Matemática C - Aula 6
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Juro é a importância cobrada por unidade de tempo, pelo empréstimo de dinheiro, expressa como porcentagem da soma emprestada.
Em ``A quantia de R$ 2.000,00, emprestada a ao ano, durante 3 anos, rendeu R$ 600,00 de juros simples".
Se a taxa `` " for referida ao ano, mês, dia etc, o tempo `` " também deverá ser tomado correspondentemente em anos, meses, dias, etc.
Se o capital 100 produz i em 1 ano, então; o capital `` " produzirá em anos.
Quando resolvemos isolando `` ", temos:
Quanto renderá um capital de R$ 5.000,00 empregado à taxa de , em regime de juros simples, durante 3 anos?
Substituindo os respectivos valores na fórmula, temos:
Assim, terá um rendimento de .
Calcular os juros de R$ 8.500,00 à taxa de , durante 6 meses.
Observe que a taxa está expressa em anos, enquanto o tempo em meses. Como devemos trabalhar com as duas grandezas em unidades de tempos iguais, tomaremos o tempo como sendo anos.
Portanto, os juros são de R$ 1.530,00.
Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 25.000,00 durante 2 meses e 15 dias, a uma taxa de .
Como não há concordância entre a taxa e o tempo, devemos fazer algumas modificações para que possamos resolver o problema. Faremos as seguintes transformações:
2 meses e 15 dias correspondem a 75 dias, ou então: anos. Ainda; a taxa ao mês, corresponde a vezes 12 meses, o que dá .
Logo, os juros produzidos são de R$ 625,00.
Comumente usamos expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades.
A gasolina terá um aumento de , na próxima semana.
Significa que em cada R$ 100,00 haverá um acréscimo de R$ 10,00.
Numa pesquisa de intenção de votos, o candidato A aparece em lugar, com da preferência dos eleitores, ao cargo de prefeito municipal.
Quer dizer que; em média, a cada 100 pessoas que foram entrevistadas, 25 preferem o candidato A.
Toda a razão que tem por denominador o número 100 denomina-se razão centesimal.
a) (lê-se: 25 por cento)
b) (lê-se: 47 por cento)
c) (lê-se:125 por cento)
Chamamos as expressões ; ; de taxas centesimais ou taxas percentuais.
Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. Dessa forma; podemos resolves problemas de porcentagem, utilizando taxas percentuais.
Um jogador de voleibol efetuou 25 finalizações no decorrer de uma partida, obtendo um aproveitamento de . Qual o número de sucessos que ele obteve?
Logo, ele obteve 20 sucessos.
Um investidor comprou um lote de ações por R$ 1.500,00 e as revendeu um mês depois, por R$ 2.100,00. Qual foi o percentual de lucro por ele obtido?
Para resolver o problema, vamos montar um esquema em que somaremos o percentual de lucro obtido, aos R$ 1.500,00 investidos inicialmente, chegando assim ao valor final de venda das ações.
Desse modo, ele obteve um lucro de .
Quando um dado valor sofre um acréscimo percentual, podemos incorporar tal acréscimo, obtendo assim o que chamamos de ``fator de multiplicação".
Um valor que sofre um aumento de , terá um fator de multiplicação igual a , pois:
Da mesma forma, podemos estender esse raciocínio para outros valores, como mostra a tabela abaixo:
Lucro ou Acréscimo Fator de Multiplicação
Quanto passará a receber um funcionário, que tem um salário de R$ 950,00 e, obtém um aumento de ?
Para chegarmos ao valor do novo salário, basta que usemos um fator multiplicativo igual a 1,35 sobre o valor atual, assim:
Portanto, o novo salário será de R$ 1.282,50.
Para os casos em que ocorrem decréscimos, o fator de multiplicação será dado por:
Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal).
Qual será o valor do desconto de um produto, que custa R$ 350,00 , mas que em promoção é vendido por abaixo do preço?
Nesse caso, o fator de multiplicação é:
Fator = 1 - 0,22 = 0,78
Portanto, quando descontados , o produto passa a custar R$ 273,00.
Tomando-se uma quantidade inicial e adicionando-se a ela um certo percentual obtemos um valor final . Se tomarmos agora o valor e descontarmos o mesmo percentual obteremos o valor ? Discuta.
1. Uma compra foi efetuada no valor de R$ 1.500,00. Obteve-se um desconto de . Qual foi o valor pago em reais?
2. Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma valorização (acréscimo) de sobre o seu preço. Quanto ele passou a custar?
a) 12.400,00
b) 13.200,00
c) 13.800,00
d) 14.600,00
3. Uma impressora a laser custou R$ 2.000,00 para uma gráfica. No período de um mês, ela apresentou um lucro de R$ 100,00. De quanto porcento foi o lucro sobre o preço de compra?
4. Se a taxa de uma aplicação é de ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?
d) 7 meses
5. Qual o capital, em reais, que aplicado a juros simples de rende R$ 250,00 de juros em 50 dias?
d) 17.500
6. (Desafio) Um determinado produto teve um acréscimo de , sobre o seu preço de tabela. Após certo período, teve um decréscimo também de sobre o preço que foi aumentado, obtendo assim o preço atual. Qual é o percentual que o preço atual corresponde em relação ao primeiro valor (preço de tabela)?
7. O valor de 10 % é igual a:
O princípio fundamental da contagem nos mostra um método algébrico, para determinar o número de possibilidades de ocorrência de um acontecimento, sem precisarmos descrever todas as possibilidades. Se um acontecimento pode ocorrer por várias etapas sucessivas e independentes de tal modo que:
é o n^o de possibilidades da etapa
é o n^o de possibilidades da -ésima etapa
Então, o número total de possibilidades do acontecimento ocorrer é dado por:
1) Quantas placas (distintas) de automóveis, poderão ser emitidas; com o sistema atual de emplacamento?
O atual sistema de emplacamento de automóveis no Brasil utiliza três letras e quatro algarismos. No novo alfabeto são consideradas 26 letras e temos dez dígitos entre os números. Logo o número de possibilidades será :
2) Obtenha o total de linhas telefônicas que podem ser instaladas, com o prefixo 436:
Para resolver este problema, é preciso escolher um algarismo para a casa das milhares, outro para as centenas, outro para as dezenas e um outro para as unidades. Os algarismos a serem utilizados em cada uma das casas, podem ser escolhidos entre os dez dígitos do sistema decimal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Como cada uma das casas podem ser preenchidas com um dos 10 algarismos acima, temos que: O total de linhas possíveis com o prefixo 436 é o produto das possibilidades que se tem para preencher cada uma das casas. Logo:
As linhas podem ter números no formato 436-ABCD, onde os quatro dígitos ABCD de 0 a 9 indicam que podemos ter números de 0000 a 9999, ou seja, 10 mil linhas diferentes. Ou, de outro modo:
3) Quantos números ímpares de 3 algarismos distintos, são possíveis utilizando os algarismos: 1, 3, 4, 5, 7, 8.
Ao iniciar a resolução de um problema de análise combinatória, é aconselhável que se faça alguns grupos dos quais queremos calcular o total. No caso do nosso atual problema, veja alguns exemplos de números ímpares de 3 algarismos distintos: 347, 815, 135, 451,etc. Note que o número 533 não nos serve, pois houve repetição do algarismo 3; o número 534 também não serve, pois é par. Um outro ponto importante é, por onde começar a resolver o problema. Procure sempre atacar o problema, por onde houver um maior número de restrições. Veja:
centena dezenas unidades
Em nosso caso, temos a restrição de que os números devem ser ímpares.
Logo, para a casa das unidades, temos 4 possibilidades (1,3,5,7). A seguir, vamos analisar a casa das centenas, na qual; podemos usar qualquer um do 6 algarismos dados pelo problema, porém eliminando-se um deles (aquele que estiver na casa das unidades), já que não pode haver repetição. Portanto, temos para a casa das centenas 5 possibilidades. Finalmente, analisando a casa das dezenas, concluímos que restaram 4 possibilidades, pois: não podemos repetir o algarismo que estiver na casa das unidades e nem o que estiver na casa das centenas. Portanto: O total de possibilidades é: , o que dá um total de 80 números.
Sendo um número natural, define-se fatorial de , e indica-se begintex2html_wrap_inline$n!$" à expressão
Para fins de cálculo, define-se que:
Observe que: fatorial é uma definição por recorrência, ou seja: cada fatorial é calculado com a utilização do fatorial anterior. Assim:
De quantas formas diferentes pode resultar o lançamento de dois dados simultâneos?
Na série de números de 0 a 100, quantos algarismos noves são usados?
Quantos numeros pares se pode formar com os algarismos ?
8. O resultado de
c) 31/7
9. Numa eleição de uma empresa, há 4 candidatos a presidente, 3 a vice-presidente, 5 a supervisor-geral e 3 a tesoureiro. Quantos podem ser os resultados da eleição?
10. Simplifique as expressões:
11. (Mack-SP) Quantos números de 5 dígitos podem ser escritos com os algarismos , sem que apareçam algarismos consecutivos iguais?
12. Sobre uma circunferência marcam-se 6 pontos, igualmente espaçados. Quantas retas eles determinam:
13. (Saem) A quantidade de números que podemos formar com os algarismos , sem repeti-los, maiores que 4000, é:
14. Quantos carros podem ser licenciados, se cada placa contém duas vogais e três dígitos?
b) 110.000
d) 154.000
15. Resolvendo a equação, , temos que:
16. (Ufes) Um shopping center possui 4 portas de entrada para o andar térreo, 5 escadas rolantes ligando o térreo ao primeiro pavimento e 3 elevadores que conduzem do primeiro para o segundo pavimento. De quantas maneias diferentes uma pessoa, partindo de fora do shopping center pode atingir o segundo pavimento, usando os acessos mencionados?
17. (Puc-SP) Chamam-se políndromos os números inteiros que não se alteram quando é invertida a ordem de seus algarismos (por exemplo: 383, 4224, 74847). O número total de políndromos de cinco algarismos é: