Por efeito da interação gravitacional, a partícula 2 exerce uma força F sobre a partícula 1 e a partícula 1 exerce uma força F sobre a partícula 2. - PDF
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Leonor Neto Barros
1 Interação Gravitacional Vimos que a mola é esticaa quano um corpo é suspenso na sua extremiae livre. A força que estica a mola é e origem eletromagnética e tem móulo igual ao móulo o peso o corpo. O peso o corpo é uma força e origem gravitacional. Entre o corpo e a Terra existe interação gravitacional. Seguno a terceira lei, essa interação origina uas forças: a força peso o corpo, que a Terra exerce sobre ele, e a força que o corpo exerce sobre a Terra. Essas uas forças constituem um par ação-reação. Se esse corpo é substituío por outro, com volume maior, mas feito com o mesmo material, a elongação a mola fica maior. Isso significa que é maior o móulo a força o corpo sobre a mola e, também, que é mais intensa a interação entre o corpo e a Terra. A interação gravitacional eve, portanto, epener e alguma proprieae o corpo suspenso que esteja aumentano com o seu volume. Essa proprieae é a massa o corpo. Sejam uas partículas com massas m 1 e m, separaas por uma istância (Fig.1). Por efeito a interação gravitacional, a partícula exerce uma força F sobre a partícula 1 e a partícula 1 exerce uma força F sobre a partícula. A terceira lei e Newton estabelece que essas forças têm o mesmo móulo e a lei a gravitação universal e Newton estabelece que o valor esse móulo é ao pela expressão: Gm F= 1 m em que G é a constante a gravitação universal (a mesma para toos os corpos): G = 6, m 3 /s kg A expressão acima vale também para corpos esféricos e homogêneos. Nesse caso, representa a istância entre os centros os corpos. É interessante observar que os móulos as forças são inversamente proporcionais ao quarao a istância e separação. Desse moo, se a istância uplica, os móulos as forças ficam quatro vezes menores, se a istância triplica, os móulos as forças ficam nove vezes menores e assim por iante. Em outras palavras, os móulos as forças iminuem rapiamente com o aumento a istância e separação, e moo que as forças são importantes apenas quano a istância e separação não é muito grane.
2 De qualquer moo, a interação gravitacional se estene até o infinito e izemos que as forças corresponentes são forças e longo alcance. Por outro lao, a constante a gravitação universal G é muito pequena. Apenas corpos com granes massas poem gerar efeitos poneráveis. A força que a Terra exerce sobre um objeto é o seu peso e poemos meir o móulo o peso e uma bola e tênis, por exemplo, com instrumentos simples. Mas a força gravitacional que uma bola e tênis exerce sobre outra bola e tênis tem móulo muito pequeno para poer ser meio, inclusive com os instrumentos sofisticaos e um laboratório e pesos e meias. Peso No cotiiano, a interação gravitacional origina o peso os corpos. Para iscutir o móulo o peso e um ao corpo usano a expressão matemática a lei a gravitação universal e Newton aa acima, vamos consierar o moelo em que a Terra é representaa como se fosse uma esfera e raio R, com massa M homogeneamente istribuía. Vamos consierar, aina, um corpo e massa m, a uma altura h acima a superfície a Terra (Fig.). O móulo o peso este corpo vale: m P= (R+ h ) O móulo o peso epene, portanto, a altura em que se encontra o corpo. Para um corpo próximo à superfície a Terra, h << R e poemos escrever: com P mg g= R Aqui, g representa o móulo a aceleração gravitacional. Nesse moelo em que a Terra é representaa como uma esfera homogênea e para corpos próximos à superfície a Terra, o valor e g epene apenas as constantes G, M e R, que naa têm a ver com o corpo particular consierao. Assim, num referencial fixo na Terra, toos os corpos caem em ireção ao centro a Terra com a mesma aceleração. Tomano o valor e G ao acima e os valores: R = 6,37 x 10 6 m
3 e M = 5,98 x 10 4 kg temos que, nas proximiaes a superfície a Terra, o móulo a aceleração gravitacional vale: g = 9,83 m/s No moelo que estamos consierano, para qualquer altitue, o móulo a aceleração gravitacional é ao por: g(h) = ( R+ h) Exemplo Consierano a Lua como uma esfera homogênea, com raio R e massa M aos por: e R = 1,74 x 10 6 m M = 7,36 x 10 kg temos que, nas proximiaes a superfície a Lua, o móulo a aceleração gravitacional vale: g L = 1,6 m/s Dessa forma, g / g L 6. Comparao com o seu valor na Terra, o peso e um corpo é cerca e seis vezes menor na Lua. A massa é a mesma. Num moelo mais realista, o cálculo o valor a aceleração gravitacional eve incluir, além a altitue, também um efeito associao à latitue (evio ao achatamento a Terra nos pólos) e um efeito associao à morfologia local as rochas. Além esses, é usual incluir um efeito centrífugo (evio à rotação a Terra num referencial fixo nas estrelas istantes), embora este não tenha origem gravitacional. Com esses efeitos, um cálculo o valor méio sobre toa a superfície terrestre o móulo a aceleração gravitacional ao nível o mar resulta: g = 9,81 m/s Esse é o valor que aparece nos livros texto e Física. Aina levano em conta os efeitos mencionaos, calculamos os valores que se seguem para o móulo a aceleração gravitacional: em Santa Maria, g = 9,79 m/s, na linha o Equaor, g = 9,78 m/s e nos pólos, g = 9,83 m/s. Campo Gravitacional Para iscutir o conceito e campo gravitacional, vamos consierar um corpo esférico e homogêneo e massa M e uma partícula e massa m, separaos por uma istância (Fig.3(a)).
4 Embora exista uma força sobre o corpo, ela não está representaa. Vamos irigir nossa atenção à partícula. O móulo a força que o corpo exerce sobre a partícula poe ser escrito: F m = O tempo não aparece nessa expressão. Se a partícula mua e posição, o móulo a força que o corpo exerce sobre ela mua no mesmo instante, inepenentemente e quão istante o corpo ela se encontre. Nesse sentio, é usual izer que a lei a gravitação universal e Newton incorpora o conceito e interação à istância. Poemos pensar na interação o corpo com a partícula e outra forma, associano um vetor g() ao ponto em que se encontra a partícula (Fig.3(b)). Esse vetor tem a mesma ireção e o mesmo sentio a força F, que o corpo exerce sobre a partícula, e móulo: g () = Comparano esta expressão com aquela e cima, vemos que a força F poe ser escrita: F() = mg()
5 Assim como fizemos com o ponto em que se encontra a partícula, poemos associar um vetor g a qualquer outro ponto o espaço, com móulo, ireção e sentio aos pelas uas expressões acima. Então, representa a istância entre o ponto em questão e o corpo. O conjunto os vetores associaos a toos os pontos o espaço (até o infinito) é o que chamamos e campo gravitacional o corpo em questão (Fig.4). O campo gravitacional é um campo vetorial e como o móulo o campo gravitacional tem uniae e aceleração, ele é um campo e acelerações. Desta forma, izemos que existe um campo gravitacional associao ao corpo. Quano uma partícula é colocaa num ponto o espaço, aparece, sobre ela, uma força gravitacional evio a esse campo. O campo atua, essa forma, como um intermeiário entre o corpo e a partícula. Toos os objetos têm o seu próprio campo gravitacional. A partícula e massa m também tem o seu campo gravitacional. Assim como observamos a interação entre o corpo e a partícula através o campo gravitacional o corpo, poeríamos ter observao a mesma interação através o campo gravitacional a partícula. O campo a partícula é efinio e moo completamente análogo ao campo o corpo. Numa região com vários corpos, o vetor campo em um ao ponto o espaço é a resultante a soma os vetores campo associaos aos vários corpos, como eve ser seguno o princípio e superposição. O conceito e campo aparece em outras áreas a Física. Por exemplo, consieremos um recipiente com água líquia. Poemos associar, a caa pequeno elemento e volume essa água, um número que representa sua temperatura. Assim, o conjunto esses números constitui o campo as temperaturas. Neste caso, o campo é escalar. Uma última observação: não é o espaço que constitui o campo, mas uma graneza (vetorial ou escalar) efinia para caa ponto e espaço. Exercício 1 Consiere uma pessoa e 60 kg. Compare o móulo o seu peso em Porto Alegre com o móulo o seu peso no alto o Everest. Exercício Discuta a seguinte frase, encontraa num livro iático e Física para o ensino méio [Bonjorno, R. A. et al. Física funamental. São Paulo: FTD, Volume único.]: Em torno a Terra, há uma região chamaa campo gravitacional, na qual toos os corpos sofrem sua influência, que se apresenta em forma e uma força. Exercício 3 Sobre uma partícula e massa m = 0, kg, situaa a certa altura o solo, a Terra exerce uma força e móulo 1,6 N. Calcule a intensiae o campo gravitacional na posição em que se encontra a partícula.