Penerapan Metode Penalized Spline untuk  Small Area Estimation Pendekatan Nonparametrik   
Makalah Skripsi – Program Studi D-IV Komputasi Statistik Penerapan Metode Penalized Spline untuk Small Area Estimation Pendekatan Nonparametrik Studi Kasus Pengeluaran Rata-rata Perkapita Daerah Istimewa Yogyakarta 2019 Hairia Muharimma ( 221709726 , 4SD1 ) Dosen Pembimbing : Dr. Azka Ubaidillah , SST , M.Si Ringkasan— BPS lebih mengandalkan survei daripada sensus dalam pengumpulan data. Pada beberapa kondisi , survei memiliki kelemahan dimana saat ukuran sampel kecil , maka pendugaan yang baik tidak bisa diperoleh. SAE menjadi solusi untuk mendapatkan pendugaan yang baik dengan menambah informasi berupa variabel penyerta dari data domain besar tanpa harus menambah ukuran sampel. SAE umumnya menggunakan pemodelan parametrik , namun pemodelan menjadi kurang fleksibel dalam menyesuaikan dengan pola data hasil survei yang mungkin saja tidak mirip sama sekali dengan distribusi formal yang ada. Sehingga pendekatan nonparametrik menjadi pilihan alternatif. Salah satu SAE pendekatan nonparametrik yang sering digunakan adalah dengan metode Penalized Spline. Untuk memudahkan analisis , penelitian ini akan melakukan pembuatan function dengan R untuk mendapatkan nilai penduga dan mse dari metode Penalized Spline pendekatan SAE nonparametrik. Hasil yang didapat adalah hasil estimasi langsung dan estimasi tidak langsung menggunakan EBLUP Fay Herriot dan Regresi Penalized Spline pada data pengeluaran rata-rata perkapita Daerah Istimewa Yogyakarta 2019 yang modelnya sudah bekerja cukup baik. Kata Kunci— SAE Nonparametrik , Penalized Spline I. LATAR BELAKANG Pusat ( BPS ) Badan adalah Statistik lembaga nonkementrian yang mempunyai tugas menyediakan informasi statistik yang berkualitas bagi pengguna data. Kegiatan utama BPS adalah mengumpulkan , memproses , menganalisa , dan menyebarluaskan data statistik. Pengumpulan data ini dilakukan dengan mengadakan kegiatan sensus dan survei. Selama ini , BPS lebih mengandalkan survei daripada sensus karena keunggulannya yaitu lebih efisien dari segi biaya , waktu , dan sumber daya serta memuat informasi yang lebih detail. Walaupun memiliki beberapa keunggulan , survei pun juga memiliki kekurangan apabila ukuran sampel yang digunakan tidak cukup. Ketika ukuran sampel tidak cukup maka diperlukan metode untuk meningkatkan efektivitas ukuran sampel. Hal ini yang menjadikan peran Small Area Estimation penting dalam mengatasi kekurangan survei ini. Salah satu data yang sering mengaplikasikan peran SAE adalah data pengeluaran perkapita. Di Indonesia , data pengeluaran perkapita diperoleh dari Survei Sosial Ekonomi Nasional ( Susenas ) . Susenas dirancang oleh Badan Pusat Statistik ( BPS ) untuk menduga parameter populasi pada wilayah nasional dan regional ( provinsi , kabupaten / kota ) dan tidak dirancang untuk menduga parameter populasi pada area kecil seperti kecamatan atau desa. Selain itu , pendugaan parameternya didasarkan pada rancangan atau dikatakan sebagai pendugaan langsung. Untuk pendugaan parameter pada wilayah kecil , umumnya jumlah sampel kurang mencukupi langsung sehingga akan untuk melakukan pendugaan menghasilkan presisi ( sampling error ) yang besar. Salah satu upaya yang dapat dilakukan untuk memperoleh pendugaan langsung terhadap pengeluaran perkapita rumah tangga pada area kecil dengan presisi yang memadai adalah dengan menambah jumlah sampel Susenas. Akan tetapi , hal ini sulit dilakukan karena memerlukan biaya yang besar. Untuk menangani permasalahan ini , data Susenas yang ada dapat dioptimalkan dengan melakukan Pendugaan Area Kecil ( Small Area Estimation ) . Small Area Estimation ( SAE ) merupakan suatu teknik statistika untuk menduga parameter-parameter subpopulasi ini yang ukuran sampelnya kecil. Teknik pendugaan memanfaatkan data dari domain besar ( seperti data sensus , data susenas ) untuk menduga variabel yang menjadi perhatian pada domain yang lebih kecil. Pendugaan sederhana area kecil yang didasarkan pada penerapan model desain penarikan contoh ( design-based ) disebut sebagai pendugaan langsung ( direct- estimation ) . Pendugaan langsung tidak mampu memberikan ketelitian yang cukup bila ukuran sampel dalam area kecil yang menjadi perhatian sedikit / berukuran kecil , sehingga statistik yang dihasilkan akan memiliki varian yang besar atau bahkan pendugaan tidak dapat dilakukan karena tidak terwakili dalam survei [ 1 ] . SAE umumnya menggunakan pemodelan parametrik untuk menghubungkan statistik area kecil dengan variabel- variabel pendukungnya. Pemodelan ini kurang fleksibel dalam menyesuaikan dengan pola data hasil survei yang mungkin saja tidak mirip sama sekali dengan distribusi formal yang ada sehingga pendekatan nonparametrik menjadi pilihan alternatif [ 2 ] . Peneliti akan mencoba menggunakan pemodelan nonparametrik untuk mengatasi masalah ini yaitu dengan menggunakan metode Penalized Spline. Alasan dari pemilihan metode Penalized Spline ini karena pemodelannya umum digunakan terutama untuk menerapkan pola-pola data tersembunyi yang mungkin saja tidak terlihat 1 / 8 yang umum adalah digunakan jika menggunakan metode regresi yang lain. Lalu pada SAE , pendekatan dengan mengungkapkan hubungan antara variabel yang diamati dan variabel penyerta sebagai model linear yang dilengkapi dengan efek acak untuk area kecil. Baik model estimasi Penalized Spline dan SAE dapat dipandang sebagai random effects models , maka wajar untuk mencoba menggabungkan keduanya ke dalam kerangka SAE nonparametrik berdasarkan regresi model campuran linier. II. TUJUAN PENELITIAN Berdasarkan rumusan masalah , tujuan dilakukannya penelitian ini adalah : 1. Memperoleh estimator parameter dari model SAE berbasis area menggunakan pendekatan parametrik EBLUP FH dan nonparametrik Penalized Spline. 2. Menduga nilai pengeluaran rata-rata perkapita kecamatan di Provinsi DIY berdasarkan model SAE berbasis area menggunakan pendekatan parametrik EBLUP FH dan pendekatan nonparametrik Penalized Spline. 3. Memperoleh nilai estimasi mean squared error hasil pendugaan pengeluaran rata-rata perkapita di Provinsi DIY. III. PENELITIAN TERKAIT Berikut merupakan penelitian terkait yang digunakan sebagai studi literatur pada penelitian ini. TABEL I TABEL LITERATUR No Judul 1 Pemodelan Kemiskinan di Provinsi Bengkulu Menggunakan Small Area Estimation dengan Pendekatan Semiparametrik Penalized Spline Penulis , Publikasi Tertulis I Sriliana , E Sunandi , U Rafflesia. Jurnal MIPA 40 ( 2 ) ( 2017 ) : 134-140 SAE umumnya menggunakan pemodelan parametrik untuk menghubungkan statistik area kecil dengan variabel- variabel pendukungnya. Pemodelan ini kurang fleksibel dalam menyesuaikan dengan pola data hasil survei yang mungkin saja tidak mirip sama sekali dengan distribusi formal yang ada sehingga pendekatan nonparametrik menjadi alternatif pilihan [ 135 ] 2 Theory for Penalized Spline regression 3 Nonparametric Small Area Estimation Using Penalized Spline Regression Peter Hall , J.D.Opsomer. Biometrika ( 2005 ) , 92 , 1 , pp. 105-118 J.D. , Opsomer , G. , Claeskens. Rannali , M.G. , Kauermann. G. , dan Breidt. F.J. Journal the Royal Statistical Society , Series B 70 ( 2008 ) .:265-286 of Penalized Spline merupakan satu pendekatan smoothing yang popular karena kesederhanaannya dan fleksibilitasnya [ 105 ] meskipun regresi Penalized Spline paling sering dirujuk sebagai metode nonparametrik , regresi itu benar-benar mewakili kelas metode parametrik yang fleksibel berdasarkan model lnear. [ 266 ] Makalah Skripsi – Program Studi D-IV Komputasi Statistik 4 Prediksi Terbaik Empirik untuk Model Transformasi Logaritma di Dalam Pendugaan Area Kecil dengan Penerapan Pada Data Susenas 5. An Alternative Procedure to Produce a P- Spline Small Area Estimation Model Based on Partial Residual Plot and Significance Test of Spline Term Anang Kurnia. Disertasi ( 2009 ) :1- 127 Taly Purwa , Journal of Physics : Conference Series ( 2021 ) :1-10 Pendugaan area kecil adalah suatu metode untuk menduga parameter pada suatu area yang relatif kecil dalam percontohan survei dengan memanfaatkan informasi dari luar area , dari dalam area itu sendiri , dan dari luar survei. [ 23 ] Dalam beberapa kasus , asumsi lnearitas tidak tidak selalu berlaku atau bentuk fungsional antara variabel penyerta dan variabel langsung tidak dapat ditentukan dan mengarah ke model SAE yang salah sehingga estimator yang dihasilkan akan bias. [ 1 ] Penelitian terkait tersebut menjadi dasar dalam penggunaan Penalized Spline sebagai metode untuk mengestimasi nilai dugaan dengan pendekatan SAE nonparametrik. A. Landasan Teori IV. METODE PENELITIAN 1. Small Area Estimation Small Area Estimation atau Pendugaan area kecil adalah suatu metode untuk menduga parameter pada suatu area yang relatif kecil dalam percontohan survei dengan memanfaatkan informasi dari luar area , dari dalam area itu sendiri , dan dari luar survei [ 1 ] . Terdapat dua ide utama yang digunakan dalam mengembangkan metode SAE , yaitu : ( 1 ) model pengaruh tetap dengan asumsi bahwa keragaman di dalam area kecil peubah yang menjadi perhatian dapat diterangkan seluruhnya dengan hubungan keragaman yang bersesuaian pada informasi tambahan ; ( 2 ) model pengaruh acak area kecil dengan asumsi keragaman spesifik area kecil tidak dapat diterangkan oleh informasi tambahan. Pengembangan metode untuk model pengaruh acak dapat dimanfaatkan untuk mencapai akurasi dalam area kecil. Gabungan dari dua asumsi tersebut membentuk model lnear campuran. Salah satu sifat menarik dari model lnear campuran adalah kemampuannya dalam menduga kombinasi lnear dari pengaruh tetap dan pengaruh acak. Persamaan model liner campuran adalah : 𝐲 = 𝐗𝛃 + 𝐃𝐮 + 𝛆 ( 1 ) Adapun model berbasis area ialah model yang didasarkan pada ketersediaan data pendukung terdapat untuk level area tertentu. Model untuk mendapatkan penduga langsung ( 𝑦𝑖̂ ) dapat ditulis sebagai berikut 𝐲̂𝐄𝐁𝐋𝐔𝐏 = 𝐗𝛃̂ + 𝐃𝐮̂ 2 / 8 Makalah Skripsi – Program Studi D-IV Komputasi Statistik 𝐲̂𝐄𝐁𝐋𝐔𝐏 = 𝐗𝛃̂ + 𝐃𝐆̂𝐮𝐃′𝐕̂ −𝟏 ( 𝐲 − 𝐗𝛃̂ ) dimana 𝜆𝛾 adalah parameter penalti dan diperlakukan sebagai parameter yang tidak diketahui. Sedangkan 𝛾 𝑖 = 1,2 , … . 𝑡 diperlakukan sebagai vektor efek random dalam model lnear campuran. Dalam notasi matriks , persamaan ( 8 ) dapat ditulis sebagai berikut ( 2 ) dimana 𝛃̂ = ( 𝐗′𝐕̂−𝟏𝐗 ) −𝟏𝐗′𝐕̂ −𝟏𝐲 𝐕̂ = 𝐃𝐆̂𝐮𝐃′ + 𝐆̂𝛆 ( 3 ) ( 4 ) 𝒚𝒊 adalah penduga EBLUP Fay Herriot , 𝑥𝑖 adalah variabel penyerta , 𝛽 adalah koefisien regresi , 𝑑𝑖 adalah konstanta efek random , 𝑢𝑖 adalah pengaruh acak area , dan 𝜀𝑖 adalah sampling error. 2. Regresi Penalized Spline Dalam regresi spline penting untuk memperhatikan titik- titik knot data yang nanti akan digunakan untuk memperoleh model matematis yang optimal. Namun hal ini membutuhkan waktu lama dan jika menggunakan software maka akan memerlukan memori yang besar. Penggunaan Penalized Spline bisa mengatasi masalah ini karena knot terletak pada titik-titik kuantil dari nilai variabel prediktor. Model dari Penalized Spline menggunakan fungsi basis polinomial tersegmen ( truncated polynomial ) yang dapat dilihat pada persamaan ( 5 ) . Persamaan model sederhana menurut [ 3 ] 𝑦𝑖 = 𝑚0 ( 𝑥𝑖 ) + 𝜀𝑖 ; 𝑖 = 1 , . , 𝑡 ( 5 ) Model regresi pada area level dapat dideskripsikan sebagai berikut. Misalkan 𝑦 adalah variabel yang diamati pada area ke- 2 ) dan 𝑚0 ( 𝑥𝑖 ) berupa fungsi yang i dimana 𝜀𝑖 iid ∼ N ( 0 , 𝜎𝜀 belum diketahui , tapi fungsi ini dapat kita estimasi dengan menggunakan Penalized Spline dengan pendekatan cukup baik oleh persamaan ( 2 ) , 𝑚0 ( 𝑥 ; 𝛽 , 𝛾 ) = 𝛽0 + 𝛽1𝑥 + ⋯ + 𝛽𝑝𝑥𝑝 + ∑ 𝛾𝑙 ( 𝑝 , 𝑥 − 𝑘𝑙 ) + dengan fungsi truncated : 𝑙=1 𝐿 ( 𝑥 − 𝑘𝑙 ) + 𝑝 = { ( 𝑥 − 𝑘𝑙 ) 𝑝 ; 𝑥 − 𝑘𝑙 ≥ 0 0 ; 𝑥 − 𝑘𝑙 < 0 ( 6 ) ( 7 ) adalah p adalah derajat dari Spline , 𝑥 adalah nilai yang diketahui , { 𝑘1 , … . . , 𝑘𝐿 } knot , 𝛽 = kumpulan { 𝛽0 , 𝛽1 , … , 𝛽𝑝 } ′ dan 𝛾 = ( 𝛾1 , … , 𝛾𝑝 ) ′ masing-masing adalah koefisien regresi dari parameter dan bagian Penalized Spline 2 ) , dari model. L adalah jumlah knot Spline dan 𝛾𝑙 𝑖𝑖𝑑 ∼ ( 0 , 𝜎𝛾 ( l=1 , … , L ) dikenal dengan menyebarkan knot cukup pada rentang 𝑥 dan L yang cukup luas. fixed Model Penalized Spline diperoleh dengan meminimumkan fungsi penalized least square , yaitu fungsi pendugaan yang menggabungkan antara fungsi least square dan kemulusan kurva ( smooth ) , berikut persamaannya : 𝑚 𝑃𝐿𝑆 = ∑ { 𝑦𝑖 − 𝑚 ( 𝑥𝑖 ; 𝛽 , 𝛾 ) } 2 + 𝜆𝛾𝛾′𝛾 𝑖=1 𝑖 = 1,2 , … . 𝑡 ( 8 ) 𝐏𝐋𝐒 = ( 𝐲 − 𝐗𝛃 − 𝐙𝛄 ) 𝟐 + λγ𝛄′𝛄 ( 9 ) Kemudian dimisalkan C = [ X , Z ] dan 𝛉 = [ persamaan ( 9 ) dapat ditulis sebagai berikut : 𝐏𝐋𝐒 = ( 𝐲 − 𝐂𝛉 ) 𝟐 + λγ𝛉′𝐃𝛉 𝛃 𝛄 ] , maka ( 10 ) dengan D merupakan matriks penalti. Suku pertama pada persamaan ( 10 ) adalah jumlah kuadrat galat dan suku keduanya adalah penalti. Pada persamaan ( 10 ) kita juga dapat mencari nilai penduga Penalized Spline yaitu : 𝛉̂ = ( 𝐂′𝐂 + λγ𝐃 ) −𝟏 𝐂′𝐲 ( 11 ) Adapun untuk bentuk area kecil pada model linier campuran menggunakan Penalized Spline 𝐘 = 𝐗𝛃 + 𝐙𝛄 + 𝐃𝐮 + 𝛆 ( 12 ) Didefinisikan 𝐘 = ( 𝐲𝟏 , … , 𝐲𝐧 ) ′ , 𝐃 = ( 𝐝𝟏 , … , 𝐝𝐧 ) ′ , 𝐗 = 1 𝑥1 ⋮ ⋮ 1 𝑥𝑛 [ 𝑝 … 𝑥1 ⋮ ⋮ 𝑝 ] … 𝑥𝑛 , ( 𝑥1 − 𝑘𝑙 ) + ⋮ ⋮ ( 𝑥𝑛 − 𝑘𝑙 ) + [ 𝑝 … 𝑝 … 𝑝 … ( 𝑥1 − 𝑘𝐾 ) + ⋮ ⋮ 𝑝 ] … ( 𝑥1 − 𝑘𝐾 ) + 𝐙 = dimana 𝛄~ ( 𝟎 , 𝚺𝛄 ) dengan 𝚺𝛄 = 𝛔𝛄 𝐮~ ( 𝟎 , 𝚺𝐮 ) dengan 𝚺𝐮 = 𝛔𝐮 𝛆~ ( 𝟎 , 𝚺𝛆 ) dengan 𝚺𝛆 = 𝛔𝛆 𝟐𝐈𝐊 𝟐𝐈𝐓 𝟐𝐈𝐧 Oleh karenanya , jika komponen ragam 𝜎𝛾 2 2 , dan 𝜎𝜀 tidak diketahui maka nilai penduga EBLUP dengan Penalized Spline menggunakan persamaan berikut , 2 , 𝜎𝑢 𝐲̂𝐢 = 𝐱̅𝐢𝛃̂ + 𝐳̅𝐢𝛄̂ + 𝐞𝐢𝐮̂ Dimana nilai dari tiap-tiap estimasinya didapat dengan ( 13 ) persamaan berikut 𝛃̂ = ( 𝐗`𝐕−𝟏𝐗 ) −𝟏𝐗`𝐕−𝟏𝐘 𝛄̂ = 𝚺𝛄𝐙`𝐕−𝟏 ( 𝐘 − 𝐗𝛃̂ ) 𝐮̂ = 𝚺𝐮𝐃′𝐕−𝟏 ( 𝐘 − 𝐗𝛃̂ ) ( 14 ) ( 15 ) ( 16 ) dan V adalah varians dari y dimana 𝐕 = 𝐙𝚺𝛄𝐙` + 𝐃𝚺𝐮𝐃′ + 𝚺𝛆 dimana 𝐙𝛄 dianggap sebagai random efek dan 𝑫𝒖 dianggap sebagai random efek area kecil. 3. Pemilihan Parameter Smoothing Optimal 3 / 8 Nilai 𝛉̂ bergantung pada parameter smoothing 𝜆. Jika nilai terlalu besar akan menghasilkan bentuk kurva regresi yang terlalu kecil akan sangat halus. Sebaliknya , menghasilkan bentuk kurva regresi yang sangat kasar sehingga perlu dioptimalkan. Untuk mengoptimalkannya dapat menggunakan Generalized Cross Validation ( GCV ) yang didefinisikan sebagai berikut : jika nilai 𝐺𝐶𝑉 = 𝑀𝑆𝐸 ( 𝜆 ) ( 1− 1 𝑡𝑟 ( 𝑺𝝀 ) ) 𝑛 2 dengan 𝑀𝑆𝐸 ( 𝜆 ) = 1 𝑛 ∑ ( 𝑦𝑖 − 𝑦̂𝑖 𝑛 𝑖=1 2 ) ( 17 ) ( 18 ) 𝐒𝛌 = 𝐂 ( 𝐂′𝐂 + λ𝐃 ) −1C′ ( 19 ) 4. Pemilihan Jumlah Knot Jumlah knot merupakan banyaknya titik knot atau banyaknya titik dimana terjadi perubahan perilaku fungsi pada interval yang berlainan. Dalam Penalized Spline , knot terletak pada sampel kuantil dari nilai unik ( tunggal ) variabel penyerta. Penentuan jumlah knot tidak menjadi terlalu krusial karena telah dikontrol oleh parameter 𝜆 sehingga pemulusan penentuannya dapat mengikuti sibjektivitas peneliti atau menggunakan metode fixed selection yaitu 𝐾 = min ( 1 4 × 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑥 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑢𝑛𝑖𝑘 , 35 ) ( 20 ) Penelitian ini adalah sebagai berikut : 1. Variabel respon Variabel respon yang digunakan dalam penelitian ini adalah pengeluaran perkapita. Pengeluaran perkapita diperoleh dengan cara pengeluaran rumah tangga dibagi dengan jumlah anggota rumah tangganya. 2. Variabel penyerta Variabel penyerta yang digunakan pada penelitian ini adalah kepadatan penduduk karena berdasarkan penelitian terdahulu [ 2 ] diketahui bahwa variabel yang paling berpengaruh pada pengeluaran perkapita adalah kepadatan tidak penduduk. Variabel didesiminasikan pada data Podes 2018 sehingga peneliti menggunakan publikasi dari BPS untuk mendapatkan nilai dari variabel Kepadatan penduduk dengan cara membagi jumlah penduduk perkecamatan dengan luas wilayah ( km2 ) dari tiap-tiap kecamatan yang ada di Provinsi DIY. kepadatan penduduk Makalah Skripsi – Program Studi D-IV Komputasi Statistik 3. Melakukan eksplorasi data dengan cara membuat statistik variabel variabel respon dan deskriptif untuk penyerta / prediktor. 4. Melihat korelasi antarvariabel X dan Y. 5. Membuat plot untuk variabel X dan Y untuk mengetahui persebaran data membentuk pola linier atau tidak. Selanjutnya metode dan tahapan penelitian yang akan dilakukan untuk mencapai tujuan penelitian adalah sebagai berikut : 1. Menduga pengeluaran perkapita untuk masing-masing kecamatan di Provinsi DIY menggunakan estimasi Regresi Penalized Spline dengan variabel penyerta yang digunakan adalah kepadatan penduduk dengan langkah-langkah diantaranya : i. Menentukan orde ( linier , kuadratik , atau kubik ) dan titik knot yang menghasilkan GCV minimum. ii. Menyatakan bentuk area kecil mengikuti suatu fungsi P-Spline berbasis polinomial terputus. 𝐘 = 𝐗𝛃 + 𝐙𝛄 + 𝐃𝐮 + 𝛆 iii. Menganggap parameter 𝐗𝛃 sebagai sebagai pengaruh tetap ( fixed effect ) dan 𝐙𝛄 sebagai pengaruh acak dan u sebagai pengaruh acak area kecil. iv. Mengestimasi parameter regresi dalam kerangka kerja model linier campuran. v. Mengestimasi 𝛽 , 𝛾 , dan 𝑢 menggunakan metode REML. vi. Menduga pengeluaran perkapita rumah tangga untuk masing-masing kecamatan di Provinsi DIY. 2. Menghitung nilai mean square error ( MSE ) hasil pendugaan pengeluaran rata-rata perkapita menggunakan pendekatan parametrik bootstrap untuk masing-masing kecamatan dengan metode EBLUP FH dan Regresi Penalized Spline. 3. Menghitung nilai Relative Standar Error ( RSE ) untuk masing masing kecamatan dengan metode EBLUP FH dan Regresi Penalized Spline. 4. Membandingkan nilai estimasi , MSE , dan RSE dari ketiga metode yaitu estimasi langsung , EBLUP FH , dan Regresi Penalized Spline. C. Diagram Alir Penelitian Diagram alir dalam penelitian ini diperlihatkan dalam gambar diagram alir berikut : B. Metode Analisis Data Langkah analisis model pendugaan area kecil menggunakan Regresi Penalized Spline Pre-Processing data yang akan diolah sebagai berikut : 1. Menyiapkan data pengeluaran rata-rata perkapita Provinsi Daerah Istimewa Yogyakarta 2019 dari Susenas ( Y ) dan data kepadatan penduduk dari Podes 2018 publikasi Yogyakarta dalam Angka ( X ) . 2. Menggabungkan kedua data menjadi satu set data. Gambar 1. Diagram alir penelitian V. KERANGKA PIKIR Penelitian tentang SAE telah banyak dilakukan untuk berbagai macam kasus. Fokus pada penelitian ini adalah 4 / 8 perbandingan nilai yang dihasilkan oleh penduga EBLUP Fay Herriot dan EBLUP Penalized Spline. Awalnya , data yang digunakan adalah data sampel dimana dilakukan estimasi langsung sehingga diperoleh hasil estimasi , MSE , dan RSE. Namun estimasi wilayah yang lebih kecil berpotensi mengalami kekurangan data dan menyebabkan error yang besar. Data dari variabel penyerta menjadi pilihan untuk melakukan estimasi tidak langsung melalui SAE yang menjadi solusi keterbatasan data dengan meminjam informasi dari wilayah yang bersesuaian. Estimasi tidak langsung ini bisa didekati dengan SAE pendekatan parametrik dan SAE pendekatan nonparametrik. Salah satu metode yang digunakan SAE pendekatan parametrik untuk menduga nilai estimasi ialah metode EBLUP Fay Herriot. Adapun untuk pendekatan nonparametrik , peneliti menggunakan metode Penalized Spline. Penalized Spline merupakan satu pendekatan smoothing yang populer karena kesederhanaannya dan fleksibilitasnya [ 4 ] . Penalized Spline juga mempunyai kelebihan dibandingkan dengan metode spline lainnya yaitu dapat mengatasi model yang overfitting jika jumlah knot yang digunakan terlampau banyak dengan menambahkan penalti / kendala pada parameter spline dengan tujuan untuk menghindari kelebihan knot [ 4 ] . Dari kedua estimasi tidak langsung ini akan dibandingkan hasil estimasi mana yang lebih baik pada data. Berikut kerangka pikir penelitian yang disajikan pada Gambar 2. Gambar 2. Kerangka Pikir Penelitian Makalah Skripsi – Program Studi D-IV Komputasi Statistik VI. HASIL DAN PEMBAHASAN Berdasarkan hasil yang didapat dari data Susenas tahun 2019 , data estimasi langsung dari rata-rata pengeluaran perkapita di Provinsi DIY meliputi data yang tersedia pada 77 dari 78 kecamatan. Hal ini dikarenakan ada satu kecamatan yang tidak ada yaitu kecamatan Pajang. Oleh karenanya estimasi tidak langsung yang dilakukan menggunakan SAE EBLUP Fay Herriot dan Regresi Penalized Spline dengan 77 kecamatan 1. Eksplorasi Data Ringkasan hasil pendugaan pengeluaran per kapita disajikan pada Tabel II. TABEL II TABEL RINGKASAN RATA-RATA PENGELUARAN PERKAPITA DAN KEPADATAN PENDUDUK 1st Qu. Median 1018452 792652 Min. 533162 3rd Qu. 1565310 Max 2686485 Mean 11843 91 Rata-rata Pengeluaran Perkapita Kepadatan Penduduk 278,2 701,5 1389,1 3887,9 3125,2 22703,7 Rata-rata pengeluaran perkapita tertinggi tahun 2019 di Provinsi DIY terdapat pada kecamatan Mlati yaitu sebesar Rp 2.686.485 dan untuk rata-rata pengeluaran per kapita terendah terdapat pada kecamatan Purwosari yaitu sebesar Rp533.162. Adapun kepadatan penduduk tertinggi terletak pada kecamatan Girisubo dan kepadatan penduduk terendah pada kecamatan Ngampilan. Kemudian akan disajikan scatterplot antara rata-rata pengeluaran perkapita dengan kepadatan penduduk di Provinsi DIY tahun 2019 pada Gambar 3. Gambar 3. Scatterplot Rata-rata Pengeluaran Perkapita dan Kepadatan Penduduk Ditunjukkan scatterplot antara rata-rata pengeluaran perkapita ( y ) dengan kepadatan penduduk ( 𝑥 ) . Pada gambar , pola hubungan yang terbentuk tidak mengikuti pola kelinieran atau mempunyai pola data tertentu dimana perilaku pola data ini dapat berubah-ubah. 5 / 8 2. Statistik Deskriptif Pada tabel dibawah ditunjukkan ringkasan statistik deskriptif perbandingan hasil pendugaan menggunakan estimasi langsung , EBLUP Fay Herriot , dan Regresi Penalized Spline yang melibatkan 77 kecamatan. TABEL III TABEL RINGKASAN HASIL ESTIMASI Min. 533.2 1st Qu. 792.7 Median Mean 3rd Qu. Max 1018.5 1184.4 1565.3 2686.5 534.6 801.4 1016.6 1133.8 1433.9 2671.5 593.5 858.7 989.0 1184.4 1615.4 2386.0 Estimasi Langsung EBLUP Fay Herriot Regresi Penalized Spline Lalu berikutnya ditampilkan pula ringkasan statistik deskriptif perbandingan MSE dan RSE menggunakan estimasi langsung , EBLUP Fay Herriot , dan Regresi Penalized Spline. TABEL IV TABEL RINGKASAN HASIL MSE Median Mean 1st Qu. 4550 11557 20253 3rd Qu. 28465 Max 316365 4411 10700 20127 23742 95721 Min. 0 0 18204 23035 24801 25028 27142 32678 TABEL V TABEL RINGKASAN HASIL RSE Median Mean Min. 3rd Qu. Max 10.413 11.698 16.611 35.554 1st Qu. 6.754 0 0 2.127 3.261 3.503 4.505 8.886 3.054 3.981 4.832 5.287 1615.4 7.018 Estimasi Langsung EBLUP Fay Herriot Regresi Penalized Spline Estimasi Langsung EBLUP Fay Herriot Regresi Penalized Spline 3. Orde dan Knot berdasarkan Nilai GCV Optimum Penentuan dari orde dan knot terbaik dilihat dari nilai GCV optimum ( menghasilkan nilai yang paling kecil ) . Berikut adalah sepuluh kombinasi orde dan knot yang menghasilkan nilai GCV terkecil. Makalah Skripsi – Program Studi D-IV Komputasi Statistik TABEL VI TABEL ORDE , KNOT , DAN GCV OPTIMUM Orde 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Jumlah Knot 12 16 8 19 17 13 18 15 14 9 15 GCV 104807.5 105725.5 106386.0 108260.9 108713.4 109615.7 115930.4 121450.4 122219.7 123550.5 121450.4 Dari tabel diatas didapat kombinasi nilai orde dan knot terbaik yaitu dengan orde 1 ( spline linier ) dan jumlah knot 12. Adapun nilai-nilai pada lokasi knotnya yaitu 412.8844 , 523.7268 , 638.1271 , 811.2231 , 978.6651 , 1274.5399 , 1588.6258 , 1978.6218 , 2415.8043 , 3237.9740 , 11029.6698 , dan 15728.4478. 4. Nilai Estimasi Parameter dan Model yang Regresi P-Spline Setelah Jumlah dan lokasi knot diperoleh selanjutnya adalah mengestimasi parameter β dengan memaksimumkan fungsi likelihood atau log likelihood-nya dan mencari prediktor 𝛄̂ dan 𝒖̂ yang merupakan EBLUP ( Empirical Best Linier Unbiased Predictors ) dari 𝛄 dan u. sebagai pengaruh acak. berikut disajikan nilai estimasi β untuk model P-Spline terbaik ( orde satu ) TABEL VII TABEL ESTIMASI EFEK TETAP PADA REGRESI P-SPLINE Estimasi 622.7532 0.3419 Parameter 𝛽0 𝛽1 Sehingga diperoleh estimasi model sebagai berikut : 𝐘 = 622.7532 + 0.3419𝐗 + 𝛄𝟏 ( 𝐗 − 412.8844 ) + 𝛄𝟐 ( 𝐗 − 523.7268 ) + 𝛄𝟑 ( 𝐗 − 638.1271 ) + 𝛄𝟒 ( 𝐗 − 811.2231 ) + 𝛄𝟓 ( 𝐗 − 978.6651 ) + 𝛄𝟔 ( 𝐗 − 1274.5399 ) + 𝛄𝟕 ( 𝐗 − 1588.6258 ) + 𝛄𝟖 ( 𝐗 − 1978.6218 ) + 𝛄𝟗 ( 𝐗 − 2415.8043 ) + 𝛄𝟏𝟎 ( 𝐗 − 3237.9740 ) + 𝛄𝟏𝟏 ( 𝐗 − 11029.6698 ) + 𝛄𝟏𝟐 ( 𝐗 − 15728.4478 ) + u Berdasarkan model P-Spline terbaik diatas , maka : a. Setiap kenaikan satu satuan x untuk x < 412.8844 akan merubah nilai y sebesar 0.3419 satuan. b. Untuk nilai x ≤ 412.8844 , setiap kenaikan satu satuan akan berpengaruh sebesar ( 0.3419 + 𝛄𝟏 ) satuan terhadap y. c. Untuk nilai 412.8844 < x ≤ 523.7268 , setiap kenaikan satu satuan x akan berpengaruh sebesar ( 0.3419 + 𝛄𝟏 ) satuan terhadap y. d. Untuk nilai 523.7268 < x ≤ 638.1271 , setiap kenaikan satu satuan x akan berpengaruh sebesar ( 0.3419 + 𝛄𝟏 + 𝛄𝟐 ) satuan terhadap y. 6 / 8 Makalah Skripsi – Program Studi D-IV Komputasi Statistik e. Untuk nilai 638.1271 < x ≤ 811.2231 , setiap kenaikan satu satuan x akan berpengaruh sebesar ( 0.3419 + 𝛄𝟏 + 𝛄𝟐 + 𝛄𝟑 ) satuan terhadap y. f. Untuk nilai 811.2231 < x ≤ 978.6651 , setiap kenaikan satu satuan x akan berpengaruh sebesar ( 0.3419 + 𝛄𝟏 + 𝛄𝟐 + 𝛄𝟑 + 𝛄𝟒 ) satuan terhadap y. g. Untuk nilai 978.6651 < x ≤ 1274.539 , setiap kenaikan satu satuan x akan berpengaruh sebesar ( 0.3419 + 𝛄𝟏 + 𝛄𝟐 + 𝛄𝟑 + 𝛄𝟒 + 𝛄𝟓 ) satuan terhadap y. h. Untuk nilai 1274.5399 < x ≤ 1588.625 , setiap kenaikan satu satuan x akan berpengaruh sebesar ( 0.3419 + 𝛄𝟏 + 𝛄𝟐 + 𝛄𝟑 + 𝛄𝟒 + 𝛄𝟓 + 𝛄𝟔 ) satuan terhadap y. i. Untuk nilai 1588.6258 < x ≤ 1978.6218 , j. Untuk nilai 1978.6218 < x ≤ 2415.8043 , setiap kenaikan satu satuan x akan berpengaruh sebesar ( 0.3419 + 𝛄𝟏 + 𝛄𝟐 + 𝛄𝟑 + 𝛄𝟒 + 𝛄𝟓 + 𝛄𝟔 + 𝛄𝟕 ) satuan terhadap y. setiap kenaikan satu satuan x akan berpengaruh sebesar ( 0.3419 + 𝛄𝟏 + 𝛄𝟐 + 𝛄𝟑 + 𝛄𝟒 + 𝛄𝟓 + 𝛄𝟔 + 𝛄𝟕 + 𝛄𝟖 ) satuan terhadap y. k. Untuk nilai 2415.8043 < x ≤ 3237.9740 , setiap kenaikan satu satuan x akan berpengaruh sebesar ( 0.3419 + 𝛄𝟏 + 𝛄𝟐 + 𝛄𝟑 + 𝛄𝟒 + 𝛄𝟓 + 𝛄𝟔 + 𝛄𝟕 + 𝛄𝟖 + 𝛄𝟗 ) satuan terhadap y. l. Untuk nilai 3237.9740 < x ≤ 11029.6698 , setiap kenaikan satu satuan x akan berpengaruh sebesar ( 0.3419 + 𝛄𝟏 + 𝛄𝟐 + 𝛄𝟑 + 𝛄𝟒 + 𝛄𝟓 + 𝛄𝟔 + 𝛄𝟕 + 𝛄𝟖 + 𝛄𝟗 + 𝛄𝟏𝟎 ) satuan terhadap y. m. Untuk nilai 11029.6698 < x ≤ 15728.4478 , setiap kenaikan satu satuan x akan berpengaruh sebesar ( 0.3419 + 𝛄𝟏 + 𝛄𝟐 + 𝛄𝟑 + 𝛄𝟒 + 𝛄𝟓 + 𝛄𝟔 + 𝛄𝟕 + 𝛄𝟖 + 𝛄𝟗 + 𝛄𝟏𝟎 + 𝛄𝟏𝟏 ) satuan terhadap y. n. Untuk nilai x > 15728.4478 , setiap kenaikan satu satuan akan x berpengaruh sebesar ( 0.3419 + 𝛄𝟏 + 𝛄𝟐 + 𝛄𝟑 + 𝛄𝟒 + 𝛄𝟓 + 𝛄𝟔 + 𝛄𝟕 + 𝛄𝟖 + 𝛄𝟗 + 𝛄𝟏𝟎 + 𝛄𝟏𝟏+𝛄𝟏𝟐 ) satuan terhadap y. 5. Perbandingan Hasil Estimasi Langsung , EBLUP Fay Herriot , dan Regresi P-Spline Hasil estimasi dari rata-rata pengeluaran perkapita di Provinsi DIY disajikan pada gambar ( 4 ) . Hasil estimasi langsung didapatkan dari data Susenas. Hasil estimasi dengan menggunakan EBLUP FH diperoleh dengan menggunakan function ‘msefh’ dari package ‘sae’. Lalu untuk estimasi dari Regresi Penalized Spline didapat dari pembuatan function di R Gambar 4. Perbandingan Hasil Estimasi Langsung dan EBLUP Fay Herriot Pada Gambar 4. terlihat bahwa hasil estimasi langsung , EBLUP Fay Herriot , dan Regresi Penalized Spline memiliki pola yang hampir sama dimana tidak menunjukkan perbedaan yang jauh dalam estimasi rata-rata pengeluaran perkapita pada ketiga metode yang digunakan. 6. Perbandingan MSE dan RSE Estimasi Langsung , EBLUP Fay Herriot , dan Regresi P-Spline Seberapa baik hasil estimasi dapat dilihat dari perbandingan nilai MSE dan RSE. Berikut merupakan MSE dari rata-rata pengeluaran perkapita di Provinsi DIY Gambar 5. Perbandingan MSE Estimasi Langsung dan EBLUP Fay Herriot Pada Gambar 5. terlihat bahwa MSE EBLUP Fay Herriot dan MSE Penalized Spline lebih rendah daripada MSE hasil estimasi langsung yang menunjukkan bahwa nilai kedua penduga tidak langsung tersebut lebih presisi daripada MSE estimasi langsung. Adapun pada nilai MSE dengan menggunakan Regresi Penalized Spline menunjukkan kurva yang lebih mulus daripada MSE dari estimasi langsung dan EBLUP FH sehingga nilai yang dihasilkan pun lebih konsisten. 7 / 8 Adapun RSE dari rata-rata pengeluaran perkapita di 3. Untuk mendapatkan nilai MSE dapat dengan pendekatan Provinsi DIY dapat dilihat pada Gambar 6. lain seperti MSE dengan metode Jacknife. Makalah Skripsi – Program Studi D-IV Komputasi Statistik DAFTAR PUSTAKA [ 1 ] A. Kurnia. Prediksi Terbaik Empirik untuk Model Transformasi Logaritma di Dalam Pendugaan Area Kecil Dengan Penerapan Pada Data Susenas. Bogor : IPB , 2009. [ 2 ] F. Apriani. Pemodelan Pengeluaran Per Kapita Menggunakan Small Area Estimation dengan Pendekatan Semiparametrik Penalized Spline. Surabaya : Institut Teknologi Sepuluh Nopember , 2017. [ 3 ] D. Ruppert , M. P. Wand , and R. J. Carroll. Semiparametric Regression. Cambridge : Cambridge University Press , 2003 [ 4 ] J.D. Opsomer , G. Claeskens , M.G. Rannali , G. Kauermann , dan F.J Breidt. Nonparametric Small Area Estimation Using Penalized Spline Regression. Journal of the Royal Statistical Society , Series B 70 , 2008 , pp. 265-286 [ 5 ] Z.W. Baskara. Pendugaan Area Kecil Menggunakan Pendekatan Penalized Spline. Surabaya : Institut Teknologi Sepuluh Nopember , 201. [ 6 ] Darsyah , Moh.Yamin , and Rochdi Wasono. Pendugaan Tingkat Kemiskinan di Kabupaten Sumenep Dengan Pendekatan SAE. Jurnal Statistik , 2013 , pp. 28-36 [ 7 ] Eubank , L. Randall , Nonparametric Regression and Spline Smoothing. New York : Marcel Dekker , Inc. 1999. [ 8 ] C. Giusti , M. Pratesi , dan N. Salvati. A Semiparametric Fay-Herriot model using Penalized Spline. Journal of The Indian Society Of Agricultural Statistics , 2012. [ 9 ] P. Hall , and J.D. Opsomer. Theory for Penalized Spline regression. Biomedika , 2005 [ 10 ] A.M. Kahar. Pendugaan Pengeluaran Per Kapita Rumah Tangga di Kabupaten Halmahera Selatan Menggunakan Unit Level Small Area Estimation dengan Metode Empirical Best Linier Unbiased Predictor Dan Penalized Spline Regression. Surabaya : Institut Teknologi Sepuluh Nopember , 2019. [ 11 ] J. N. K. Rao and I. Molina , Small Area Estimation 2nd Edition. New Jersey : John Wiley and Sons Inc , 2015. [ 12 ] D. Ruppert. Selecting the number of knots for Penalized Splines. J. Computnl Graph. Statist , pp. 735-757 , 2002 [ 13 ] P. Taly. An Alternative Procedure to Produce a P-Spline Small Area Estimation Model on Based Partial Residual Plot and Significance Tet of Spline Term. Journal of Physics Conference Series , March 2021. [ 14 ] D. Ruppert , M.P. Wand , dan R.J Carrol. Semiparametric Regression , Cambridge University Press , New York : Cambridge University Press , 2003. [ 15 ] I. Sriliana , D. Agustina & E. Sunandi. Pemetaan Kemiskinan di Kabupaten Mukomuko Menggunakan Small Area Estimation dengan Pendekatan Regresi Penalized Spline. Jurnal Matematika Integratif 12 ( 2 ) : 125-133 , 2016. [ 16 ] F Yao , dan T.C.M. Lee. On Knot Placement for Penalized Spline Regression. Journal of the Korean Statistical Society. No. 37 , pp. 259-267 , 2008. Gambar 6. Perbandingan RSE Estimasi Langsung dan EBLUP Fay Herriot Pada Gambar 6. nilai RSE EBLUP Fay Herriot dan RSE Penalized Spline lebih rendah daripada RSE estimasi langsung yang menunjukkan RSE kedua penduga tidak langsung lebih akurat daripada RSE estimasi langsung. Dilihat pula pada grafik bahwa nilai RSE sudah dinilai cukup baik karena kedua kurva baik RSE EBLUP maupun Penalized Spline berada pada rentang nilai dibawah 25 % . VII. PENUTUP Kesimpulan yang didapat berdasarkan penelitian ini diantaranya : 1. Hasil dari penelitian ini adalah sudah didapatkan dugaan dengan estimasi langsung dan estimasi tidak langsung menggunakan SAE parametrik metode EBLUP Fay Herriot dan SAE nonparametrik Penalized Spline. 2. Kedua penduga tidak langsung memberikan hasil yang lebih baik pada pendugaan rata-rata perkapita tiap kecamatan di Provinsi DIY daripada penduga langsung. Oleh karena itu , kedepannya Regresi Penalized Spline dapat digunakan sebagai pilihan alternatif untuk mengestimasi nilai pada area kecil terutama untuk data yang berpola non-linier 3. MSE yang didapatkan dari penerapan Regresi Penalized Spline menghasilkan nilai yang lebih smooth dibandingkan MSE yang dihasilkan oleh penduga langsung ataupun EBLUP FH Adapun saran yang dapat diberikan untuk penelitian ini yaitu : 1. Penelitian selanjutnya dapat menggunakan metode Penalized Spline dengan variabel bantu lebih dari satu ( multivariabel ) . 2. Dapat menggunakan menggunakan basis fungsi spline yang lebih konsisten untuk data numerik seperti B-Spline ataupun menggunakan basis radial untuk menduga nilai area kecil pada data spasial DAFTAR / 8
O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B-METODE O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B-METODE I-METODE I-METODE O O O O O O O B-TUJUAN I-TUJUAN I-TUJUAN I-TUJUAN I-TUJUAN I-TUJUAN I-TUJUAN I-TUJUAN I-TUJUAN I-TUJUAN I-TUJUAN I-TUJUAN I-TUJUAN I-TUJUAN I-TUJUAN I-TUJUAN I-TUJUAN I-TUJUAN B-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O
Makalah Skripsi – Program Studi D-IV Komputasi Statistik Penerapan Metode Penalized Spline untuk Small Area Estimation Pendekatan Nonparametrik Studi Kasus Pengeluaran Rata-rata Perkapita Daerah Istimewa Yogyakarta 2019 Hairia Muharimma ( 221709726 , 4SD1 ) Dosen Pembimbing : Dr. Azka Ubaidillah , SST , M.Si Ringkasan— BPS lebih mengandalkan survei daripada sensus dalam pengumpulan data. Pada beberapa kondisi , survei memiliki kelemahan dimana saat ukuran sampel kecil , maka pendugaan yang baik tidak bisa diperoleh. SAE menjadi solusi untuk mendapatkan pendugaan yang baik dengan menambah informasi berupa variabel penyerta dari data domain besar tanpa harus menambah ukuran sampel. SAE umumnya menggunakan pemodelan parametrik , namun pemodelan menjadi kurang fleksibel dalam menyesuaikan dengan pola data hasil survei yang mungkin saja tidak mirip sama sekali dengan distribusi formal yang ada. Sehingga pendekatan nonparametrik menjadi pilihan alternatif. Salah satu SAE pendekatan nonparametrik yang sering digunakan adalah dengan metode Penalized Spline. Untuk memudahkan analisis , penelitian ini akan melakukan pembuatan function dengan R untuk mendapatkan nilai penduga dan mse dari metode Penalized Spline pendekatan SAE nonparametrik. Hasil yang didapat adalah hasil estimasi langsung dan estimasi tidak langsung menggunakan EBLUP Fay Herriot dan Regresi Penalized Spline pada data pengeluaran rata-rata perkapita Daerah Istimewa Yogyakarta 2019 yang modelnya sudah bekerja cukup baik. Kata Kunci— SAE Nonparametrik , Penalized Spline
VII. PENUTUP Kesimpulan yang didapat berdasarkan penelitian ini diantaranya : 1. Hasil dari penelitian ini adalah sudah didapatkan dugaan dengan estimasi langsung dan estimasi tidak langsung menggunakan SAE parametrik metode EBLUP Fay Herriot dan SAE nonparametrik Penalized Spline. 2. Kedua penduga tidak langsung memberikan hasil yang lebih baik pada pendugaan rata-rata perkapita tiap kecamatan di Provinsi DIY daripada penduga langsung. Oleh karena itu , kedepannya Regresi Penalized Spline dapat digunakan sebagai pilihan alternatif untuk mengestimasi nilai pada area kecil terutama untuk data yang berpola non-linier 3. MSE yang didapatkan dari penerapan Regresi Penalized Spline menghasilkan nilai yang lebih smooth dibandingkan MSE yang dihasilkan oleh penduga langsung ataupun EBLUP FH Adapun saran yang dapat diberikan untuk penelitian ini yaitu : 1. Penelitian selanjutnya dapat menggunakan metode Penalized Spline dengan variabel bantu lebih dari satu ( multivariabel ) . 2. Dapat menggunakan menggunakan basis fungsi spline yang lebih konsisten untuk data numerik seperti B-Spline ataupun menggunakan basis radial untuk menduga nilai area kecil pada data spasial
dalam pengumpulan data. Pada beberapa kondisi , survei memiliki kelemahan dimana saat ukuran sampel kecil , maka pendugaan yang baik tidak bisa diperoleh. SAE menjadi solusi untuk mendapatkan pendugaan yang baik dengan menambah informasi berupa variabel penyerta dari data domain besar tanpa harus menambah ukuran sampel. SAE sama sekali dengan distribusi formal yang ada. Sehingga pendekatan nonparametrik menjadi pilihan alternatif. Salah satu SAE pendekatan nonparametrik yang sering digunakan adalah dengan metode Penalized Spline. Untuk memudahkan analisis , penelitian ini akan melakukan pembuatan function dengan R untuk mendapatkan nilai penduga dan mse dari metode Penalized Spline pendekatan SAE nonparametrik. Hasil yang didapat adalah hasil estimasi langsung dan estimasi tidak langsung menggunakan EBLUP Fay Herriot dan Regresi Penalized Spline pada data pengeluaran rata-rata perkapita Daerah Istimewa Yogyakarta 2019 yang modelnya sudah bekerja cukup baik. Kata Kunci— SAE Nonparametrik , Penalized Spline VII. PENUTUP Kesimpulan yang didapat berdasarkan penelitian ini diantaranya : 1. Hasil dari penelitian ini adalah sudah didapatkan dugaan dengan estimasi langsung dan estimasi tidak langsung menggunakan SAE parametrik metode EBLUP Fay Herriot dan SAE nonparametrik Penalized Spline. 2. Kedua penduga tidak langsung memberikan hasil yang lebih baik pada pendugaan rata-rata perkapita tiap kecamatan di Provinsi DIY daripada penduga langsung. Oleh karena itu , kedepannya Regresi Penalized Spline dapat digunakan sebagai pilihan alternatif untuk mengestimasi nilai pada area kecil terutama untuk data yang berpola non-linier 3. MSE yang didapatkan dari penerapan Regresi Penalized Spline menghasilkan nilai yang lebih smooth dibandingkan MSE yang dihasilkan oleh penduga langsung ataupun EBLUP
O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B-METODE O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B-METODE I-METODE I-METODE O O O O O O O B-TUJUAN I-TUJUAN I-TUJUAN I-TUJUAN I-TUJUAN I-TUJUAN I-TUJUAN I-TUJUAN I-TUJUAN I-TUJUAN I-TUJUAN I-TUJUAN I-TUJUAN I-TUJUAN I-TUJUAN I-TUJUAN I-TUJUAN I-TUJUAN B-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O B-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN I-TEMUAN O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O