PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC/SP - PDF
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Lucca Marinho Sá
1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC/SP Péricles Bedretchuk Araújo Situações de aprendizagem: a circunferência, a mediatriz e uma abordagem com o Geogebra Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para a obtenção do título de Mestre Profissional em Ensino de Matemática, sob orientação do Professor Doutor Gerson Pastre de Oliveira. SÃO PAULO 2010
2 Atividades e instruções aos professores (Ensino Fundamental I) Atividade 1 Miguel vê televisão, na sala de estar, sentado a 3 m do televisor. Faça uma construção no Geogebra que mostre todos os pontos da sala em que o televisor pode estar, considerando que o garoto pode permanecer em qualquer lugar da sala. Apresente todos os argumentos que justifiquem a sua construção. Nesta atividade, a variável didática considerada é a circunferência, ou seja, deve-se posicionar o televisor em diferentes lugares do plano, de modo que cumpra a condição de ficar a uma distância conhecida de um ponto fixo. Estes lugares descrevem um conjunto de pontos, os quais podem associar a representação gráfica de uma circunferência. ; Atividade 2 Manuel, Antonio e João contrataram uma empresa para abrir um poço artesiano, de modo que o poço serviria aos três. Combinaram que o mesmo ficaria equidistante das três casas. Onde ficaria o poço? Faça uma construção no Geogebra e justifique sua proposta. As variáveis didáticas são as mediatrizes como construções auxiliares, para encontrar o circuncentro, ou o lugar que o poço equidista das três. Atividade 3 A fim de construir um jardim na frente de uma escola, seu diretor contratou um jardineiro e, após combinarem como seria o referido jardim, concluíram que
3 todas as plantas deveriam ficar a 5m do pé da bandeira, que se encontra no meio do terreno. De acordo com a história, qual é o lugar onde o jardineiro deve colocar as plantas? a) Qual é o nome da linha que indica o lugar onde devem ser colocadas as sementes? b) Qual é o instrumento mais adequado para resolver este problema, régua ou compasso? Nesta atividade, as variáveis didáticas são a circunferência como lugar geométrico e o instrumento a ela associada. Uma das estratégias esperadas para resolução é que os estudantes representem as sementes por pontos e considerem o pátio como um o plano, observando a condição de que as sementes devem ficar a uma mesma distância do pé da bandeira, considerando o pé da bandeira como um ponto fixo. Pode ocorrer que os alunos coloquem as sementes uma após a outra formando uma linha reta, o que não pode ser considerado uma solução. Os estudantes também poderão representar no papel, com o uso do compasso, uma circunferência de raio 5 cm. Atividade 4 Um carro está a 3,5 km do Parque Raul Seixas, do qual já havia passado, e a 4,5 km da Praça Jequitibá. a) Em que locais o veículo poderia estar? b) Em qual local o carro deveria estar para que a distância entre os dois pontos de referência seja a maior possível? Tome a figura abaixo como referência para elaborar uma proposta de solução no Geogebra.
4 Nesta atividade, a variável didática considerada refere-se à localização de dois pontos no mapa em função de duas circunferências de raios definidos como objetos auxiliares ou seja, tais elementos podem surgir de forma variada, ora os estudantes elegendo um segmento e tomando cada ponto constituinte como centro de uma das circunferências, que passa pelo outro ponto, ou construindo uma circunferência e ajustando um dos segmentos dados à construção da outra circunferência. Esta descrição corresponde a uma das estratégias esperadas para resolução, no melhor caso. Ocorre, porém, que um dado aluno poderia tentar ajustar os tamanhos dos segmentos, traçando tais elementos nas medidas solicitadas e acertando os mesmos intuitivamente o que não seria considerado um método geometricamente válido. Ou ainda, definir segmentos de reta com os tamanhos determinados no enunciado e girá-los obtendo os dois pontos procurados. Poderia, também, acontecer que algum estudante entenda que os pontos estarão entre o segmento que passa pelas duas praças. Atividade 5 Construa o triângulo ABC, do qual se conhece a medida dos seus lados, sendo a igual 7,5cm, b igual a 6 cm e c igual a 4 cm. Nesta atividade, a variável didática considerada refere-se à construção do triângulo em função das circunferências como objetos auxiliares ou seja, tais elementos podem surgir de forma variada, ora o aluno elegendo um segmento e tomando cada ponto constituinte como centro de uma das circunferências, que passa pelo outro ponto, ou construindo uma circunferência e ajustando um dos segmentos dados à construção da outra circunferência. Esta descrição corresponde a uma das estratégias esperadas para resolução, no melhor caso. Ocorre, porém, que um dado grupo pode tentar ajustar os tamanhos dos segmentos, traçando tais elementos nas medidas solicitadas e acertando os mesmos intuitivamente o que não pode ser considerado um método geometricamente válido. Atividade 6
5 No pátio de um clube existem refletores, um à direita e outro à esquerda. Como seus diretores acharam a iluminação insuficiente para a realização de uma festa, contrataram uma empresa para colocar postes de iluminação de tal modo que as distâncias de cada um deles aos dois refletores fossem iguais. Faça uma construção na qual seja possível indicar cinco lugares onde podem ser colocados os novos postes. As variáveis didáticas em questão estariam ligadas à recuperação dos conceitos geométricos já estudados pelos sujeitos, como o de intersecção de duas circunferências, o da noção de equidistância de dois pontos, o do ponto médio do segmento que une os dois refletores, o da reta perpendicular ou do ângulo de 90º formado pela reta que passa pelos postes de iluminação e o segmento que une dois refletores. Como estratégia, espera-se que os alunos usem a distância que separa os pontos E e D como raio das circunferências e, com a ferramenta compasso, apliquem sobre os pontos dados. Também pode ocorrer a observação das duas circunferências que se interceptam, definindo dois lugares para colocar os postes de iluminação. O objetivo aqui era o de apresentar as propriedades que caracterizam a mediatriz, além de permitir o uso das ferramentas do Geogebra intersecção de dois objetos e ângulo. Figura 1 Atividade 6
6 Atividade 7 Uma estrada de ferro passa bem próxima a duas cidades. Irá ser construída uma nova estação, próxima a linha férrea, de modo que ela fique a uma mesma distância das duas cidades. Simule esta situação no Geogebra. Aqui, a variável didática é a mediatriz como um lugar geométrico. A intenção é que os alunos interajam com o arquivo proposto para a atividade e observem que a nova estação seria um ponto da mediatriz e que se encontraria equidistante das duas cidades, ou seja, a equidistância entre os dois pontos. A estratégia esperada seria a de desenhar pontos, representando as cidades, um segmento entre eles, representando a linha férrea, o uso da ferramenta mediatriz ou outra que permita traçar a mediatriz, além de um ponto de intersecção entre a mediatriz e o segmento. A partir daí, deve haver a movimentação dos elementos envolvidos na construção, de modo a constatar a manutenção das propriedades anunciadas. Atividade 8 Em relação ao problema anterior, como você o resolveria, usando o Geogebra, se, no lugar de duas cidades, fossem três? As variáveis didáticas em questão são a localização do circuncentro, ou o lugar da nova estação, que equidista das três cidades. A estratégia dos estudantes para encontrar uma solução poderia ser a de aplicar a construção de mediatrizes com a utilização, no Geogebra, das ferramentas: compasso e reta, em conjunto, ou mediatriz. Espera-se que os estudantes, ao manipular a figura construída na tela, percebam que o circuncentro não se restringe a área delimitada pela região triangular formada pelas três cidades. Espera-se, igualmente, que pelo menos um dos pontos não fosse colinear em relação aos outros dois. Pode acontecer que a solução que os alunos adotem seja a de ajustar os elementos para conseguir a posição do circuncentro, por tentativa e erro, procurando um ponto que fique a igual distância das três cidades, o que não seria uma construção válida.
7 Atividade 9 Construa uma circunferência usando a ferramenta Círculo definido por 3 pontos. Determine o centro desta circunferência. Nesta atividade, a variável didática é a determinação do centro da circunferência em função das mediatrizes como objetos auxiliares. Para isso, é esperado que os alunos, em suas estratégias, lembrem do conceito de circuncentro, ou seja, definam três pontos sobre a circunferência em qualquer lugar da mesma, procurando no menu a ferramenta mediatriz. Em seguida, que apliquem sobre as duas mediatrizes a ferramenta intersecção entre objetos, definindo o centro da circunferência. Contudo, os alunos podem definir dois pontos e procurar ajustar sobre a reta mediatriz o centro da circunferência, o que não seria um método geometricamente válido. Ou ainda, os alunos podem lembrar que, para ter a mediatriz, precisam de dois pontos e, ao invés de três pontos, utilizem quatro pontos sobre a circunferência e consigam definir o centro procurado. Atividade 10 Figura 2 Atividade 10 Construa um triângulo ABC qualquer. Determine a posição de um ponto L que fique equidistante dos vértices A e B e situado a 4,5cm do vértice C. Descreva o processo de construção. Nesta atividade, a variável didática considerada é a determinação da posição do ponto L na figura com as construções auxiliares circunferência e mediatriz. Espera-se que os grupos lembrem o conceito de equidistância de dois pontos e
8 relacionem à mediatriz. Em suas estratégias, os grupos devem determinar a mediatriz dos vértices A e B, e em seguida, usar a ferramenta segmento com comprimento fixo para determinar o raio da circunferência de dimensão 4,5 cm, tendo o ponto C como centro. Os estudantes podem validar, com a ferramenta distância, se o ponto L está a igual distância de A e B e se o mesmo está a 4,5 cm de C. Pode acontecer que os alunos tentem ajustar a posição do ponto L sem o uso das ferramentas, o que não será uma construção válida.
Actividade 1 Polígonos Construa um triângulo 1 : - definido por três pontos; - isósceles, não equilátero; - rectângulo; - Em que um dos lados meça 4 unidades e os ângulos adjacentes 30 e 70. Construa um