Siz bu soruda ne düşündünüz/ denediniz?
Güzel. Şimdi öncelikle $(\mathbb{R},\mathcal{U})$ alışılmış topolojik uzayının regüler olduğunu göstermek için keyfi bir $F$ kapalı kümesi ve bu kümeye ait olmayan bir $x$ noktası alalım. Şimdi $x$ noktasının ve $F$ kümesinin açık komşuluklarını nasıl seçmeliyiz ki bu açık komşuluklar ayrık olsun. Buna cevabın ne olur?
Aynen. Bu kadar işte. Ama $F$ kümesinin açık komşuluğu için biraz daha düzenleme yapman gerekecek.
Mesela $F=[2,\infty)$ kapalı kümesi ile bu kapalı kümeye ait olmayan $0$ noktasını ele alalım. $0$ noktası ile bu kapalı küme arasındaki uzaklık $\epsilon=2$. Biz $U:=(-1,1)$ ve $V:=(1,3)$ alırsak arakesitleri boş olur ama $V$ kümesi $F$ kümesinin bir açık komşuluğu olmaz. O zaman $V$ kümesini nasıl seçmemiz gerektiğini düşün ve sonra bu durumu herhangi bir kapalı küme ve bu kapalı kümeye ait olmayan herhangi bir $x$ noktası için genel bir yanıt yazmaya çalış.
İpucu bu linkte mevcut. Ama önce kendin bulmaya çalış.