O ciclo trigonométrico é a representação de uma circunferência num plano cartesiano. Ele auxilia no cálculo de razões trigonométricas como seno e cosseno. Saiba mais!
Os estudos de trigonometria estão associados à figura do triângulo retângulo e ao ciclo trigonométrico. A função do ciclo trigonométrico é estabelecer relações entre ângulos, graus, radianos, senos, cossenos e tangentes de uma circunferência.
Entenda o que é o ciclo trigonométrico e como ele pode ser cobrado no Enem e vestibulares.
O que é o ciclo trigonométrico
O círculo ou ciclo trigonométrico é uma circunferência construída sobre o plano cartesiano e que corta os eixos das abcissas e das ordenadas no ponto 1. Dessa maneira, os eixos se cruzam no ponto 0 da reta numérica e formam 4 quadrantes:
O ciclo trigonométrico possui diversos pontos que estão associados a valores de ângulos. No caso do ciclo de raio unitário, o intervalo para a localização dos ângulos é [0, 2π[, sendo que π equivale a 180º.
Dessa forma, o ciclo trigonométrico possui uma volta completa de 360º. Enquanto isso, um ângulo de 540º corresponde a uma volta inteira mais meia volta.
Ficou difícil? Então aproveita para fazer uma parada de recuperação com o professor Lucas Borguesan. Ele tem duas aulas, uma já entrando direto no Cíclo Trigonométrico, e outra que começa pelos fundamentos da trigonometria. Escolha a melhor pra você. Ou veja as duas, começando pelas relações métricas do triângulo retângulo?
O Cíclo Trigonométrico na prática
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As dicas sobre o Cíclo Trigonométrico:
Veja novamente o resumo acima, para você dominar e mandar bem no Enem.
As Relações Métricas do Triângulo
Agora, veja os Fundamentos básicos para a Trigonometria, que começam com as Relações Métricas doo Triângulo Retângulo:
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Video can't be loaded because JavaScript is disabled: TRIGONOMETRIA BÁSICA: Como calcular seno, cosseno e tangente | Resumo de Matemática para o Enem (https://youtu.be/RboLUMemZig)
Você já sabe que o triângulo retângulo é uma referência nas aplicações que envolvem a geometria plana.
Em algumas profissões ficaria difícil entender diferentes fenômenos se não usássemos suas diferentes aplicações.
Seu ângulo reto, suas relações métricas e trigonométricas dão ferramentas para cálculos de distâncias muito grandes como entre dois planetas, por exemplo.
Nesta aula acima, o professor Lucas te ensina tudo sobre as relações trigonométricas do triângulo retângulo, te mostra como calcular seno, cosseno e tangente, explica a tabela dos ângulos notáveis e te dá dicas e macetes para agilizar seus cálculos.
Ângulos e quadrantes do ciclo trigonométrico
O ciclo trigonométrico possui os seguintes referenciais na localização dos ângulos:
Além dos quadrantes, ainda temos os ângulos principais:
Já em relação aos quadrantes e os eixos x e y, lembre-se da seguinte relação:
Os sinais de mais (+) e de menos (-) indicam o sinal de cada quadrante em relação ao seu respectivo eixo. Perceba que no 1º quadrante temos dois sinais positivos. O primeiro sinal é referente ao eixo x, ou seja, o eixo horizontal. Já o segundo sinal é referente ao eixo y, ou seja, o eixo vertical.
Note que o 1º quadrante está localizado ao lado direito do eixo horizontal, o que significa que está d0 lado positivo. Também está localizado na parte superior do eixo y, que é sua camada positiva. Portanto, o 1º quadrante está localizado positivamente nos eixos x e y do plano cartesiano. É por isso que ele possui dois sinais positivos, um indicando o eixo x e outro o eixo y.
Já o 2º quadrante está localizado na parte negativa do eixo horizontal, pois está à sua esquerda. Mas note que o 2º quadrante está localizado acima do eixo vertical. Por isso ele é positivo.
O 3º quadrante encontra-se à esquerda do eixo x e na parte inferior do eixo y, o que significa que ele é negativo em ambas as posições.
Por fim, o 4º quadrante está à direita do eixo x, logo é positivo. Contudo, está localizado na parte inferior do eixo y, tornando-se negativo nesta localização.
Os cálculos a seguir são efetuados com o objetivo de localizar ângulos nos quadrantes do círculo trigonométrico.
Resolução: a fim de descobrir a posição do ângulo é necessário dividir 600º por 360º. Em seguida, é necessário verificar o valor correspondente ao resto, pois é ele que indicará o quadrante de localização.
Fazendo o cálculo 600/360 obtemos 1 com resto igual a 240. Portanto, o ângulo de 600º está localizado no 3º quadrante. Lembre-se que o 3º quadrante abrange os ângulos entre 180º e 270º.
Resolução: 1540/360 = 4 e resto igual a 100. Assim, concluímos que 1540º corresponde a 4 voltas completas, estando localizado no ponto equivalente a 100º. Portanto, está localizado no 2º quadrante.
Radianos no ciclo trigonométrico
Além dos graus, existem os radianos no ciclo trigonométrico. Para você entender a equivalência entre graus e radianos, lembre-se que um π radianos corresponde a 180º. Assim:
Uma volta completa equivale a 360º e 2π radianos;
Meia volta equivale a 180º e π radianos;
Um quarto de volta equivale a 90º e π/2 radianos;
Três quartos de volta equivalem a 270º e 3π/2 radianos.
Então, toda vez que você tiver que transformar graus em radianos ou vice-versa, você pode fazer uma destas duas operações:
Lembrar que um π radianos corresponde a 180º e fazer uma regra de 3.
Construir o ciclo trigonométrico levando em conta a posição dos quadrantes, sentido e congruência.
O seno e o cosseno são algumas das relações trigonométricas que podem ser representadas no ciclo trigonométrico. Esta relação é dada entre os pontos no arco que representam os ângulos e os próprios eixos x e y.
O seno é a reflexão do ponto no eixo das ordenadas. A fim de entender melhor, imagine que uma lanterna está localizada ao lado do ciclo trigonométrico. A sombra que o ponto da circunferência faz no eixo y é o valor do seno daquele ângulo. Veja no exemplo com o ângulo de 30º:
Você se lembra que no início deste post dissemos que o raio do ciclo trigonométrico é sempre igual a 1? Então observe na imagem que a sombra do ponto que representa o ângulo de 30º atinge o eixo dos senos exatamente na metade. Logo, podemos concluir que o seno de 30º é igual a 1/2.
O mesmo raciocínio é utilizado para obtenção dos cossenos. A diferença é que agora a reflexão do ponto é no eixo x, representando o valor do cosseno naquele ângulo. Assim, é só imaginar que a lanterna está iluminando de cima para baixo:
Agora, somente visualizando a imagem, ficou um pouco mais difícil de estimar qual é o cosseno de 30º refletido no eixo x, não é? Mas com uma observação mais minuciosa é possível perceber um triângulo retângulo e, através dele, calcular os valores do cosseno.
Essa visualização nos leva a um ponto bem importante que é o sinal do cosseno e o sinal do seno em cada um dos quadrantes. Visto que o ciclo trigonométrico é posicionado sobre um plano cartesiano, tanto o sinal do seno quanto do cosseno obedecem ao sinal do eixo no qual estão projetados.
Os ângulos mais utilizados em cálculos costumam ser 0º, 30º, 45º, 60º e 90º. Esses são os chamados ângulos notáveis e possuem os seguintes valores para seno e cosseno:
Exercícios sobre ciclo trigonométrico
1- (ENEM/2018)
a) 75º no sentido horário.
b) 105º no sentido anti-horário.
c) 120º no sentido anti-horário.
d) 135º no sentido anti-horário.
e) 165º no sentido horário.
2- (UFRR/2015)
a) seno e tangente;
b) seno e secante;
c) seno e cosseno;
d) cosseno e secante;
e) cosseno e tangente.
3- (UFJF MG/2015)
d) x = π/2
e) x = 3π/2
Postado em:14 setembro, 2016 Atualizado: 13/08/2021 às 14:48
Categorias: Cai no Enem, Matemática Tags: Ciclo Trigonométrico, Circulo Trigonometrico, circunferência, matemática, matematica enem, Trigonometria