İlginç bir problem ile tanışın. Kimileri için “3n+1 problemi” kimileri için de onu gündeme taşıyan Lothar Collatz’a atfen Collatz Problemi. Adına ne denilirse densin, bu problem 1970 yılından itibaren hızla artan bir ilgi kaynağı oldu. Çözümü için ödüller konuldu ve bir sürü insan bu ödülün peşine düştü. Aslında tüm bu ilginin nedeni biraz da tanımlamanın ve hesaplamanın çok kolay olmasından kaynaklanmaktaydı. Öyleyse nedir bu Collatz problemi ve bütün bu ilginin nedeni…
Collatz Problemi Nedir?
1932’de, 20 yaşında bir Alman matematik öğrencisi olan Lothar Collatz, ilk bakışta basit bir hesaplamadan başka bir şey gibi görünmeyen bir muamma ile karşılaştı. Kural çok basitti. Eğer sayınız çift ise 2’ye bölün, tek ise 3 ile çarpıp 1 ekleyin. Sonra, sonucunuza yine kuralı uygulayın. Bu işlemi istediğiniz kadar tekrar edin. Aslında matematikçilerin çoğuna göre hangi sayıyla başlarsa başlasın sayılar 4, 2, 1, 4 … döngüsüyle devam eder.
Hemen şöyle bir örnekle başlayabiliriz. n=5 için 5,16,8,4,2,1,4,2,1 şeklinde olacaktır. Benzer biçimde n=11 için, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1.
Collatz hangi başlangıç numarasını test ederse etsin sonunda hep 1 cevabına ulaşınca, sayı teorisinde yeni bir yasa keşfetmiş olabileceğinden şüphelendi. Bu nedenle varsayımı için bir kanıt aramaya koyuldu. Ancak ne yazık ki çabaları boşa çıktı. Ne varsayımını kanıtlamayı ne de bir karşı örnek bulmayı yani 1 ile bitmeyen bir sayı döngüsü bulmayı başardı. Collatz hayatı boyunca bu varsayım hakkında kayda değer bir şey yayınlayamadı.
Collatz Problemi, ikinci Dünya Savaşı sırasında bir süre Polonyalı matematikçi Stanislaw Ulam tarafından ele alındı. Boş zamanlarında Ulam, varsayımı araştırdı, ancak bir kanıt bulamadı. Bu problemi sıklıkla arkadaşlarına aktardığı için problem bir süre Ulam’ın ismi ile anıldı. Devamında Hamburg Üniversitesi’nden sayısal bir kuramcı olan Helmut Hasse bu tuhaf bulmacanın ile uğraşmaya başladı. Almanya’da ve yurtdışında konu ile ilgili konferanslar verdi. Bu konferanslar esnasında bu sayılar havada süzülen dolu taneleri ile bir izleyici tarafından özdeşleştirildi. Bu sebeple bir süre bu problemin adı “Dolu Tanesi Sayıları” diğer adıyla Hailstone dizisi olarak anılmaya başlandı. Sonrasında Japon matematikçi Shizuo Kakutani konuyla ilgili Yale Üniversitesi ve Chicago Üniversitesi’nde konferans verdi ve sorun hemen Kakutani problemi olarak anıldı.
Bu arada işin içine bilgisayar karıştı. Süper bilgisayarların yardımıyla 27 katrilyona kadar olan tüm sayılar test edildi ancak yine de bir kural bulunamadı.
Collatz Problemi Nasıl Çözülebilir?
Yukarıdaki isim karmaşasını ve bu soruyu çözmek için emek veren onca matematikçiyi gördükten sonra elbette size bu problemin çözümünü vermemiz mümkün değil. Ancak çözüm denemesi için bir düşünce modeli oluşturabilirsiniz. Yapılması gereken sırasıyla bütün başlangıç sayılarını düşünmek yerine uygun bir model oluşturmaktır. Ancak sorun karşımızda bazen bir düzen, bazen de bir düzensizliğin var olmasıdır. Kesinlikle rastgele değildir; ama kalıp olarak yazılması da mümkün değildir.
İlk 50 sayı içerisinde 1 sayısına geri dönmek için en uzun yol alan sayı 27’dir. Tam 112 adım. Şekilde görüldüğü gibi, 67. adımda 7288, 77. adımda 9232 yüksekliğine çıkar ama sonra birden çöküşe geçer ve bir kaç çırpınışın ardından 1 sayısına geri döner.
Bu sayılar arasında bir kaç rekortmen sayı da vardır. Mesela 703 başlangıç sayısı olarak alınırsa, dizi 170 adım sürer ve zirveye 250 504 sayısında zirve yapar. Bir diğer rekortmen ise 26 623 başlangıç sayısıdır. Bu sayıda tam 307 adım sürer ve zirveye 10 358 020 sayısında ulaşır.
Bir hesap makinesi desteği ile 1 den 100’e kadar olanları sizde listeleyerek bu ilginç dağılımları görebilirsiniz. Çok fazla sürer diye düşünmeyin. Örneğin 7 sayısını ele alalım. 7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,16,8,4,2,1….
Bu dizi bize sadece uzunluğun 16 ve zirve değerinin 52 olduğunu söylemiyor. Aynı zamanda 22 olan ikinci sayı içinde uzunluğun 16, zirve değerinin 52 olduğunu, üçüncü olan 11 içinde uzunluğun 14 zirve değerinin 52 olduğunu söylüyor. Bu biçimde düşünürsek zaten bir tek sayı bize 16 tane sayı hakkında zaten bilgi vermekte…
Paul Erdös bu sayılar ile ilgili yorumunda, “Matematik henüz böyle problemlere hazır değil”demiştir. Şimdiden deneyenlere sabırlar dileriz…
BUNLARA DA GÖZ ATABİLİRSİNİZ
Kaynak: George G. Szpiro; 50 easy pieces on how mathematicians work and think; ISBN 0-309-09658-8
Matematiksel