-
Büyük çocuğun yaşını bulun
Anasayfa zeka soruları altında yayınlanan Büyük çocuğun yaşını bulun? adlı soru için henüz erken olsa da çözüm yazmak istiyorum. Soruya uğraşmak istyenler çözümü okumayıp soruyla uğraşmaya devam edebilirler.
-
Çocukların yaşları a,b, ve c olsun
herbiri 1 den büyük olduğundan ve her biri diğer ikisinin çarpımının 1 fazlasını tam böldüğünden bu sayılar ikişerli olarak aralarında asaldır.
bu noktadan sonra genelliği bozmadan
2≤a<b<c diyebiliriz.
T=ab+bc+ac+1 olsun
a|T , b|T ve c|T olduğu açıktır.
sayılarımız ikişerli olarak aralarında asal olduğundan
abc|T ve sonuç olarak abc≤T olur.
a sayısının 2 den büyükeşit olmasını dikkate alarak b nin 3 ten büyükeşit olduğunu söyleyebiliriz.
biz 4≤b durumunu öncelikle inceleyelim
bu durumda 5≤c olmalıdır.
2.4.5=40≤abc olur.
T=ab+bc+ac+1=(abc/c)+(abc/a)+(abc/b)+1≤(abc/5)+(abc/2)+(abc/4)+1
payda eşitlenip toplanırsa
T≤(38abc/40)+1=abc-(abc/20)+1 , burada da abc nin en küçük değeri olan 40 sayısını bile yerine koysak
T≤abc-(abc/20)+1≤abc-40/20+1=abc-1<abc sonucunu buluruz
en başta bulduğumuz abc<T ile çeliştiğine göre b 4 ten büyük olamaz
b için tek değer kalıyor b=3 için inceleme yapalım
b=3 ise , a=2
ve c|(2.3+1) koşulu sağlanması gerektiğinden c=1 veya 7 ve a<b<c kabulümüzden dolayı da c=7 olmalıdır.
sorumuzun koşuluna uyan tek durum vadır o da (2,3,7).
-
T≤(38abc/40)+1=abc-(abc/20)+1
bu eşitliğin sağ tarafı nerden geldi anlayamadım...
x³
x³
-
2≤a , 4≤b , 5≤c durumunu inceliyoruz
T=ab+bc+ac+1 demiştik
ab=abc/c≤abc/(c nin min değeri)=abc/5
bc=abc/a≤abc/2
ac=abc/b≤abc/4
abc/5+abc/4+abc/2 payda eşitlenip toplanırsa
19abc/20 bulunuyor
ya da abc-abc/20
yani
T≤abc-(abc/20)+1
daha yukarıda da abc nin en az 40 olduğunu bulmuştuk zaten onu da (abc/20) de yerine yazdığımızda
T≤abc-2+1=abc-1 buluyoruz ki bu abc nin T yi bölmesiyle çelişiyor.
-
Sayın gereksizyorumcu, öncelikle bu ispatı bizimle paylaştığınız için teşekkür ederim. Ben de ispatlamaya çalıştım ama işin içinden çıkamadım. Bu ispatın özünde , T=ab+bc+ac+1 sayısının yazılabilmesi yatıyor. İspat çok güzelmiş. http://www.matematiktutkusu.com/foru...mo1970-s4.html (IMO1970-s4) linkinde sorduğunuz soruda n lerin var olmadığını ben de ispatladığımı zannediyorum. Biraz sonra ispatımı oraya yazıcam. Bu ispatı kendiniz yaptıysanız sizi tebrik ediyorum. Bu arada
http://www.matematiktutkusu.com/foru...ma-sorusu.html (5 Tane Sayma Sorusu) linkindeki 1.soruyu siz fibonacci dizisinden 89 bulmuşsunuz. Ben kombinasyondan 124 buldum. Çözümümü bir kontrol eder misiniz? Hatam nerde?
-
Bu arada birşeyi daha belirtmek istiyorum. O günden beri kafamı meşgul eden bir soru vardı? Bu sorunun deve sorusu ile tam olarak ne ilşkisi var diye. İlişkiyi ispatınızı gördükten sonra anladım. Orada sayılar çarpımının 1 fazlası, sayılara bölünüyordu. Bu soruda ise, 3 sayıdan herbiri çarpımlarının 1 fazlasını tam böler. Bu da ispatın temelini teşkil ediyor. İspattaki T sayısı a.b.c ye yani 42 ye eşit.
Diğer çözümlü sorular için alttaki linkleri ziyaret ediniz