comprimento mediano encosta no eixo x positivo, ao invés disso, o ponto de intersecção no círculo tem uma coordenada x de √3/2 e y de 1/2. É dito então que o cosseno de 60 graus é 1/2 e o seno de 60 graus é √3/2. Por um raciocínio similar, o seno e cosseno de 45 graus são ambos √2/2 = 1/√2 porque um triângulo de ângulos 45-45-90 com a hipotenusa tem os lados no comprimento de 1/√2. Perceba que conforme você vai de 30 para 45 para 60 graus, o cosseno diminui de √3/2 para √2/2 para √1/2 (=1/2) e o seno aumenta de √1/2 para √2/2 para √3/2. Esse padrão gera um mnemônico interessante para os números discutidos nos passos um, dois e três.
Não confunda o triângulo discutido acima com um triângulo reto de lados 3-4-5, que tem uma razão simples dos lados de um para o outro, mas não tem os mesmos ângulos como o triângulo de 30-60-90 graus.