Combinação - Matemática | Manual do Enem
/ Combinação
2) Fórmula da combinação
4) A combinação no dia a dia
Neste texto, veremos as combinações de "n" elementos, tomados "p" a "p" de algum conjunto. Ok, mas como assim?
Diferente dos demais conteúdos na matemática, a análise combinatória (conteúdo cujo tema combinação está envolvido) não possui praticamente nada de teoria para ser lida. O estudo dessa matéria se dá através de muitos exemplos e esforço por parte do aluno para entender como funciona a mecânica dos exercícios.
Dessa forma, papel e lápis na mão porque esse texto está cheio de exemplo e exercício para te ajudar, beleza?!
De maneira geral, indicamos o número de combinações simples de n elementos tomados "p" a "p" da seguinte maneira:
O mais importante a saber aqui é que a ordem não importa na combinação. Cuidado para não confundir com o arranjo, onde a ordem importa. Essa é a principal característica deste artifício e não pode ser esquecido de forma alguma!
Isso significa que a ordem como os elementos são colocados nos problemas não tem importância na solução deste problema. Fique tranquilo, com os exemplos a ideia ficará mais clara. Assim, sem mais delongas, vamos a eles!
Quantos times de futebol de salão podemos formar utilizando 8 pessoas?
Solução: sabendo que um time de futebol de salão é composto por 5 jogadores, temos 8 elementos tomados 5 a 5 (8 pessoas que podem ser combinadas 5 de cada vez). Repare que a ordem dos jogadores não altera o problema, pois se você escolher o jogador 1 e depois o jogador 2 ou o jogador 2 e depois o jogador 1, o time continuará sendo o mesmo. Assim, a ordem não importa. Dessa forma, aplicando a fórmula, temos:
Em uma assembleia há 57 homens e 31 mulheres. Quantas comissões de 8 pessoas podemos formar, sendo 5 mulheres e 3 homens?
Solução: neste exercício, vamos calcular a combinação para as mulheres e para os homens separadamente, para depois multiplicá-las, determinando todas as combinações possíveis.
Note, novamente, que a ordem não é relevante no exercício. Assim, para as mulheres:
Dessa forma, no total, temos:
Quantas diagonais tem um polígono regular?
Solução: sabemos que o polígono tem "n" vértices (\(A_1\), \(A_2\),..., An). Nota-se que cada diagonal é traçada através de um par não ordenado (ou seja, não subsequente) de dois vértices ( , por exemplo).
Nesse sentido, vamos combinar todos os vértices, dois a dois, formando todos os segmentos possíveis (ou seja, diagonais e lados). Sabemos que existem "n" lados (já que não sabemos a quantidade de lados do polígono), assim:
Como queremos apenas o número de diagonais "d", precisamos subtrair deste valor o número de lados do polígono (ou seja, subtrair "n", já que o polígono tem "n" lados):
Calcule o valor de p sabendo que
Solução: vamos calcular separadamente para depois finalizar o cálculo:
A combinação no dia a dia
A análise combinatória é extensamente aplicada atualmente. O ramo da genética na biologia a utiliza como ferramenta essencial para estudar os possíveis genótipos e fenótipos que podem se manifestar.
Para engenheiros da computação, o desenvolvimento de senhas e códigos depende de forma crucial da análise combinatória e, por consequência, da combinação. No geral, o estudo das possibilidades está em tudo no nosso cotidiano!