İstanbul Teknik Üniversitesi / Fen Bilimleri Enstitüsü / Fizik Mühendisliği Anabilim Dalı
2015
A semiclassical kinetic theory of the Dirac particles
Dirac parçacıklarının yarı klasik kinetik kuramı
Eda Kılınçarslan
Özet:
Kütleli spin-1/2 parçacıkların hareketini ifade etmek için Dirac denklemi kullanılır. İkisi pozitif enerji, ikisi de negatif enerji çözümlerine ait olmak üzere Dirac denkleminin dört tane çözümü vardır. Kuantum mekaniksel olarak parçacıkların hareketi dalga paketi kurularak ifade edilmektedir. Fakat negatif enerji çözümlerinin de olması parçacık yorumunu zorlaştırır. Bu nedenle relativistik olmayan yarı klasik dinamiği, Dirac denkleminin pozitif enerji çözümlerini içeren dalga paketi oluşturarak elde edeceğim. Yarı klasik limit bazı kuantum mekaniksel etkileri daha iyi anlamak için yararlı olabilecek bir yöntemdir. Dirac denkleminde kütlesiz limite gidildiğinde kiral ya da Weyl parçacığı adı verilen parçacıkların hareketini ifade eden denklem elde edilmiş olur. Son zamanlardaki çalışmalarda, 3 + 1 boyutta, dış elektromanyetik alan nedeniyle oluşan anomali terimlerinin kiral parçacıklarının yarı klasik kinetik kuramında nasıl yerleştirilebileceği gösterilmiştir. Yüksek boyutta genelleştirilmiş hareket denklemlerinin, faz uzayı değişkenlerine bağlı çözümlerini de tam olarak veren yöntem matris değerlidir. Bu yöntemde diğerlerinden farklı olarak faz uzayı değişkenleri konum ve momentumdur, spine karşı gelen klasik bir nicelik yoktur. Klasik faz uzayı değişkenleri matris olmadıkları halde hareket denklemleri ile bulunan hız değişkenleri matris değerlidir. Matrislerin "spin indisleri" farklı pozitif çözümlere karşılık gelir. Kiral kinetik kuramının yarı klasik formalizminin en önemli bileşenlerinden biri kuantum mekaniksel bir faz faktörü olan Berry fazını veren Berry ayar alanlarıdır. Kuantum mekaniksel bir sistemde, Hamilton yoğunluğunun bağlı olduğu dış parametreler, bunlar elektrik ve manyetik alan olarak düşünülebilir, çok yavaş değiştirildiğinde adiyabatik kurama göre, sistemin kuantum durumu değişmez. Burada bahsedilen yavaş değişim, parametrelerin çevrimsel bir eğri üzerinde hareket etmesi olarak ifade edilebilir. Bu kapalı eğri tamamlandığında sistemdeki durum vektörü bir faz kazanır. Bu faz dinamik ve geometrik iki kısımdan oluşmaktadır. Adiyabatik değişim altındayken, durum vektörünün kazandığı geometrik faz çarpanına Berry fazı denir. Berry ayar alanlarının eğriliği kuantum mekaniksel bir faz çarpanı olan Berry fazını verir. Bu yöntemle birinci derece Lagrange yoğunluğu ile yarıklasik Hamilton dinamiğini elde etmek için ilk olarak yarı klasik blok köşegen Hamilton yoğunluğu verilmelidir. Yarı klasik Hamilton yoğunluğunu köşegenleştirecek uniter matris dönüşümünün Planck sabiti bölü 2pi, h-bar, ye göre birinci mertebe tüm terimleri verecek şekilde yazılması gerekir. Dalga paketi ve diferansiyel formlar kullanılarak Dirac parçacıklarının yarı klasik kinetik kuramı elde edilebilir. Bu yöntemin bazı avantajları bulunmaktadır. Öncelikle, formalizmde spin özgürlük derecesine karşılık gelen klasik bir nicelik bulunmadığı için hareket denklemlerinin faz uzayı hızlarının faz değişkenleri cinsinden veren çözümleri açıkça bulunabilir. Böylece parçacık akısı rahatlıkla yazılabilir. Tez kapsamında, öncelikle elektromanyetik alan içindeki kütleli spin-1/2 parçacıklar için Dirac Hamilton yoğunluğunu blok köşegen hale getireceğim. Dalga paketi ve diferansiyel form yöntemiyle hareket denklemlerini ve çözümlerini bulacağım. Burada faz uzayı değişkenlerinin hız denklemi çözümleriyle hesaplanan, hız denklemlerinin faz uzayı değişkenlerine bağlı çözümleridir. Bu denklemlerin elde edilişi sırasında denklemlerimizin içine Berry ayar alanlarının girdiğini göreceğiz. Daha sonra yarı klasik Dirac parçacıkları için dağılım fonksiyonunu uygun bazda yazıp süreklilik denklemini bulacağım. Kütleli fermiyonlar için elde ettiğim hareket denklemlerinin çözümlerinde kütlesiz limite giderek ve baz değiştirerek elektromanyetik alandaki Weyl parçacıklarının hareket denklemlerinin çözümlerine ulaşacağım. Thomas presesyonun ne olduğunu anlatıp incelediğim yarı klasik formalizmde Thomas presesyonunun elde ettiğim hız denklemlerine nasıl bir katkı yapacağını inceleyeceğim. Son olarak ise elektromanyetik alan altındaki yarı klasik Dirac parçacığının spinin zaman içindeki değişimini veren denklemi bulacağım. İlk kısımda, Gosselin-Berard-Mohrbach yöntemini kullanarak elektromanyetik alanda hareket eden kütleli parçacıklar için yarı klasik blok köşegen Hamilton yoğunluğunu hesaplayacağım. Bu yöntem birkaç adımdan oluşmaktadır. Hesaplanacak olan Hamilton yoğunluğunun h-bar ye göre birinci dereceden olan tüm terimleri içermesini istiyorum. Elektromanyetik alan altındaki Hamilton yoğunluğunun bağlı olduğu değişkenleri, x ve p yi, birbirleriyle komute edecek şekilde aldığınızda Hamilton yoğunluğu klasik bir büyüklüktür olur. Klasik Hamiltonyeni köşegenleştirmek için uniter Foldy-Wouthuysen dönüşümleri, UFW, kullanılır. Yarı klasik blok köşegen Hamilton yoğunluğunu hesaplamak için, Hamilton yoğunluğunun klasik faz uzayı değişkenleri x ve p yerine birbirleriyle komute etmeyen kuantum mekaniksel faz uzayı operatörleri olan (P; R) ye bağlı olduğunu düşünelim. Bu durumda Foldy-Wouthuysen dönüşümleri uniter olmaktan çıkarlar ve uniterliği sağlamak için birinci mertebe h-bar içeren bir terim eklemek gerekir. Bu durumu şöyle ifade edebiliriz: UFW --> UFW +X UFW: Buradaki X Berry ayar alanlarına bağlıdır. Sonraki aşamada ise yeni dönüşüm kullanılarak birinci derece h-bar mertebesinde olan tüm terimleri içeren yarı klasik blok köşegen Hamilton yoğunluğu tam olarak hesaplanmış olur. Fakat blok köşengenleştirme işlemi sırasında Hamilton yoğunluğunun bağlı olduğu faz uzayı değişkenlerinin cebri non-komutatif olur. Hesaplanmış olan Hamilton yoğunluğu tezimin bir sonraki kısımlarındaki hareket denklemlerinin çözümünde ve spinin zaman içindeki değişiminin hesabında kullanılacaktır. Tezin ikinci kısmında, yarıklasik yöntemde tek parçacık durumunu ifade edebilmek için Dirac denkleminin pozitif enerji çözümlerinden oluşan bir dalga paketi kuracağım. Kurulan dalga paketi ile yarıklasik birinci derece Lagrange yoğunluğuna karşılık gelen h bir-form elde edilir. Sonraki bölümde ise bir-form h aracılıg˘ıyla simplektik iki-form w˜ olus¸turulur. Bu spin indisleri ile yazılan bir matristir. Berry ayar alanı içeren w˜ Hamilton formalizmini elde etmek için kulanılır. Simplektik iki-form üzerinde diferansiyel yöntem olan matris değerli vektör alanının iç çarpım işlemi yapılarak hareket denklemleri elde edilmiş olur. Dirac parçacıklarının hızları için hareket denklemi çözümlerine ise yine bir diferansiyel form yöntemi olan Lie türevi işlemiyle ulaşılır. Bu bölümde, hareket denklemi çözümlerini iki ayrı işlemin sonuçlarını karşılaştırarak hesapladım. Bunların ilki, 3+1 uzayzaman boyutu için tanımlanan hacim formun Pfaffian matrise bağlı olarak yazılmasıdır. Pfaffian matris bir kare matris için determinantının karekökü olarak tanımlanır. Diğer yol xviii ise, yine 3+1 uzayzaman boyutu için, hacim formu simpletik iki-forma bağlı olarak tanımlamaktır. Hareket denklemi çözümlerine, iki farklı terimle belirlenmiş hacim formun Lie türevlerinin hesaplanması ve elde edilen denklemlerin karşılaştırılmasıyla ulaşılır. Kütleli, spin-1/2 parçacıklar ile çalışmama rağmen kullandığım yarıklasik yöntemde spine karşılık gelen klasik serbestlik derecesi yoktur. Sistemdeki hız ifadeleri matris değerli olduklarından bulduğum parçacık akım yoğunluğu da matris değerlidir. Buradaki önemli nokta, serbest Dirac parçacığı için spin korunumlu bir büyüklük olmamasına rağmen helisite operatörü korunumlu bir büyüklüktür. Bu nedenle helisite operatörünü kullanarak bir spin akısı türetilebilir. Dağılım fonksiyonu ve süreklilik denklemi başlığındaki kısımda, parçacıkları sağ elli ve sol elli olmak üzere iki kısma ayırarak dağılım fonksiyonunu elde etmek istiyorum. Bu nedenle dağılım fonksiyonunu köşegen olarak yazmak için sistemimdeki bazı değiştirerek helisite bazına geçeceğim. Daha sonra ise helisitenin köşegen olduğu bazda kurduğum dağılım fonksiyonunu ters dönüşüm ile ilk bazda ifade edeceğim. Kütleli fermiyonlar için sağ elli ve sol elli parçacıklar dengede olduğundan dağılım fonksiyonunun ilk bazda da köşegen olarak ifade edilebileceğini göstereceğim. Bu bölümde son olarak ise süreklilik denklemini türeterek kütleli fermiyonların süreklilik denklemini sağladığını göstereceğim. Önceki bölümlerde Dirac parçacıklarının hızları için hareket denklemlerinin çözümlerini, kütleli fermiyonların dağılım fonksiyonunu ve süreklilik denklemini elde ettim. Bu işlemlerin ardından ise Dirac parçacıklarının hızları için bulunan hareket denklemlerindeki tüm ifadeleri helisite bazında yazarak kütlesiz limitini hesaplayacağım. Böylece kütlesiz fermiyonlar için hareket denklemlerinin çözümünü elde edeceğim. Ayrıca, kütlesiz fermiyonların parçacık akısını ve süreklilik denklemlerini bulacağım. Dirac parçacıklarının aksine, süreklilik denklemini sağlamadıklarını ve anomaliye sahip olduklarını göstereceğim. Dalga paketi yöntemiyle Dirac parçacıkları için elde edilen hareket denklemi çözümlerindeki hız ifadeleri Berry eğriliği terimlerini içeren "anormal hız" terimlerine sahiptir. Oysa, Dirac parçacıklarının kovaryant formalizmi ile elde edilen hareket denklemlerinde Thomas presesyonu nedeniyle anormal hız terimleri yoktur. Thomas presesyonu spin matrisinin relativistik olmayan hareket denklemlerinde bir kinematik düzeltme terimi olarak bulunmuştur. Bununla birlikte Thomas presesyonu faz uzayı değişkenlerinin hareket denklemlerine katkı sağlamalıdır. Diferansiyel form ve dalga paketi formalizmi ile kurduğum relativistik olmayan sistemin, Thomas dönmesi katkısını içermemesi beklenen bir durumdur. Bu durumu düzeltmek için yarıklasik formalizmine Thomas dönmesi yerleştirilmelidir. Thomas presesyonu bir Lorentz ötelemesinin ard arda uygulanan iki Lorentz ötelemesi ve dönme ifadesi cinsinden yazılmasından kaynaklanır. Buradaki dönme ifadesine aynı zamanda Thomas dönmesi de denilmektedir. Bu sayede Dirac denklemini kullanmadan elektronun spinin zamana göre değişiminin ifadesi doğru bir şekilde hesaplanabilmektedir. Kullandığım yarı klasik yöntemin Thomas presesyonun katkısını hesaplamak için çok uygun olduğunu göreceğim. Thomas dönmesini ve sistemime nasıl bir katkı verdiğini bularak, momentumun yüksek mertebe katkısını ihmal ettiğimde anormal hız terimlerinin kaybolduğunu göstereceğim. Bu sonuç ilk defa bu tezde bulunmuştur. Thomas presesyonu katkısının incelenmesinin ardından spin matrislerinin zaman içindeki değişimi hesaplanacaktır. Kullandığım yöntemde spin matrisleri Pauli spin matrisleri ile ifade edilmektedirler ve faz uzayı yöntemi spinin hareketlerini belirlemez. Bu nedenle spin hareket denklemleri başka yöntemlerle bulunmalıdır. Bunun için blok köşegen Hamilton yoğunluğunu bulmakta kullandığım Gosselin-Berard-Mohrbach yöntemini kullanacağım. O formalizmde uniter dönüşüm sonrası faz uzayı işlemcileri non-komütatif olurlar. Dolayısıyla Pauli matrisleri ile de komüte etmezler. Bu katkılar göz önüne alındığında Gosselin-Berard-Mohrbach yöntemiyle elde ettiğim sonucun, elektromanyetik alanda hareket eden elektronun spininin zaman içindeki değişimini veren Bargmann-Michel-Teledgi denklemiyle aynı sonucu verdiğini göstereceğim. Tezin son bölümünde ise elde ettiğim sonuçlar ve bazı uygulamaları tartışılmıştır.
Summary:
The semiclassical kinetic theory of massive spin-1/2 particles interacting with the external electromagnetic fields is formulated in terms of differential forms which are matrix valued in spin space. Semiclassical approximation is performed by employing the wave packet constructed as superposition of positive energy plane wave solutions of the free Dirac equation. A symplectic two-form is derived using the wave packet. It is a matrix in "spin indices" and possesses a term related to the Berry curvature obtained from a non-Abelian Berry gauge field. Time evolution of phase space variables in terms of phase space themselves are attained by making use of the volume form which is also a matrix. Continuity equation for particle number density and the particle current density are obtained by introducing a change of basis in order to define distribution functions in the helicity basis. The massless limit is derived by constructing the helicity states explicitly. When one deals with a non-relativistic formulation of massive particles the equations of motion should be corrected with a relativistic kinematic factor known as Thomas precession. Its origin lies in the fact that when one would like to write two successive Lorentz boost as one Lorentz boost it should be accompanied with a rotation whose angle depends on the related velocities. It is shown that Thomas precession can be included straightforwardly into the semiclassical formulation adopted in the thesis. It alters the equations of motion and cancels the anomalous velocity terms appearing due to the Berry curvature. Initially, I will derive the semiclassical block diagonal Hamiltonian for a Dirac particle in the electromagnetic field including all terms at the first order in Planck constant using the Gosselin-Berard-Mohrbach method. In this method the unitary transformation which block diagonalizes the Hamiltonian possesses terms related to the Berry gauge fields. In general curvature of the Berry gauge fields appear as the phase factor of a quantum state transported adiabatically. When the block diagonalization is carried out by unitary transformation, the dynamical operators should also be transformed and they become non-commutative. I will use these non-commutative phase space operators to derive the time evolution of spin matrices which will be introduced in the course of finding the semiclassical formulation. The one-form corresponding to first order Lagrangian is defined by making use of the wave packet built with the positive energy solutions of the Dirac equation. This one-form can be written as a matrix whose indices correspond to the positive energy solutions which are called spin indices. It has a term depending on the non-Abelian Berry gauge fields given by the degenerate positive energy solutions. Then the symplectic two-form derived from this one-form includes a term which depends on the Berry curvature. I use the differential form formalism to obtain the equations of motion of phase space variables. A straightforward method is applied to find solutions of the equations of motion for the phase space velocities in terms of the phase space variables employing Liouville equation and the differential form formalism. To get the kinetic theory of Dirac particles I need the distribution function which can be used to define the particle number density. However, it is a matrix whose elements should be interpreted appropriately. The mostly adopted procedure is to choose a specific configuration where the third component of spin is a conserved quantity. Then one can set the off-diagonal terms to zero. In general spin is not a conserved quantity but helicity operator gives a vanishing commutator with the free Dirac Hamiltonian. Moreover when I discuss the massless limit it would be essential to split the right-handed and the left-handed contributions. Therefore, the appropriate basis is the one where the helicity operator is diagonal. I define this new basis and obtain the continuity equation for the Dirac particle using the distribution function which is diagonal. Then I derive the continuity equation for the particle number density and the particle number current density. Obviously, because of possessing the solutions of the equations of motion for the velocities in terms of phase space variables one can directly obtain the particle current. Obtaining themassless limit in the helicity basis is straightforward. It yields the continuity equation which has an anomaly term. The particle current possesses an anomalous velocity term and a term leading to the chiral magnetic effect. Thomas precession which shows up as the relativistic correction in the equations of motion are obtained. I briefly discuss what is the source of the Thomas precession. Then I present how one should introduce this correction into the wave packet formalism. It gives a contribution to the initial one-form on the same footing with the Berry gauge field. In fact up to higher order terms in momentum it gives the opposite contribution of the Berry gauge field and cancels the anomalous velocity terms given by the Berry curvature. This result coincides with the ones obtained within the relativistic formulations of the Dirac particles. Originally the Thomas precession is used to obtain the corrections to the non-relativistic formulation of the time evolution of spin matrices. However, the formalism which I adopted is not aware of the time evolution of spin. For completeness I show that it can be integrated into the formalism by making use of the non-commutative charter of the dynamical variables obtained in the Gosselin-Berard-Mohrbach method. Time evolution of spin matrices are shown to be the same with the Bargmann-Michel-Telegdi equation. Lastly, the results obtained in the thesis and the possible extensions are discussed.