Resolução de sistemas lineares - Equações, classificação, métodos
Os sistemas lineares podem ter uma única solução, infinitas ou até nenhuma solução. Entenda mais sobre isso a partir de exemplos.
Os sistemas lineares são sistemas formados por equações lineares que estão relacionadas entre si. Portanto, a solução desse tipo de sistema é um conjunto de valores das incógnitas que satisfazem todas as equações do sistema.
Contudo, nem todo sistema linear possui uma única solução, há sistemas com infinitas soluções e sistemas que não admitem nenhuma solução. Entenda melhor sobre resolução de sistemas lineares!
Em um sistema com n incógnitas,
, a solução, quando existe, é do tipo
, que são valores numéricos que tornam verdadeiras todas as equações do sistema, sendo
Em muitas situações, mais de um conjunto
é solução do sistema e, em outras, não há nenhum conjunto que seja solução. Nesse sentido, os sistemas lineares podem ser classificados em três tipos:
Sistema impossível (SI): não admite nenhuma solução.
Se o sistema de equações possuir o mesmo número de equações e incógnitas, podemos montar a matriz de coeficientes associada, que será uma matriz quadrada, e calcular o determinante dessa matriz.
Se o determinante for diferente de zero, então, o sistema será SPD, mas se o determinante for igual a zero, então, o sistema poderá ser SPI ou SI.
Exemplo 1: O sistema linear
admite uma única solução.
Usando algum método para resolver sistemas de duas equações, como método da adição ou substituição, podemos encontrar a solução
Veja que esses valores satisfazem ambas as equações quando são substituídos nelas:
Podemos garantir que não há nenhum outro par ordenado
que faça isso além desse par encontrado, pois a solução é única.
Exemplo 2: O sistema linear
não admite uma única solução.
Se tentarmos utilizar qualquer um dos métodos para resolver sistemas de duas equações, não chegaremos a lugar nenhum, iremos obter termos opostos que serão cancelados, em relação às duas incógnitas. Logo, esse sistema é SPI ou SI.
Uma das formas de dizer se esse sistema é SPI ou SI é através da análise gráfica das retas referentes às equações do sistema. Se as duas retas forem coincidentes, então, é SPI. Mas se as retas forem paralelas, significa que não há nenhum ponto em comum entre elas, ou seja, o sistema é SI.