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O conceito físico de temperatura está associado ao conceito de equilíbrio térmico. Um sistema mecânico tem muitas configurações possíveis, dependendo da distribuição de energia de seus subsistemas. Dentre estas configurações, existe aquela mais provável, em que todos os subsistemas estão em equilíbrio térmico, e que pode ser calculada com as técnicas da mecânica estatística de equilíbrio. Em equilíbrio térmico existe balanço detalhado: todo processo microscópico é exatamente balançado pelo processo inverso. Como o assunto envolve resultados de tratamento detalhados de muitos campos da física, aqui simplesmente citaremos os resultados, e justificaremos com argumentos qualitativos, deixando a demonstração para textos especializados.
Em um sistema clássico, as partículas se movem em trajetórias definidas, de modo que podemos, em princípio, distingüir entre as partículas, mesmo idênticas, isto é, podemos colocar rótulos de partícula 1, partícula 2, ... Em uma descrição quântica isto não pode ser feito porque o Princípio da Incerteza de Heisenberg, que rendeu o prêmio Nobel em física de 1932 ao físico alemão Werner Karl Heisenberg (1901-1976), não permite a contínua observação do movimento das partículas, sem mudar o comportamento do sistema. Isto é equivalente a dizer que, em mecânica quântica, que descreve as partículas como ondas tridimensionais, onde a função de onda associada a cada partícula não é pontual e dá a probabilidade de se encontrar a partícula em uma posição, a super-posição da função de onda torna impossível a distinção entre as partículas. Portanto, em uma descrição quântica, as partículas idênticas são indistingüíveis.
onde s é a entropia e v o volume. O potencial químico é um multiplicador Lagrangeano dependente da densidade de partículas (a energia introduzida no sistema quando uma partícula é introduzida no sistema), e é obtido através da normalização
onde N é a densidade total de partículas (número de partículas por unidade de volume) e onde Egás é a densidade de energia total do gás. O conceito de potencial químico foi introduzido pelo físico-químico americano Josiah Willard Gibbs (1839-1903). Estas fórmulas são derivadas considerando-se as várias maneiras de se arranjar um número fixo de partículas em estados individuais de energia, de modo que a energia total do gás seja conservada.
Na estatística de Fermi-Dirac, derivada por Enrico Fermi e pelo inglês Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984),
para T=0, onde é chamada de energia de Fermi, e depende fracamente da temperatura.
Para um gás de fótons, que são bósons de massa zero, , porque o número de fótons não é conservado, isto é, quanto maior é a temperatura (energia), maior é o número de fótons.
para fótons e elétrons. 1.1
Para temperatura zero,
onde é a energia da partícula e é sua massa de repouso.
A densidade de energia do gás, isto é, energia por unidade de volume, será então dada por:
O número de maneiras possíveis de configurar partículas idênticas em g estados é g!, e a aproximação de Stirling [James Stirling (1692-1770)] permite escrever o fatorial, para um grande número de estados, em termos de uma exponencial. O erro relativo é menor que 1% para cerca de 1000 partículas.