Apostila de lógica - Lógica
REGINALDO KRUKI | comentários
Arquivado no curso de Engenharia Elétrica na UNIDERP
Existem muitas definições para a palavra "lógica", porém no caso do nosso estudo não é relevante um aprofundamento nesse ponto, é suficiente apenas discutir alguns pontos de vista sobre o assunto. Alguns autores definem lógica como sendo a "Ciência das leis do pensamento", e neste caso existem divergências com essa definição, pois o pensamento é matéria estudada na Psicologia, que é uma ciência distinta da lógica (ciência). Segundo Irving Copi, uma definição mais adequada é: "A lógica é uma ciência do raciocínio" , pois a sua idéia está ligada ao processo de raciocínio correto e incorreto que depende da estrutura dos argumentos envolvidos nele. Assim concluimos que a lógica estuda as formas ou estruturas do pensamento, isto é, seu propósito é estudar e estabelecer propriedades das relções formais entre as proposições.
Veremos nas próximas linhas a definição do que venha a ser uma proposição, bem como o seu cálculo proposicional antes de chegarmos ao nosso objetivo maior que é estudar as estruturas dos argumentos, que serão conjuntos de proposições denominadas premissas ou conclusões.
Chamaremos de proposição ou sentença, a todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo.
a)O curso Pré-Fiscal fica em São Paulo.
b)O Brasil é um País da América do Sul.
c)A Receita Federal pertence ao poder judiciário.
Evidente que você já percebeu que as proposições podem assumir os valores falsos ou verdadeiros, pois elas expressam a descrição de uma realidade, e também observamos que uma proposição representa uma informação enunciada por uma oração, e portanto pode ser expressa por distintas orações, tais como:
"Pedro é maior que Carlos", ou podemos expressar também por "Carlos é menor que Pedro".
1–Princípio da não-contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente.
a)"O Curso Pré-Fiscal fica em São Paulo"é um proposição verdadeira.
b)"O Brasil é um País da América do Sul" é uma proposição verdadeira. c)"A Receita Federal pertence ao poder judiciário", é uma proposição falsa.
As proposições simples (átomos) combinam-se com outras, ou são modificadas por alguns operadores (conectivos), gerando novas sentenças chamadas de moléculas.
Os conectivos serão representados da seguinte forma: corresponde a "não"
∧corresponde a "e"
∨corresponde a "ou"
⇒corresponde a "então" ⇔corresponde a "se somente se"
Joselias@uol.com.br - Raciocínio Lógico •Conjunções:a ∧ b (lê-se: a e b)
•Disjunções:a ∨ b (lê-se: a ou b)
•Condicionais:a ⇒ b (lê-se: se a então b)
•Bicondicionais:a ⇔ b (lê-se: a se somente se b)
p = "Cacilda é estudiosa" q = "Ela passará no AFRF" Daí, poderemos representar a sentença da seguinte forma:
Se p então q( ou p ⇒q )
TABELA VERDADE Representaremos então o valor lógico de cada molécula com seu respectivo conectivo.
a.Valor verdade de P P P VF FV
Raciocínio Lógico - Joselias@uol.com.br - Prof.: Joselias b.Valor verdade de P∧Q
O valor verdade da molécula P∧Q é tal que VAL (P∧Q) é verdade se somente se VAL (P) e VAL (Q) são verdades.
c.Valor verdade de P∨Q
O valor verdade da molécula P∨Q é tal que VAL (P∨Q) é falso se somente se VAL (P) e VAL (Q) são falsos.
P Q P ⇒Q
d.Valor verdade de P ⇒Q
O valor verdade da molécula P⇒Q é tal que VAL (P⇒Q) = F se somente se VAL (P) = V e VAL (Q) = F
Joselias@uol.com.br - Raciocínio Lógico e.Valor verdade de P⇔Q
O valor verdade da molécula P⇔Q é tal que VAL ( P⇔Q ) = V se somente se VAL (P) e VAL (Q) tem os mesmos valores verdades.
Moléculas α β
Determinar o valor verdade da sentença (P∧Q) ⇒R Sabendo que VAL (P) = V, VAL (Q) = V e VAL (R) = F
PQ RP∧Q (P∧Q) ⇒R
V FVF
VF VFV
FV VFV
VF FFV
FV FFV
Solução Logo analisando a tabela acima temos VAL ((P∧Q)⇒R) = F
a.Determine o valor verdade da sentença ()[]ABC∧⇒⇔()[] ABC∧∨
EXERCÍCIOS Sabendo-se que
b.Determinar o valor verdade da sentença
()()[]A BCCD⇒⇔∧∨
Sabendo que: VAL(A) = V, VAL(B) = F, VAL(C) = F, VAL(D) = V
Resposta: VAL ()()[]{}ACCDF⇒⇔∧∨= B
São moléculas que possuem cada uma delas o seu valor verdade sempre verdadeiro independentemente dos valores lógicos das proposições (átomos) que as compõem.
Exemplo a.(p ⇒q) ⇔ ( p∨q) é uma tautologia pois
V F FV
F FV V
p q p ⇒q ( p∨q) (p ⇒q) ⇔ ( p∨q)
p p⇔ p
a.p⇔ p é uma contradição pois VF F
São moléculas em que os valores lógicos independem dos valores das proposições (átomos)
Duas moléculas são equivalentes se elas possuem as mesmas tabelas verdade. Exemplo p qp ⇒q p∨q V V
Argumento é um conjunto de proposições com uma estrutura lógica de maneira tal que algumas delas acarretam ou tem como conseqüência outra proposição.
Isto é, o conjunto de proposições p1, p2, p3, , pn
que tem como conseqüência outra proposição q.
Chamaremos as proposições p1, p2, p3, , pn
de premissas do argumento, e a proposição q de conclusão do argumento.
1.Se eu passar no concurso, então irei trabalhar. Passei no concurso
∴Irei Trabalhar
2.Se ele me ama então casa comigo. Ele me ama
∴Ele casa comigo
3.Todos os brasileiro são humanos. Todos os paulistas são brasileiro.
4.Se o Palmeiras ganhar o jogo, todos os jogadores receberão o bicho. Se o Palmeiras não ganhar o jogo, todos os jogadores receberão o bicho .
NOTAÇÃO: No caso geral representaremos os argumentos escrevendo as premissas e separando por uma barra horizontal seguida da conclusão com três pontos antes.
Premissa:Todos os sais de sódio são substâncias soluveis em água. Todos os sabões são sais de sódio
Conclusão:∴Todos os sabões são substâncias soluveis em água.
Conforme citamos anteriormente uma proposição é verdadeira ou falsa. No caso de um argumento diremos que ele é válido ou não válido.
a)Premissas verdadeiras e conclusão verdadeira.
Todos os apartamentos são pequenos.( V ) Todos os apartamentos são residências.( V )
∴Algumas residências são pequenas.( V ) b)Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão verdadeira.
Todos os peixes têm asas.( F ) Todos os pássaros são peixes.( F )
∴Todos os pássaros têm asas.( V ) c)Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão falsa.
Todos os peixes têm asas.( F ) Todos os cães são peixes.( F )
∴Todos os cães têm asas.( F )
Todos os argumentos acima são válidos, pois se suas premissas fossem verdadeiras então as conclusões também as seriam.
Podemos dizer que um argumento é válido se quando todas as suas premissas são verdadeiras acarreta que sua conclusão também é verdadeira. Portanto, um argumento é não válido se existir a possibilidade de suas premissas serem verdadeiras e sua conclusão falsa.
Todas as mulheres são bonitas. Todas as princesas são mulheres.
Observe que não precisamos de nenhum conhecimento aprofundado sobre o assunto para concluir que o argumento acima é válido. Vamos substituir mulheres, bonitas e princesas por A, B e C respectivamente e teremos:
Todos os A são B. Todos os C são A.
Logo o que é importante é a forma do argumento e não o conhecimento de A, B e C, isto é, este argumento é válido para quaisquer A, B e C e portanto a validade é conseqüência da forma do argumento.
O argumento será dedutivo quando suas premissas fornecerem prova conclusiva da veracidade da conclusão, isto é, o argumento é dedutivo quando a conclusão é completamente derivada das premissas.
Todo ser humano têm mãe. Todos os homens são humanos.
O argumento será indutivo quando suas premissas não fornecerem o apoio completo para ratificar as conclusões.
Exemplo: O Flamengo é um bom time de futebol. O Palmeiras é um bom time de futebol. O Vasco é um bom time de futebol. O Cruzeiro é um bom time de futebol.
Portanto nos argumentos indutivos a conclusão possui informações que ultrapassam as fornecidas nas premissas. Sendo assim, não se aplica, então, a definição de argumentos válidos ou não válidos para argumentos indutivos.
Vimos então que a noção de argumentos válidos ou não válidos aplica-se apenas aos argumentos dedutivos, e também que a validade depende apenas da forma do argumento e não dos respectivos valores verdades das premissas. Vimos também que não podemos ter um argumento válido com premissas verdadeiras e conclusão falsa. A seguir exemplificaremos alguns argumentos dedutivos válidos importantes.
Se José for reprovado no concurso, então será demitido do serviço. José foi reprovado no concurso.
∴José será demitido do serviço.
ou pq p
Outro argumento dedutivo válido é a "negação do conseqüente" (também conhecido como modus tollens).
Obs.:Vimos nas páginas anteriores que p⇒q é equivalente a q ⇒p. Esta equivalência é chamada de contra-positiva.
"Se ele me ama, então casa comigo" é equivalente a "Se ele não casa comigo, então ele não me ama".
Então vejamos o exemplo do modus tollens. •Se aumentamos os meios de pagamentos, então haverá inflação.
•Não há inflação
Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira: •Se p então q.
ou p ⇒q q
João se inscreveu no concurso de MS, porém não gostaria de sair de São Paulo, e seus colegas de trabalho estão torcendo por ele.
Eis o dilema de João: •Ou João passa ou não passa no concurso.
–Se João passar no concurso vai ter que ir embora de São Paulo. –Se João não passar no concurso ficará com vergonha diante dos colegas de trabalho.
∴Ou joão vai embora de São Paulo ou João ficará com vergonha dos Colegas de trabalho.
Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira: ou p ou q •Se p, então r
•Se q, então s
∴ou r ou s ou( p ∧q )∨( q ∧p ) p ⇒r
∴( r ∧s )∨( r ∧s )
Todos os mamíferos são mortais.( V ) Todos os gatos são mortais.( V )
∴Todos os gatos são mamíferos.( V )
Todos os A são B Todos os C são B
Podemos fácilmente mostrar que este argumento é não-válido, pois as premissas não sustentam a conclusão, e veremos então que podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa, nesta forma, bastando substituir A por mamífero, B por mortais e C por cobra.
Todos os mamíferos são mortais.( V ) Todos os as cobras são mortais.( V )
∴Todas as cobras são mamiferas.( F )
Com as premissas verdadeiras e a conclusão falsa nunca pode ocorrer que o argumento seja válido, então este argumento é não-válido, chamaremos os argumentos não-válidos de falácias.
O primeiro caso de argumento dedutivo não-válido que veremos é o que chamamos de "falácia da afirmação do consequente". Por exemplo:
Se ele me ama então ele casa comigo. Ele casa comigo.
∴Ele me ama.
Se p então q q ou pq q
Outra falácia que ocorre com freqüência é a conhecida por "falácia da negação do antecedente". Exemplo: