Artigos/Ordem e Desordem - Revista CM
12 Dec 2007 - 05 Aug 2010
Artigos/Ordem e Desordem
Caos, entre ordem e desordem
O caos, ele está na mídia e na imaginação das pessoas, na música eletrônica e na filosofia antiga e contemporânea, está também nas idéias de cientistas que se propõem a compreendê-lo, ao mesmo tempo que o vão definindo. Mas será que o caos dos físicos, matemáticos, artistas e filósofos é o mesmo? Qual sua relação com desordem e ordem, e quais ferramentas utilizamos para responder perguntas sobre essa nova porém ancestral fronteira do conhecimento humano
Com freqüência, utilizamos a palavra Caos para expressar nossa incapacidade de descrever ou prever o mundo que nos cerca.
Essa sensação, que então atribuímos à palavra pelo uso, tem origem na coleção de fatos e reações acumulados no dia a dia, incategorizáveis e vagos mas que com o tempo demonstram-se decisivos, sem que consigamos dizer ao certo se houve ou qual foi o fato central.
No início, havia a lagarta
Em busca de respostas, procuremos os gregos, mães registradas da expressão, que tinham-no como uma espécie de divindade primitiva, uma existência original por onde e de onde surgiram todas as divindades. Alguns viam nele um estado de desordem completa, enquanto outros entendiam ser algo mais abrangente, um vazio sem definição que contudo era a matéria primordial e continha em si todas as possibilidades.
Esse pensamento influenciou filósofos pré-socráticos como Heráclito a propôr a mutação como indissociável da realidade, e depois Aristóteles, rejeitando os ideais Platônicos, mais notavelmente na sua concepção da 'Prima Mater' - a matéria de transformação, desprovida de atributos próprios. Porém, após estes gregos antigos passou-se um longo período até o conceito, a compreensão ou definição humana de Caos, dar um novo passo.
Uma estação no casulo
Pois ao que o Caos hibernava na alvorada da razão, seguindo, por ser o que é, impenetrável à análise simplória de que se dispunha, uma aparente oposição entre ordem e desordem dominou a filosofia e a ciência, e enquanto ideais platônicos mais a mecânica alimentavam as esperanças de quem admirava a ordem atemporal de deus ou dos corpos celestes, outros se ocupavam com máquinas e vapor a propulsionar teorias irreversíveis do calor e da pressão para conjuntos enormes de partículas erráticas.
E foi num pico de ambas as vertentes, com o sucesso de Boltzmann ao descrever os fenômenos do calor como médias de movimentos microscópicos probabilísticos, e Hamilton dando o toque final na obra de Lagrange em sintetizar a mecânica determinística, que um homem que desprezava a lógica e admirava a intuição pôde trazer de volta à filosofia o deus adormecido.
O início dessa nova era veio então com Henri Poincaré, matemático francês nascido em 1854. Criador - dentre muitas outras coisas - da teoria qualitativa das equações diferenciais, e conseqüentemente dos prenúncios da Teoria do Caos.
Poincaré foi o primeiro a notar que o problema de três (ou mais) corpos sob mútua atração gravitacional, no qual se enquadra o movimento dos corpos celestes, em condições muito gerais desenvolve o seguinte fenômeno: quaisquer trajetórias, por mais próximas que estejam, vão rapidamente se diferenciar. Tão rápido que uma pequena mudança numa trajetória fará com que ela tome um outro rumo sem qualquer relação com seu futuro anterior.
Assim, ainda que por princípio o amanhã de um movimento seja determinado pelo hoje e vice-versa - em oposição aos sistemas probabilísticos - surpreendentemente lhe é possível admitir tal irregularidade que, atribuindo a toda medição um erro, é impossível saber decerto sua origem ou destino.
A borboleta abre suas asas
Após o trabalho de Poincaré, a primeira metade do século XX foi dominada por uma série de trabalhos que acrescentaram nova profundidade ao tema, ao mesmo tempo que estabeleciam em bases matemáticas sólidas o que viria a chamar-se o estudo dos sistemas dinâmicos.
Mas foi apenas com o surgimento dos computadores após os anos 50 que aplicações da teoria tornaram-se práticas, e ela ganhou terreno no meio científico e atenção na mídia, sendo hoje utilizada tanto para estudar difusão de gases, arritmia cardíaca, esquizofrenia, meteorologia e navegação espacial quanto para a produção eletrônica de música, de conceito para poetas e artistas, para gerar texturas e gráficos em jogos de computador, etc.
Nessa linha computacional, o primeiro e fundamental trabalho foram os estudos sobre previsão do clima de Edward Lorenz, que através deles pôde concluir que a atmosfera é um exemplo de sistema caótico, chamando enorme atenção para essa área e dando origem à célebre frase sobre o efeito borboleta.
Uma curiosidade é que o artigo original não menciona borboletas, mas sim gaivotas: "uma batida das asas de uma gaivota poderia alterar o curso do clima para sempre"; as borboletas teriam surgido em palestras subseqüentes de Lorenz, numa descrição mais poética: "o bater das asas de uma borboleta em Shangai pode causar tempestades em Londres."
O que nos traz de volta à questão: o quê é Caos? E aí temos uma excelente oportunidade para aprender com um contra-exemplo: o filme Efeito Borboleta. Um bom drama psicológico de ficção fantástica, que apesar do nome e de iniciar-se com a citação a respeito dos trabalhos de Lorenz, em nada lhes diz respeito.
Quem assistiu o filme lembrar-se-á que segue-se uma série de retornos ao passado, onde o protagonista afeta sua história num momento e retorna ao presente para encontrar-se numa situação completamente nova. Porém os eventos que são alterados em nada se assemelham à sutileza do bater de asas duma borboleta!
Pelo contrário, o filme comporta-se como um típico sistema linear, onde apenas grandes mudanças no passado causam grandes mudanças no futuro - o extremo oposto de um sistema caótico, onde qualquer pequena mudança tem enormes consequências.
Mas como entender um conceito que já em sua natureza trata da incapacidade de descrições?
Primeiro é preciso saber que nem todo movimento é caótico sempre. Quando o sistema tem parâmetros variáveis, como exemplo no caso do problema de muitos corpos temos as massas de cada corpo envolvido, diferentes parâmetros podem exibir graus distintos de irregularidade, em regiões diferentes do espaço e das velocidades.
Portanto o problema de entender os sistemas dinâmicos caóticos não está à parte de entendê-los em geral. Mas apesar disso parecer um empecilho, é a existência dessa transição para o caos que possibilita uma imagem muito mais rica do processo caótico em si.
Em segundo lugar é preciso saber que esses sistemas têm de modo geral um conjunto de trajetórias especiais que acabam por defini-lo, que são os pontos fixos ou de equilíbrio e as órbitas periódicas. Uma trajetória é um ponto fixo ou de equilíbrio quando é imóvel, e uma órbita periódica quando após um tempo retorna ao lugar de onde partiu. Mas o que as torna especiais é considerar a maneira como as outras trajetórias se organizam em volta delas.
Por exemplo, em muitos sistemas há um conjunto dessas órbitas para onde todas as demais trajetórias convergem. A esse conjunto chama-se atrator. Em outros sistemas elas delimitam regiões onde há diferentes dinâmicas, e assim por diante.
No regime caótico, em meio à desordem de órbitas errantes que permeiam todo o espaço sem ter limites ou destino (um fenômeno chamado transitividade), são os pontos fixos e órbitas periódicas que, quanto mais presentes, representam a ordem e garantem a existência da estrutura e de toda a riqueza de fenômenos que diferenciam o Caos da desordem total.
A própria sensibilidade às condições iniciais do efeito borboleta é uma conseqüência dos dois fenômenos que costumam ser usados para formalmente caracterizar o Caos: a transitividade e as órbitas periódicas densas. Costumam ser usados, pois ainda engatinhamos a caminho de compreendê-lo e diferentes definições ainda avultam no meio científico.
Para possibilitar a montagem de uma imagem coerente, o estudo dos sistemas dinâmicos foi se desintegrando em várias áreas, cada uma com seus interesses e suas perguntas a responder. Abaixo fazemos uma breve citação de algumas das principais vertentes e seus propósitos.
Estabilidade: buscar condições sob as quais é possível garantir que um determinado comportamento não se modifica com pequenas alterações no sistema; por exemplo se ele continua a ser caótico, ou se um conjunto de órbitas continua dirigindo-se ao mesmo conjunto atrator. Há diversos tipos diferentes de estabilidade, quando diz respeito a alterações nos parâmetros causando mudanças na dinâmica do sistema recebe o nome de 'estabilidade estrutural', mas há outras que dizem respeito ao caminho de trajetórias próximas e seu tempo de percurso.
Bifurcações: estuda as transformações da dinâmica do sistema causadas por alterações nos parâmetros, por exemplo quando uma órbita que atrai as demais passa a repeli-las, ou quando regiões vizinhas começam a ter comportamentos incompatíveis levando ao surgimento de uma órbita periódica que as separe. É essa área a responsável por entender os tais mecanismos através dos quais um sistema passa de um regime regular para caótico.
Fractais: examina as possíveis geometrias dos atratores quando o sistema é caótico. Além dos atratores existem outros conjuntos chamados 'residuais' que apresentam fractalidade. Além de sua relevância matemática, essa área é muito popular pelas belas imagens obtidas e sua aplicação em computação gráfica.
Robustez: muitas vezes, sistemas dinâmicos que apresentem uma dinâmica equivalente (estruturalmente estáveis) podem, ainda assim, apresentar características diferenciadas em suas classes, como o volume de seus conjuntos atratores. Condições de robustez garantem que essas características também sejam preservadas.
Ergodicidade: uma das característica marcantes do Caos é geralmente descrita como a propriedade de um sistema determinístico apresentar comportamentos que se assemelham ao aleatório. Esta é a parte da teoria que, através do estudo de características globais do sistema, explica e quantifica essas propriedades probabilísticas da dinâmica, assim como sua relação com o Caos e com outros graus de irregularidade.
Controle do Caos e Sincronização: o estudo da dinâmica é cheio de idéias contra-intuitivas, uma delas é a possibilidade de interferir num sistema caótico para extrair ou direcionar a energia dele, usando a irregularidade global a favor do controle de algumas condições particulares. Há indícios de que alguns mecanismos biológicos fazem uso desta tática, e grupos médicos trabalham na tentativa de aplicá-la em sistemas auto-motores que façam o papel de marcapasso ou auxiliem no controle de problemas neurológicos.
Nosso último assunto é um dos resultados mais impressionantes da teoria dos sistemas dinâmicos: a união entre o formalismo dos sistemas ordenados e desordenados, um resultado que chega a ter um apelo romântico para com a idéia grega de uma matéria primordial, que contém em si todas as possibilidades.
Os sistemas ordenados são uma parte dos regidos pelas leis da mecânica, que no fundo são as bem conhecidas leis de Newton.
Os sistemas desordenados são os tratados pela física estatística, em geral sistemas de muitas partículas erráticas onde é válido descrever o movimento por probabilidades e aproximar as variáveis macroscópicas (temperatura, volume) por médias. São os sistemas Termodinâmicos dentro e fora do equilíbrio.
Desde Boltzman que há algum sucesso no tratamento de uma série de sistemas desordenados aliando-se o formalismo da mecânica a idéias de probabilidade. Porém um sucesso sempre restrito a casos onde o sistema já encontra-se muito próximo ou no equilíbrio termodinâmico, um estado onde as grandezas macroscópicas como calor e pressão já se estabilizaram.
Mas na virada do último século, utilizando ferramentas de sistemas dinâmicos, especialmente dos estudos sobre ergodicidade e caos, e com novos experimentos de manipulação microscópica, foram obtidos grandes avanços conectando a mecânica das partículas ao comportamento macroscópico observado em sistemas desordenados fora do equilíbrio, completando a conexão dos sistemas ordenados e desordenados em geral.
Esse trabalho ainda está longe de ser completo, mas promete trazer uma novo caminho para compreendermos como a complexidade apresenta-se na natureza, e irá certamente levar a intrigantes revelações sobre essa divindade brincalhona, o Caos.
Jorge Sotomayor, "Lições de Equações Diferenciais Ordinárias"
Robert L. Devaney, "An Introduction to Chaotic Dynamical Systems"
Jacob Palis Jr. e Welington de Melo, "Introdução aos Sistemas Dinâmicos"
Alexandre Hannud Abdo, o Abdo, é Bacharel em Ciências Moleculares pela turma 9 e fez sua iniciação científica na área de Controle do Caos. Atualmente conduz seu doutorado em Dinâmica de Redes Complexas no Instituto de Física da USP.